ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Вычисление площадей плоских фигур

1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах

1) , .
2) , .
3) , .

1.2. Вычисление площадей фигур, заданных кривыми в параметрическом виде

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

, , .

.

1.3. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Если - непрерывная функция, - площадь криволинейного сектора.

2. Вычисление длины дуги кривой

2.1. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах

, .

2.2. Длина плоской и пространственной кривой, заданной в параметрическом виде

,

;

,

.

2.3. Длина кривой, заданной в полярных координатах

, , .

3. Площадь поверхности вращения

- площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной функцией у = , а  х  b .

Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t₁  t  t₂ , то Q_х = 2 .

Если дуга задана в полярных координатах  =  (),     , то Q_х = 2 .

4. Вычисление объемов тел

4.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений

, - площадь поперечного сечения.

4.2. Вычисление объемов тел вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = , а  х  b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по формуле:

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , c  y  d, вращается вокруг оси Оу, то . Величина V_у может быть также вычислена интегрированием по х: V_у = .

5. Приложеия определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

5.1. Моменты и центры масс плоских кривых

Статические моменты дуги кривой, заданной уравнением с плотностью (если не указано, то ), относительно координатных осей Ох и Оу:

,

.

Моменты инерции

,

.

Координаты центра масс и :

,

,

где - масса дуги.

Теорема Гульдена.

Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

5.2. Физические задачи

С помощью определенного интеграла вычисляются:

- путь, пройденный телом, если известен закон его движения;

- работа переменной силы, совершаемая в различных процессах;

- давление на погруженную в жидкость с удельным весом вертикальную стенку, ограниченную кривой ;

- количество электричества, протекающее через сечение проводника при силе тока за время ;

- количество тепла, выделяющееся в проводнике с сопротивлением , через который протекает ток .

кинетическая энергия; величина действующей силы; время; объем и др.

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 1. Вычисление площадей плоских фигур 1.2. Вычисление площадей фигур, заданных в прямоугольных координатах
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №1	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^2, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абсцисс . Решение: S = = = 3.	3
ПП 22 №2	Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у = 2х  х^2. Решение: Преобразуем уравнение параболы: у = 2х  х^2 =  (х^2  2х + 1) + 1, (у  1) =  (х  1)^2. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой : (0,0) и (3,-3) S = = = ==.
ПП 22 №3	Вычислите площадь эллипса . Решение: , ,.
ПП 22 №4	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: х = 4  (у  1)^2 и х = у^2  4у + 3. РЕШЕНИЕ: Найдем точки пересечения графиков функций х = 4  (у  1)^2 и х = у^2  4у + 3: 4  (у  1)^2 = у^2  4у + 3  2у (у  3) = 0  у = 0; 3. == == = 9.	9

1.2. Вычисление площадей фигур, заданных кривыми в параметрическом виде

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №5

Вычислите площадь эллипса.

Решение:

Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид:

, .

ПП 22 №6

Найдите площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = а (t  sin t); у = а (1  cos t) и отрезком оси абсцисс

Решение:

Точкам О и А соответствуют значения параметра t_О = 0 и t_А = 2, искомая площадь равна S===

==

=а² = 3a².

3a²

ПП 22 №7

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями,

заданными уравнениями ,

х = (х  ).

РЕШЕНИЕ:

Найдем точки пересечения астроиды

и прямой х = :

= 32cos³t  cos³t =

 cos t =  t₁ = , t₂ = .

ПП 22 №8

Вычислите площадь фигуры,

ограниченной линиями

РЕШЕНИЕ:

T	0				2
x	0	  2	2	3 + 2	4
у	0	2	4	2	0

Точки пересечения линий:

2  2сos t = 3; сos t = ,

t 

a = x =   , b = x =  + .

Площадь заштрихованной области:

S==

=

= =

= =

= =

= =

= =

= 4 =

4 = 3 5,196152.

5,196152

1.3. Площадь фигур, заданных в полярной системе координат

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №9

Вычислите площадь круга .

Решение:

В силу симметрии достаточно вычислить

половину искомой площади.

ПП 22 №10

Найдите площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли ² = а² сos2 .

Решение:

В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади:

= = = .

а²

ПП 22 №11

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 6 sin , r = 4 sin .

РЕШЕНИЕ:

Линии в полярных координатах r = 6 sin  и r = 4 sin  представляют собой окружности, смещенные вверх по оси Оy, с радиусами 3 и 2 соответственно.

S = - площадь фигуры, ограниченной линией  =  ().

Площадь фигуры, заключенной между окружностями:

S = S₁  S₂ = ==

==== = = 5   15,708.

15,708

ПП 22 №12

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

₁ = cos 

₂ = , .

РЕШЕНИЕ:

₁: ² =  х² + у² = х



- окружность с центром в точке О₁

и радиусом R₁ = ;

₂ = – окружность с радиусом R₂ = , центром в точке О₂

(получается поворотом  = cos  на

и увеличением радиуса в раз).

Площадь заштрихованной фигуры:

S = + =

= + =

=+ =

=+ =

=+= =  0,535598.

0,535598

ПП 22 №13

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией

• = 1 + сos .

РЕШЕНИЕ:

 0  1 +  0 

сos   , тогда

  . сos  - четная функция, фигура симметрична относительно оси Ох.

	0
	1 +	1 +	2	1 +	1	1 	0

S = == = = == = = ( + 1)  6,212389.

6,212389

ПП 22 №14

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

₁ = 4 sin 3,

₂ = 2 (  2).

РЕШЕНИЕ:

sin 3  0  2n  3   + 2n,

n  z,

   .

На интервале (0, 2) укладывается три периода функции sin 3.

Составим таблицу для   и учтем периодичность:

	0
	0		4		0

Найдем угол , соответствующий точке пересечения линий :

4sin 3 = 2; sin 3 = ; 3 = ;  = .

Половина площади одной "луночки":

S_л = = = = =

= ==

== =2 = 2 ==  + .

Площадь всех заштрихованных областей:

S = 6 S_л =  7,652892.

7,652892

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 2. Вычисление длины дуги кривой 2.1. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №15	Вычислите длину кривой между точками . Решение:
ПП 22 №16	Вычислите длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат уравнением у = , 0  х  3. РЕШЕНИЕ: у = =  chх , у = shх. l = = = = = (т.к. ch^2х  sh^2х = 1)= = = sh 3  sh 0 = sh3  10,0179.

2.2. Длина плоской и пространственной кривой, заданной в параметрическом виде
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №17	Вычислите длину винтовой линии . Решение:
ПП 22 №18	Вычислите длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: , 0  t  . l = . l = = =  10,0179.

2.2. Длина кривой, заданной в полярных координатах
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №19	Вычислите длину окружности. Решение:
ПП 22 №20	Вычислите длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах  = 6 sin , 0    . l = . Линия представляет собой часть дуги окружности, с центром в точке (0; 3) и радиусом, равным 3. l = = = 2  6,28319.	6,28319

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 3. Площадь поверхности вращения
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №21	Найдите площадь поверхности, образованной вращением астроиды х^2/3 + у^2/3 = а^2/3 вокруг оси Ох. Решение: у = (а^2/3  х^2/3)^3/2, у = (а^2/3  х^2/3)^½( х^^1/3) = , = . Qх = 22 = = = =4а^1/3=а^2.	а^2
ПП 22 №22	Найдите площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = а (t  sin t), у = а (1 cos t) вокруг оси Ох. Решение: х = а (1  cos t), у = а (sin t), = = = а = 2а sin. Qх = 2 = =8а^2 = =  16а^2 = а^2.	а^2

ПП 22 №23

Найдите площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды  = 2а (1+ cos) вокруг полярной оси. Решение:  = 2а sin , = = 4а сos. Qх =2 = = 64 а^2 =.

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 4. Вычисление объемов тел 4.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений
№ п/п	Задача		Ответ
ПП 22 №24	Найдите объём тела, основанием которого является круг с радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, представляет собой равнобедренный треугольник высотой h. Решение: Выберем систему координат, начало которой совпадает с центром круга. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, - равнобедренный треугольник с основанием 2у = 2 и высотой h; S(х) = = , V = = == = .
ПП 22 №25	Найдите объем эллипсоида . Решение: . .
ПП 22 №26	Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями , z = 7, z = 0. Первая поверхность представляет собой эллипсоид с полуосями 4, 13, 14 соответственно, вторая и третья поверхности – плоскости, параллельные координатной плоскости Оxy. S = . Найдем S (z) = 1   = 1. ,  S (z) =  а b = 12  . V = = = = 12  241,903.		241,903
4.2. Вычисление объемов тел вращения
ПП 22 №27	Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у^2 = (х  1)^3 и прямой х = 2 Решение: Vх = = = .
ПП 22 №28	Найдите объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение: , .
ПП 22№29	Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной графиками функций РЕШЕНИЕ: Перепишем уравнения линий в виде V = +  V = + = = += = + = = = =  0,896602.	0,896602

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла 5. Приложеия определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 5.1. Моменты и центры масс плоских кривых
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 22 №30	Найдите координаты центра масс дуги окружности , 0  t   /2, . РЕШЕНИЕ: l = .	(,)
ПП 22 №31	Найдите координаты центра масс полуокружности . РЕШЕНИЕ: Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна . По теореме Гульдена имеем . Отсюда , т.е. центр масс имеет координаты .

5.2. Физические задачи
ПП 22 №32	Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найдите путь, пройденный телом, за 5 сек от начала движения. РЕШЕНИЕ: м.	150 м
ПП 22 №33	Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? РЕШЕНИЕ: Работа переменной силы, действующей вдоль оси Ох на отрезке , выражается интегралом . Закон Ньютона: , М – масса Земли, r – расстояние массы m от центра Земли, k – гравитационная постоянная. На поверхности r=R, F=mg, mg=k , . При
ПП 22 №34	С какой силой жидкость плотности давит на вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой h, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверхности? РЕШЕНИЕ: По закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности давит на площадку S при глубине погружения Н, равна . Рассмотрим элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине x, имеющую основание b и высоту dx. Из подобия треугольников CAB и CDE: . Сила давления жидкости на всю пластинку равна:
ПП 22 №35	Два электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии 10 см. Сначала оба заряда закреплены, затем освобождается. Какую работу совершит сила отталкивания, если заряд а) удалится на расстояние 30 см; б) удалится в бесконечность? РЕШЕНИЕ: Закон Кулона: . а) ; б) .	,
ПП 22 №36	Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой и радиусом на его стенки, если плотность . РЕШЕНИЕ: Элемент давления на поверхность стенки в выделенной полоске выразится так: , откуда .
ПП 22 №37	Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см? РЕШЕНИЕ: По закону Гука растягивающая сила . Коэффициент пропорциональности находим из условия: если , то , следовательно, , . .
ПП 22 №38	Определить работу, необходимую для запуска ракеты для запуска ракеты весом с поверхности Земли на высоту . РЕШЕНИЕ: Сила притяжения тела Землей или вес тела зависит от расстояния до центра Земли: , – постоянная. Если – вес тела на поверхности Земли, т.е., , откуда и сила, преодолеваемая двигателем ракеты на высоте от поверхности Земли: . , . .
ПП 22 №39	Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси взять одно масло. РЕШЕНИЕ: Удельный вес воды , удельный вес масла . Сила давления масла на верхнюю половину стенки: . Давление на глубине складывается из давления столба масла высотой и столба воды высотой : , . Полное давление смеси на стенку: . Если сосуд наполнить только маслом: , .

29