Teorija_Polja

Тема 1. Специальная теория относительности

11

вание пространственных координат (это будет, когда две ИСО взаимно-неподвижны, но имеют разное направление координатных осей). Кроме того, материальная точка, на которую не действуют силы, движется в любой системе равномерно и прямолинейно:

r(t) = r0 + Vt. Нетрудно показать, что линейный закон переходит

в линейный только если линейным будет правило преобразования.

•Преобразования должны быть невырожденными. Это следует из того, что все ИСО равноправны: если есть преобразование S → S0, то должно существовать и обратное преобразование S0 → S.

Рассмотрим теперь две инерциальные системы отсчета: система S движется относительно S0 со скоростью V . Пусть в системе S сигнал отправляется в момент t1 из точки (x1, y1, z1) со скоростью света и приходит в точку (x2, y2, z2) в момент времени t2. Тот же процесс распростра- нения сигнала мы наблюдаем в системе S0: выйдя из точки (x01, y10 , z10 ) в момент времени t01, сигнал приходит в точку (x02, y20 , z20 ) в момент t02.

Замечание. В классической физике мы отождествили бы штрихованное и нештрихованное время; здесь мы этого не делаем !

Очевидно, что поскольку в любой ИСО скорость света равна c, выполняются равенства:

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0, (x02 − x01)2 + (y20 − y10 )2 + (z20 − z10 )2 − c2(t02 − t01)2 = 0.

Таким образом, для любой пары мировых точек, связанных световым сигналом, существует квадратичная комбинация координат и времени, которая является инвариантом преобразования S S0, тождественно

равным нулю.

Интервал. Поставим теперь в соответствие двум произвольным мировым точкам (не обязательно связанным световым сигналом) функцию

Тема 1. Специальная теория относительности							12
координат и времени, которую назовем интервалом:
p							. (1.3)
			−	= pc2(t2 − t1)2 − |r1 − r2|2
S1,2 = c2		(t2		t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2	− (z2 − z1)2 =
Зададимся вопросом: если равенство S1,2					= 0 выполняясь в одной

ИСО, будет выполняться и во всякой другой что можно сказать о слу- чае S1,2 6= 0 ? Желая ответить на этот вопрос, естественно начать с рассмотрения случая малых S1,2. Пусть две мировые точки будут близкими:

dS12,2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2, dS021,2 = c2dt02 − dx02 − dy02 − dz02.

Åñëè dS → 0, òî è dS0 → 0, и эти величины являются бесконечно малыми одного порядка. Таким образом,

dS2 = a · dS02.

(1.4)

Докажем это утверждение. Пусть взяты близкие мировые точки и далее некоторый параметр изменяется так, что одна точка стремится к другой (например, пусть мировые точки связаны сигналом, распространяющимся со скоростью v < c; естественно, скорость v различна в разных ИСО. Затем совершается предельный переход v → c). Поскольку зависимость dS и dS0 от параметра является непрерывной, из dS → 0 следует dS0 → 0, è наоборот. Далее, из эквивалентности любых двух ИСО следует эквивалентность dS dS0; отсутствие этого свойства означало бы, что переход S → S0 описывается не так, как переход

S0 → S. Но это и означает наличие между dS и dS0 связи (1.4).

От чего может Поставим вопрос иначе: от чего он зависеть не может ? зависеть параПрежде всего от dt и dx, dy, dz. В самом деле,

ìåòð a

1.время однородно значит a не может зависеть от t;

2.пространство однородно a не может зависеть от r;

3.пространство изотропно a не может зависеть от направления V.

Вывод:

dS2 = a(V ) · dS02, V = |V|.

(1.5)

Тема 1. Специальная теория относительности

13

Значение a Теперь мы знаем достаточно, чтобы найти a. Пусть имеется три ИСО: S1 è S2 движутся относительно S соответственно

со скоростями V1 è V2. Согласно (1.4, 1.5) можно записать:

dS2 = a(|V1|) · dS021 = a(|V2|) · dS022, dS12 = a(|V12|) · dS022,

откуда

dS2 = a(|V1|) · dS021 = a(|V1|) · a(|V12|) · dS022 = a(|V2|) · dS22.

Это значит, что между коэффициентами a должно существовать тож-

дество:

a(|V2|) = a(|V12|). a(|V1|)

Может ли такое соотношение выполняться для любых скоростей ? Пусть скорости V1 è V2 меняются только по направлению, а их модули оста-

ются постоянными. Тогда левая часть записанного равенства остается неизменной, правая же должна меняться ! Чтобы разрешить это проти-

воречие, остается предположить, что функция a(|V|) ≡ const. Но тогда

она может быть равна только единице (ведь можно положить V = 0).

Èòàê,

a = 1, dS2 = dS02.

Таким образом, преобразование S → S0	линейное и
S12 = S120	.	(1.6)

Мы приходим к важному утверждению:

Интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Он является инвариантом преобразования перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой .

Типы интервалов. Обозначим для краткости t2 − t1 = t12,
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ≡ |r2 − r1|2 = `122	; аналогичный смысл

будут иметь величины со штрихом. Тогда, согласно определению (1.3),

S0 2	≡ c2t02	−	`0 2)	= c2t122	− `122	= c2t0	122 − `120 2.	(1.7)
S122	c2t122		`122	(1.6)
12	≡ 12 − 12

Тема 1. Специальная теория относительности

14

Пусть в исходной ИСО два события разделены некоторым интервалом. Найдем ответы на два вопроса.

	Можно ли выбрать	Очевидно,			ýòî	означает, что		â	новой	системе
	новую ИСО S0	`0	=	0	è S0	2	= c2t02	>	0. Íî	тогда и
	так, чтобы события	12			12		12
		S2	= S0	2	= c2t2	−	`2 > 0. В этом случае интервал S				12
	произошли в одной
		12	12		12		12
	точке ?	вещественная величина. Такой интервал называет-

ся временеподобным (т.е. он соответствует случаю, когда в классической физике меняется только время).

Для временеподобного интервала можно записать:

t12 = S120 /c.

Замечание. Ситуация, когда события разделены временеподобным интервалом, хорошо понятна с точки зрения классической физики: если два события это два положения частицы на траектории, то можно

перейти в собственную систему отсчета частицы, в которой она (по определению) не движется. Разными для двух событий будут только моменты времени. Однако, хотя качественная аналогия имеет место, формулы перехода из одной ИСО в другую будут отличасться от простой замены координат; будет меняться и время.

Можно ли выбрать новую ИСО S0

так, чтобы события произошли одновременно ?

Из (1.7) следует, что это возможно, если t012 = 0 è S122 = S0212 = −`0212 < 0. Если выполнено условие S122 < 0, (ò.å. S12 чисто мнимая величина), интервал называется пространственно-подобным. При этом

`012 = i S120 .

Замечание. Нетрудно показать, что если выбором ИСО можно сделать события одновременными, то тем же способом можно добиться того, чтобы в некоторой ИСО S0 событие A предшествовало B, а в другой

ÈÑÎ S00 B предшествовало A. Таких возможностей классическая физика не допускает !

Тема 1. Специальная теория относительности

15

Световой конус. Рассмотрим более подробно простой случай, когда есть единственная пространственная координата x и время t. Отложим

по оси ординат величину c t, по оси абсцисс координату x. Будем рассматривать интервалы, связывающие пары событий; при этом мировой точкой одного из событий будет начало координат O.

•Биссектрисы координатных углов (прямые a b è c d íà Ðèñ.) îá-

разуют световой конус. Любая мировая точка, лежащая на световом конусе, связана с началом координат интервалом нулевой длины. Это

означает, что событие O и другое событие, мировая точка которого лежит на световом конусе, могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света c. Так, например, световой сигнал, выйдя из

мировой точки O, пройдет через мировую точку D.

• Область aOc абсолютно будущие события. Любое событие, мировая точка которого лежит в этой области, наступает позже, чем событие O в любой ИСО. Интервал между этими двумя событиями всегда временеподобный (величина его, разумеется, зависит от выбора ИСО).

• Область bOd абсолютно прошлые события. Любой мировой

точке из этой области соответствует событие, предшествующее O; ýòî

справедливо в любой ИСО. Интервал между мировой точкой O и любой

точкой, лежащей в секторе bOd также временеподобный.

Взяв любую мировую точку из объединения областей aOc è bOd,

можно далее выбрать такую ИСО, в которой эта мировая точка и O

совпадут пространственно (но им всегда будут соответствовать различные моменты времени).

• Объединение областей aOd è bOc области абсолютно удаленных событий. Интервал между любой точкой, взятой в этой области, и мировой точкой O пространственноподобный. Никакое событие из этой области нельзя сделать пространственно совпадающим с событием O. С другой стороны, событие B, взятое из этой области, в одних ИСО

предшествует событию O, а в других ИСО следует за ним. Специ-

альным выбором ИСО можно сделать события B è O одновременными.

Синхронизация

часов

Тема 1. Специальная теория относительности

16

Причинность. Два события, между которыми существует причинноследственная связь, имеют мировые точки, расположен-

ные так: если одна из мировых точек совпадает с O, то вторая лежит

внутри светового конуса, т.е. в bOd (причины события O) èëè â aOc

(следствия события O). Например, мировая линия, отвечающая дви-

жению частицы, проходя через O, лежит внутри светового конуса.

Как следует из вышеизложенного, если мы не покидаем определенную ИСО, у нас есть собственное время. Мы, однако, можем перемещаться в пространстве, занимая в

данной ИСО различные положения. Желая производить измерение времени в различных точках пространства, мы должны уметь синхронизировать различные часы. Покажем, что это возможно. Для этого:

1.Расположим часы близко (в одной точке); убедимся, что их ход совпадает (подразумевается, что никакие часы не спешат и не отстают ).

2.Переместим каждые часы в нужную точку пространства; в процессе перемещения будем фиксировать пройденное расстояние. Мы имеем часы в нужных точках и знаем расстояние между ними.

3.Из точки, в которой расположены часы 1, пошлем световой импульс. Зная скорость света и расстояния, мы можем рассчитать время, за которое он достигнет точку, где расположены часы 2, и т.д. В результате мы заставим все часы идти синхронно.

Собственное время Пусть космический корабль с часами пролетает мимо космической станции A, затем мимо космической стан-

öèè B. Станции одна относительно другой неподвижны (принадлежат

одной ИСО); на каждой из них имеются часы, которые синхронизированы. Все объекты движутся по инерции. В момент прохождения корабля мимо станции космонавты на станциях и на корабле фиксируют время (по своим часам). Что можно сказать о соотношениями между измеренными промежутками времени, которые были измерены по часам на

Тема 1. Специальная теория относительности

17

станциях и по часам на корабле ?

Выберем в ИСО S, в которой расположены станции, оси координат

таким образом, чтобы ось x соответствовала направлению скорости корабля (последняя равна v). Вторую ИСО S0 свяжем с кораблем, полагая, что он (вместе с часами) расположен в ее начале координат O0; простран-

ственные оси координат обеих систем будем считать параллельными. Далее, событие 1 будет состоять в том, что корабль пролетает мимо

станции в точке x1 (при этом часы на станции покажут момент t1, ÷àñû на корабле t01); событие 2 состоит в пролете корабля мимо второй станции в точке x2 (часы в системе S покажут время t2, в системе S0 t02).

Отметим, что интервал между событиями 1 è 2 одинаков в обеих

ÈÑÎ:

c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 = c2(t02 − t01)2

Записывая правую часть, мы учли, что координаты движущихся часов в системе S0 по определению не меняются. Отсюда

s

t02 − t01 = (t2 − t1) 1 − 12 x2 − x1 2 = (t2 − t1)p1 − v2/c2. c t2 − t1

Èòàê,	p
Мы видим, что промежутки				p1 − v2/c2 < 1,
t0 =	t	1 − v2/c2	.	(1.8)

времени различны; поскольку

промежуток времени, зафиксированный космонавтами на корабле (по своим часам !) будет меньше, чем промежуток, зафиксированный по синхронизированным часам станций. Движущиеся часы идут медленнее !

Замечание. Этот вывод может показаться странным, т.к. часы на корабле и на станции, как и связанные с ними ИСО, эквивалентны. На самом деле, эта эквивалентность не нарушается: если космонавты на корабле исследуют ход времени часов на станции для них часы на станции идут медленнее !

Парадокс

близнецов

Тема 1. Специальная теория относительности

18

Случай произвольного движения

Можно обобщить полученные формулы на случай, когда корабль движется произвольным образом. Разобьем траекторию движения на малые интервалы; на каждом из них скорость можно считать постоянной. Тогда

dS2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt02,

r

dt0 = dS/c = dt 1 − 1 dx2 + dy2 + dz2 = dt p1 − v2/c2. c2 dt2

(1.9)

(1.10)

Здесь v мгновенная (не постоянная !) скорость. Проводя интегрирование, получаем:

t20 − t10 = c	B	dS =	t2
	Z		Z dt r1 − c2 .
1				v2

At1

Âзаписанном выражении первое равенство имеет наиболее общую форму: интеграл от элемента интервала взят вдоль мировой линии движущихся часов; второй интеграл соответствует случаю, когда мировая линия задана параметрически, а роль параметра играет собственное время.

Классический сюжет истории о близнецах выглядит так: один из братьев-близнецов становится космонавтом и улетает к далекой звезде со скоростью, близкой к световой. После его

возвращения выясняется, что для него прошло лишь несколько лет; в то же время брат, оставшийся на Земле, стал глубоким стариком.

Оставляя в стороне вопрос о правдивости подобной истории (которая, заметим, положена в основу многих научно-фантастических романов), обсудим эту ситуацию с точки зрения физики. На первый взгляд может показаться, что имеет место симметрия: с точки зрения космонавта неподвижен он, а другой брат двигается относительно него. Однако на самом деле симметрии нет: брат, оставшийся на Земле, все время находится в одной и той же ИСО; брат-космонавт, чтобы вернуться, должен на определенных участках траектории двигаться с ускорением. Это решает дело: для него время идет в целом медленнее.

Этому результату можно придать изящную математическую форму. Пусть некоторый объект движется без ускорения другими словам,

Тема 1. Специальная теория относительности

19

неподвижен в некоторой ИСО. Мировой линией его является прямая, любой отрезок которой временеподобный интервал. Пусть второй объ-

ект расходится с первым в точке A, далее движется с ускорением и вновь

соединяется с первым в точке B (можно считать, что первый объект

это Земля, второй космический корабль). Заметим, что интервал между концами любого элемента на мировой линии второго объекта

временеподобный. Из геометрических соображений ясно, что интеграл

B

t = 1c R dS максимален вдоль отрезка прямой ; для любой криволи-

A

нейной мировой линии он меньше.

1.3Преобразования Лоренца

Теперь нам необходимо установить явный вид преобразований, сохраняющих интервал, и связать параметры этих преобразований м физическими величинами. В качестве примера будем рассматривать преобразования перехода между двумя декартовыми системами координат (последние являются частным случаем искомых преобразований S S0

между ИСО).

Напомним важный момент: мы ищем линейные преобразования, т.к. равномерное прямолинейное движение, описываемое линейными уравнениями, должно оставаться таковым в любой ИСО, а значит, линейными должны быть и преобразования перехода.

Группа преобОпираясь на физические соображения, можно сформу-
разований	лировать условия, которым должны удовлетворять ис-
	комые преобразования перехода S S0:

1.множество всех допустимых преобразований всегда содержит тождественное (единичное), которое описывает переход от ИСО к ней самой (т.е. равносильно отсутствию преобразования);

2.последовательное действие двух преобразований S1 → S2 → S3 эквивалентно одному преобразованию S1 → S3;

Тема 1. Специальная теория относительности	20
3. наряду с преобразованием S1 → S2	множество всех допусти-

мых преобразований должно содержать и обратное преобразование S2 → S1; последовательное применение двух таких преобразований есть тождественное преобразование.

В физике и математике множество преобразований, удовлетворяющих сформулированным условиям, принято называть группой. Таким образом, мы ищем группу линейных преобразований, сохраняющих интервал.

Преобразование координат при переходе к другой ИСО Обсудим сначала свойства вышеупомянутых преобразований, которые в совокупности должны образовывать группу. Пусть один и тот же вектор a представлен своими координатами в системах K è K0. Мы можем

совместить систему K0 с системой K; осуществляя требуемое для этого движение, мы можем привязать a к системе K0, чтобы он двигался вместе с ней. В результате произойдет переход a → a0; длина вектора

при этом не изменится. Анализируя этот пример, нетрудно понять, что группа преобразований координат есть группа всевозможных трехмерных вращений. Преобразование вращения описываются ортогональными матрицами размерности 3; все множество таких матриц также образуют группу относительно операции умножения. Однако эта группа для нас избыточна: она наряду с вращениями включает в себя и инверсию. Группа вращений это подгруппа группы ортогональных матриц; в нее входят только матрицы, определитель которых равен + 1 они описывают вращения без инверсий. Матрицы с единичным определителем называются специальными . Отсюда становится понятным название группы вращений:

SO (3) группа специальных линейных преобразований в пространстве размерности 3.