ПП_21_Опр_инт_1

ПП 21. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Методы ИНТЕГРИРОВАНИя

Определение

,

где непрерывная функция.

Геометрически определённый интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус.

Свойства определенного интеграла

1. .

2. , А, В - постоянные.

3. ,

для любых трех чисел , , .

4. Если

1) интегрируема на ; 2) для любых ,

тогда .

5. Если

1) , интегрируемы на ; 2) для любых , тогда: .

6. Если

1) интегрируема на ;

2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции ,

тогда .

7. Если непрерывна на ,

то такая, что .

Число называется средним значением функции на отрезке .

8. Если непрерывна на , .

9. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна

10. Если функции и дифференцируемы в точке х  и непрерывна при , то

.

11. - формула Ньютона-Лейбница.

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно:

1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первообразную для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла);

2) вычислить .

12. Если

1) непрерывна на ;

2) - непрерывно дифференцируема на

( - область значений при изменении );

3) , ,

тогда

- формула замены переменной под знаком определенного интеграла.

12. Если

1) - четная , то
2) - нечетная функция , .

13. .

ПП 20. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 21 №1	Вычислите , рассматривая его как предел интегральной суммы. Решение: ; В качестве выберем - левые концы каждого отрезка , ; и т.д. = Пусть , ,
ПП 21 №2	С помощью определенного интеграла найдите предел суммы Решение: Рассмотрим выражение под знаком предела как интегральную сумму для на отрезке : ; . В качестве возьмем левые концы каждого отрезка: ; и т.д. . Пусть , .	1

ПП 21 №3

Оцените интеграл .

Решение:

Для 0  х  1: 1  1 + х⁴  2, ,

т.е. m = , М = 1, b  а = 1.

Следовательно,   1.

ПП 21 №4

Определите знак интеграла , не вычисляя его.

Решение:

Разобьём интеграл на два

= + =

{поменяем в первом интеграле пределы}

= + =

{заменим в первом интеграле х  (х)}

= е^хd(x) + е^хdx = e^xdx +е^хdx = (e^x  e^x) dx,

на отрезке х0, 1, х³  0, е^х  е^х  0,

следовательно, (e^x  e^x) dx  0,

т.о. интеграл имеет положительный знак.

ПП 21 №5

Найдите производную функции

Решение:

.

ПП 21 №6

Найдите производную функции

Ф(х) =

Решение:

(х) = 0, (х) = 0, (х) = х².

Ф(х) = (х²) = 2х.

2х

ПП 21 №7

Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов или больше.

Решение:

Сравним подынтегральные функции на отрезке интегрирования. , .

Второй

ПП 21 №8

Найдите среднее значение функции на отрезке .

Решение:

.

ПП 21 №9

Оцените интеграл

Решение:

На отрезке : , , , , .

ПП 21 №10

Вычислите .

Решение:

.

ПП 21 №11

Вычислите .

Решение:

2

ПП 21 №12

Вычислите .

Решение:

= ==

= ln(ln e²)  ln(ln e) = ln 2  0,69.

ln 2  0,69

ПП 21 №13

Вычислите .

Решение:

= =  = 1  .

1 

ПП 21 №14

Вычислите .

Решение:

ПП 21 №15

Вычислите .

Решение:

u = x, dv = e^-xdx, du = dx, v = - e^-x}

= + = -е^-1 =

ПП 21 №16

Вычислите.

Решение:

.

ПП 21 №17

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

=

=.

0,5

ПП 21 №18

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

=

= =

= 2(х² + 2) =

= =

= =

= =  3.81

3,81

ПП 21 №19

Вычислите

Решение:.

ПП 21 №20

Вычислите .

РЕШЕНИЕ.

= =

= =

= 2 arctg + ln 2  0,04.

0,04

ПП 21 №21

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

= =

.

23,1

ПП 21 №22

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

х(х + 4)(х  2) = х³ +2х²  8х;

= =

= 2  4.

=

=2х  4.

= + + .

Вычислим неопределенные коэффициенты А, В и С.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

=

=,

откуда

х² + 6х + 2 = А (х + 4)(х  2) + Вх (х  2) + Сх(х + 4).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

х^2	1 = А + В + С,
х^1	6 = 2А  2В + 4С,
х^0	2 = 8А,

откуда А = , В = , С = .

Интеграл 4=

==

==

= =

=10+ 6  ln(3∙7) =

=4 +  1,83.

1,83

ПП 21 №23

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

== + ++,

откуда

А(х + 2)³ + В(х  2)(х + 2)² + С(х + 2)(х  2) + +D(х  2= х³ + 6х² + 13х + 6,

А = 1, В = С = 0, D = 1  = +=

= =

ln1   ln2 + =  ln2  0,62.

0,62

ПП 21 №24

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

Интеграл от правильной дроби, разложим ее на простейшие

= + , откуда

2х³ + 3х² + 3х + 2 = (Ах + В)(х² + 1) + (Сх + D)(х² + х + 1), или

Отсюда

= + + =

= + +

+ =

= + +  1,02.

1,02

ПП 21 №25

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

Применим универсальную тригонометрическую подстановку t = ,

sin x = , dx = .

При х = t = 1, х = 0, t = 0.

I= = =

= 4.

,

t = (5 + 6t + 5)(At + B) + (1+ t²)(Ct +D),

,

.

I=  0,14.

0,14

ПП 21 №26

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

I = =

=.

Разложим дробь на простейшие:

= ,

откуда

(Аt + B)(t² + 1) + (Ct +D)(t⁵ + 5) = 3t²  1,

I= = =

==

=  0,25.

0,25

ПП 21 №27

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

= =

== ==

==

== .

ПП 21 №28

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

I==

==

= = .

Разложим дробь на простейшие:

.

I==

== .

ПП 21 №29

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

= = ==

= = = =  0,4.

0,4

ПП 21 №30

Вычислите .

РЕШЕНИЕ:

=

= = ==

= =

= = = =  0,78.

0,78