Teorija_Polja

Тема 1. Специальная теория относительности

31

лярное произведение векторов; вектор; прямое произведение векторов. При этом всякий вектор преобразуется как радиус-вектор.

•псевдоскаляром, псевдовектором, псевдотензором объекты, кото-

рые ведут себя так же, как истинные (см. выше) только при вращениях, (т.е. ортогональных преобразованиях с определителем, равным 1), но преобразуются иначе при инверсиях ортогональных преобразованиях, не сводящихся к вращениям (их определитель равен −1.)

Замечание. Åñëè GT G = E, òî det G = ±1 (это следует из того, что det GT G = (det G)2 = det E = 1). Поэтому любые два преобразования

с одинаковым знаком детерминанта превращаются одно в другое путем домножения на матрицу вращения.

Преобразование компонент опе-

ратора r

Рассмотрим трансформационные свойства оператора r.

Он должен преобразовываться как вектор. Покажем это, рассмотрев скалярное произведение, включающее в себя градиент:

		3				3
x0		Xj				X		x0
i	=	( )ij	j	↔	i =	j=1	ij	j
		=1

	3	∂f
	Xi		=
	a · rf(r) ≡ ai ∂xi
	=1

!

XX

=gjiai

ji

3		∂xj0				∂f		3	∂f
i,j=1 ai								= i,j=1 aigji		=
		∂xi		∂xj0					∂xj0
X								X
∂f		3			∂f
			a0					0 0f 0	.	(1.28)
∂xj0 =		Xj
			j ∂xj0 ≡ a · r (r )
		=1

Таким образом, скалярное произведение произвольного вектора a с оператором набла есть инвариант значит, набла является вектором.

1.54-векторы, 4-тензоры и преобразования Лоренца

Можно предположить, что и релятивистские физические уравнения должны иметь инвариантную форму но относительно преобразований Лоренца. Отметим, что эти уравнения нам еще предстоит получить !

Тема 1. Специальная теория относительности

32

Важный шаг на пути отыскания релятивистских уравнений установление допустимых форм выражений.

Введем 4-радиус-вектор:

Xi = (ct, x, y, z) = (ct, r), i = 0, 1, 2, 3.

(1.29)

Таким образом, этот 4-вектор имеет компоненты: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z. Один и тот же вектор имеет различные координаты в различных

ИСО; преобразование координат происходит в соответствии с формулами преобразования Лоренца (1.13). При этом сохраняется интервал аналог квадрата длины обычного вектора:

(ct)2 − x2 − y2 − z2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2.

4-векторы Будем называть 4-вектором Ai всякую 4-компонентную âå-

личину, преобразующуюся в соответствии с правилом Лорен-

öà (1.13):

A	0	= γ	A0	0	+2 c A01			2	,		A3			= γ 3		A0		1	+ c A0					,					(1.30)
						v							1							v		0
					A = A0				,		A			= A0 .
											0		2		1		2				2	2				3		2	будем
Инвариант этих преобразований
называть квадратом длины 4-										A
														− A				− A					− A
							вектора.
По аналогии		ñ	4-радиус-вектором,											для произвольного											4-вектора

Ai = (A0, A) принята терминология: A0 временная компонента,

A = (A1, A2, A3) пространственные компоненты.

	Ковариантные и	Естественно обобщить понятие квадратичной формы
	контравариантные	(квадрата вектора), введя соответствующую ей били-
	компоненты
		нейную форму; последняя будет аналогом скалярного
		произведения. Для 4-векторов оно определяется как
		(A, B) = A0B0 − A1B1 − A2B2 − A3B3.	(1.31)

При этом, однако, возникает специфическая трудность в записи: необходимо правильно расставлять знаки. Запись AiBi может быть понята

Тема 1. Специальная теория относительности

33

неправильно, поскольку согласно обычным правилам все слагаемые входят в такую сумму со знаком + . Возможный способ избежать недоразумений записывать билинейную форму развернуто: P gijAiBj íî ýòî

слишком громоздко! Был найден изящный выход: для любого вектора вводится два варианта набора координат:

Ai

= (A0

, A1

, A2

, A3) −

Ковариантные

)

ýòîì :

( A2

=

A2, A3

=− A3.

Ai

= (A0

, A1

, A2

, A3)

Контравариантные

ïðè

A0

= A0, A1

= A1,

компоненты

−

компоненты

−

−

(1.32)

Метрический тенВедем важное понятие метрический тензор:

çîð.

Правила

0

1

0

0

кания индексов

поднятия и опус-

1

0

0

0

0

0

1

0

gik

= (g

ik

) =

0

−

0

0

1

−

При помощи метрического тензора можно в компактной форме записать правила поднятия и опускания индексов:

gikAk = Ai, gikAk = Ai.

(1.33)

Прямой проверкой нетрудно убедиться, что эти правила согласуются с введенными выше соотношениями (1.32) для компонент ковариантных и контравариантных векторов.

Скалярное проТеперь можно дать скалярному произведению такую фор- изведение му записи, в которой правильные знаки слагаемых учиты-

ваются автоматически. Определим скалярное произведение формулой:

(A · B) = AiBi = AiBi,

где, как обычно, подразумевается сумма по двойному индексу. Учитывая (1.33), имеем:

AiBi = AiBi = gikAiBk = gikAiBk = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 = = A0B0 − A1B1 − A2B2 − A3B3 = A0B0 − A1B1 − A2B2 − A3B3.

(1.34)

Тема 1. Специальная теория относительности

34

В частности, квадрат длины вектора имеет вид:

AiAi = gikAiAk = gikAiAk.

Вводя контравариантный 4-радиус-вектор Xi = (ct, r) и ковариант-

ный 4-радиус-вектор Xi = (ct, −r), можно составить изящное выраже-

ние для интервала:
XiXi = c2t2 − |r|2.	(1.35)

По аналогии с классификацией интервалов (с.15) вводится следующая классификация 4-векторов:

AiAi > 0 временеподобный 4-вектор;

AiAi < 0 пространственноподобный 4-вектор; AiAi = 0 нулевой 4-вектор.

Замечание: компоненты нулевого 4-вектора не обязаны быть равны нулю !

Совершенно антисимметричный единичный 4-псевдотензор четвертого ранга

Обозначим этот тензор (в контравариантной форме записи) как: iklm. Дадим определение по аналогии с трехмерным случаем (с.27):

(

iklm = +1,

0123 = +1 →

iklm = −1,

åñëè {iklm} получено из {1234} четным числом транспозиций

åñëè iklm	}	получено из	{	1234	}	(1.36)
нечетным{
	числом транспозиций

Если пара индексов совпадает элемент равен нулю. Тождества, приведенные на с.29, обобщаются следующим образом:

δk

δk

δk

δk

δpi

iklm

=

δi

δi

δi

δi

,

iklm

= δk

p

r

s

t

p

r

s

t

prst

δ

l

δ

l

δ

l

δ

l

prsm

p

p

r

s

t

δl

m

m

m

m

p

δp

δr

δs

δt

prlm = −2

δi

δi

,

pklm = −6 δp,

iklm

δpk

δrk

iklm

p

r

i

iklm

=

−

24,

prst

= gpigrkgslgtm

.

iklm

iklm

δri	δsi
δl	δl
δrk	δsk		,
r	s

(1.37)

(1.38)

(1.39)

4-тензоры произвольного ранга

Тема 1. Специальная теория относительности

35

Во всех этих формулах подразумевается суммирование по одинаковым

разновысоким индексам.

Также, как и в случае координатного трехмерного пространства, мы можем вводить четырехмерные тензоры произвольного ранга. Однако, поскольку возможны два варианта задания массивов величин, характеризующих

тензор, соответствующие верхнему и нижнему расположению индексов, мы имеем несколько форм записи для тензоров:

Aiklm = gitAtklm = gitgksAtslm = gitglsAtksm = · · · .

Заметим, что нужно тщательно следить за тем, каким является индекс, занимающий определенное положение при чтении слева направо; переставлять местами индексы нельзя ! Физическое уравнение будет правильным, если оно будет являться равенством тензоров одинаковой конфигурации. Приведение к нужной форме может потребовать поднятия / опускания (с.33) одного или нескольких индексов.

Тензор второго ранга, для которого Aik = ±Aki, называют соответ-

ственно симметричным (антисимметричным). Очевидно, что для антисимметричного тензора элементы с одинаковыми индексами равны нулю: Akk = 0. Если тензор симметричный, то Aik = Aki. Это позволяет писать просто Aik (располагать индексы один под другим); именно так записывают единичный тензор δki .

Ранг тензора может быть понижен путем суммирования по одной или нескольким парам индексов; в каждой паре один индекс должен быть верхним, а второй нижним. Соответствующая процедура называется вычислением следа тензора, или свертыванием (упрощением) тензора. Приведем пример:

Aijkk = gksAijks = gksAijsk =

=gksgkl Aijsl ≡ Aijkk = Cij;

|{z}

δls

здесь записаны разные формы представления тензора 2-го ранга Cij, полученного путем свертывания тензора 4-го ранга.

Тема 1. Специальная теория относительности

36

Скалярное произведение можно считать результатом свертывания тензора 2-го ранга, являющегося прямым произведением двух векторов:

Дуальные тензо-

ры: пример в координатном пространстве

AiBk AiBi .

|{z} |{z}

прямое скалярное произведение произведение

Пусть вектор является векторным произведением: C = [A×B]. Запишем это соотношение в компонентах, пользуясь символом Леви-Чивиты (1.19):

	3	1		3
	X			X
	Cα =	αβγAβBγ =		αβγCβγ,
			2
	β,γ=1			β,γ=1

ãäå Cβγ = AβBγ − AγBβ. Сделанная запись устанавливает соответствие

между вектором и антисимметричным тензором; последние называются дуальными друг другу:

Cα дуален Cβγ :

Cβγ Cα.

Земетим, что Cβγ истинный тензор (построен из компонентов истинных векторов); получившийся вектор Cα псевдовектор (т.е. аксиаль-

ный вектор). Скалярное произведение вектора и псевдовектора псевдоскаляр: при инверсии всех координатных направлений эта величина знак.

Дуальность Понятие дуальности обобщается на случай 4-тензор следу-
4-тензоров	ющим образом:
	(1)		2
	z}|{				(2)
	Aik		A ik =	1	iklm Alm	;
	(3)				|{z}
	z}|{				(4)
	Ai		A ikl = iklm Am

|{z}

Здесь: (1) истинный антисимметричный тензор и (2) дуальный к нему псевдотензор; (3) истинный вектор и (4) дуальный к нему антисимметричный псевдотензор.

Тема 1. Специальная теория относительности

37

Структура антисимметричного 4-тензора

может быть представлена так:

p1y

0

px

pz

−

px

z0

}|z

{y

.

Aik

=

py

az

−

0

(1.40)

ax

a

a

−

−

−

pz

ay

ax

0

−

2

|

{z

}

Здесь: (1) компоненты истинного (полярного) вектора p R3; (2) антисимметричный тензор в R3, или псевдовектор (аксиальный вектор) a R3 с компонентами ax, ay, az.

Установленная связь позволяет записывать:

Aik = (p, a).

(1.41)

1.6Интегральные и дифференциальные операции с тензорными полями

1.6.1. 4-градиент скалярного поля

Определим тензор 1-го ранга (вектор), получающийся путем взятия производных скалярной величины (тензора нулевого ранга) по различ- ным компонентам 4-радиус-вектора. Этот вектор будет четырехмерным аналогом оператора градиента:

		∂ϕ
∂Xi			=		c ∂t			, rϕ = Di,
∂Xi		= gik ∂Xk =						c ∂t , −rϕ .
∂ϕ				∂ϕ					1 ∂ϕ

(1.42)

(1.43)

Иногда пользуются сокращенной формой записи:

∂ϕ

∂Xi = ∂iϕ = ϕ, i,

∂ϕ = ∂iϕ = ϕ, i. ∂Xi

(1.44)

(1.45)

Тема 1. Специальная теория относительности

38

Дифференциал скалярного поля запишется в виде:

dϕ = Didxi (сумма по двойному индексу !)

1.6.2.Интегралы от тензорных полей в трехмерном пространстве

В трехмерной теории поля используются три типа интегралов, обладающие тем свойством, что форма записи интеграла инвариантна относительно замены системы координат (т.е. не зависит от того, какая система координат выбрана). Рассмотрим эти типы:

Криволинейные	Это интегралы по многообразиям наименьшей размер-
интегралы от
	ности, вложенным в трехмерное пространство, т.е. по
векторных полей
	кривым (размерность 1). Они имеют форму:
	B	tB
	Z	Z

F(r) · dr = F r(t) r0(t)dt.

A tA

В интеграле суммируются значения скалярного произведения векторного поля, взятого в различных точках r кривой, и касательных векторов

dr. Правая часть равенства показывает, как общее выражение принима-

ет вид некоторого определенного интеграла по параметру t, если задать кривую параметрически: r(t) = {rx(t), ry(t), rz(t)}. Как обычно, r0 îáî- значает производную по параметру.

Тройные интегралы от скалярных полей

Это интегралы по пространственным областям, имеющим наибольшую размерность 3. Они имеют вид:

	b		ϕ2(x)		ψ2(x,y)
Z f(r) dV = Z dx			Z	dy	Z	dz f(x, y, z).
V	a	ϕ1(x)		ψ1(x,y)

Тройной интеграл можно записать как поверхностный (3-кратный), сводя его к трехкратному определенному интегралу. При изменении системы координат в преобразовании участвует якобиан: модуль определите-

Òåìà 1.

Специальная теория относительности

39

ля матрицы Якоби:

f(r) dV =

f(µ, η, ν)

3

ijk

∂xi ∂xj ∂xk

dµ dη dν. (1.46)

Z

ZZZV

i,j,k=1

∂µ ∂η ∂ν

V

X

якобиан; см.(1.20)

		Этот тип интеграла|				}суммированию по
	Поверхностные		соответствует{z
	интегралы от	элементам многообразия промежуточной размерности
	векторных полей
		2 поверхности, вложенной в 3-мерное пространство.
		Векторный элемент является произведением площади

элемента плоскости на единичный вектор нормали . Это произведение можно записать в форме векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости вдоль сторон элементарного параллелограмма:

							3
	≡ n			d 0	]		X			dx0 .
d~σ		dσ	d			dσ		αβγ	dx
			= [ r ×	r		α =	β,γ=1		β	γ

Учитывая сказанное на с.36 о дуальных тензорах, можно также запи-
ñàòü:		3
1
		X
dσα =		αβγdXβγ,
	2
		β,γ=1
ãäå			dxγ		dxβ0	.
dXβγ = dxβdxγ0 − dxγdxβ0 =
				dxβ	dx0
					γ

Таким образом, возможны следующие формы записи интеграла:

I = Z	F · d~σ = Z (F · n) dσ = Z		F · [dr × dr0] = Z	3
				α,β,γ=1 αβγFαdxβdxγ0 .
V	Σ	Σ	Σ	X

Если обозначить dσα = dXα, его можно также представить в виде:

Z3

Σ	X
I =	FαdXα.
	α=1

Замечание. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го рода можно считать частным случаем рассмотренных выше интегралов 2-го рода; они возникают, если векторные поля имеют специальный вид.

Тема 1. Специальная теория относительности

40

1.6.3. Интегралы от 4-тензорных полей

Рассмотрим теперь возможные типы интегралов в 4-мерном пространстве. При этом будем следовать аналогии с трехмерным случаем.

Интеграл вдоль Речь идет о выражениях вида
кривой в 4-мерном			B			B
пространстве		Z		Aidxi = Z			Aidxi =
		A				A
t2		dx0			dx1			dx2		dx3
= Z
	A0		− A1			− A2			− A3		dt,
		dt			dt			dt		dt
t1	n										o

ãäå Ai = Ai x0(t), x1(t), x2(t), x3(t) . В данном случае обобщение трех-

мерной ситуации носит совершенно очевидный характер и не требует пояснений. Следует только следить за тем, чтобы в скалярном произведении индексы были разновысокими это гарантирует правильную последовательность знаков в фигурной скобке.

Интеграл по 4- Этот интеграл также является естественным обобщени- мерной области ем тройного; элементами являются объемы 4-мерных.

Можно свести такой интеграл к четырехкратному:

	b	ϕ2(x0)		ψ2(x0,x1)		ξ2(x0,x1,x2)
Z f dΩ = Z dx0		Z0	dx1	Z0 1	dx2	0Z1 2	dx3 f x0	, x1, x2, x3	=
a	ϕ1(x )		ψ1(x ,x )		ξ1(x ,x ,x )

t2

ZZ

= c

dt

f t, r dV.

t1 V (t)

(естественно, последовательность, в которой берутся интегралы по отдельным переменным, можно менять). При замене переменных интегрирования возникает якобиан, выражающийся через определитель размерности 4.

Переходя к обобщению поверхностных интегралов, заметим, что поскольку максимальная размерность теперь равна 4, имеется два про-

межуточных случая между случаем кривой (dmin = 1) и 4-областью