Teorija_Polja

Тема 1. Специальная теория относительности

41

(dmax = 4). Чтобы определить соответствующие интегралы, удобно использовать понятие дуальности тензоров.

	Интеграл	ïî	2-	Поверхность, или двумерное многообразие, в 4-мерном
	мерной гиперпо-			пространстве можно задавать тем же способом, что и
	верхности	â	4-
				в трехмерном как точечное множество, порождаемое
	мерном простран-
				изменением двух независимых параметров: координа-
	ñòâå

ты точек поверхности допускают представление вида

x0 = U(µ, ν), x1 = V(µ, ν), x2 = W(µ, ν), x3 = L(µ, ν).

Выбрав точку на поверхности, можно после этого дать приращение отдельно одному и другому параметру; это порождает два вектора смещений (они всегда линейно-независимы; часто параметризация такова, что они оказываются и ортогональны):

(µ, η) → (µ + dµ, η) = dxl = ∂xl dµ; ∂µ

	µ, η	) → (	µ, η	+	dη	) =	dx0l	=	∂x0l	dη.
									∂η
	(

Используя векторы смещений, образуем антисимметричный тензор и далее дуальный к нему тензор (с.36):

dXlm = dxldx0m − dxmdx0l =	dxl	dx l	= dXik =	1			iklmdXlm.
	dxm	dx00m		2

Преобразуем dX , используя свойство

антисимметрии:

ik

=l

1

dxldx m

dxmdx

l

1

dXik =l 2miklm1

0

l

−m

0

m

=

iklmdx dx0

−

ikmldx

dx0

= iklmdx

dx0

.

2

2

Здесь, после раскрытия скобок, мы сначала сменили во втором слагаемом обозначения: l ↔ m; после было использовано свойство тензора

Леви-Чивиты: ikml = − iklm.

Итоговые формулы можно записать в виде:

	1			∂xl ∂xm
dX	=		iklmdXlm = iklmdxldx0m = iklm				dµdη.
ik	2			∂µ ∂η

Тема 1. Специальная теория относительности	42
Заметим, что дуальный тензор dXik	является аналогом векторного

произведения. В частности, выполняется условие ортогональности, dXikdXik = 0, ò.å. dXik задает направление , ортогональное к элементу поверхности.

Замечание. Если перейти к трехмерному пространству и обычному скалярному произведению, то легко узнать в dXi = ilmdxldx0m вектор

dσi, у которого (а) направление ортогонально к поверхности и (б) длина

равна площади элемента.

В роли объекта интегрирования выступает тензорное поле ранга 2; интеграл принимает вид:

Z	Aik dXik = iklm	Z	Aik	∂xl ∂xm
							dµdη.
				∂µ		∂η

Приведем также четырехмерный аналог формулы (1.46):

Z f(x0) dΩ = ZZZZω f(µ, η, ν, λ)			∂x ∂x ∂x ∂x
		ijkl	i		j		k		l		dµ dη dν dλ.
			∂µ		∂η		∂ν		∂λ
ω											(1.47)

	Интеграл	ïî	3-	Гиперповерхность размерности 3 (трехмерное многооб-
	мерной гиперпо-			разие) также удобно задавать параметрически с помо-
	верхности	â	4-
				щью функций трех параметров:
	мерном простран-
				x0 = U(µ, η, ν), x1 = V(µ, η, ν),
	ñòâå

x2 = W(µ, η, ν), x3 = L(µ, η, ν).

Совершая малые движения путем изменения только одного из трех параметров, получаем:

∂xl
(µ, η, ν) (µ + dµ, η, ν) = dxl =				dµ,
		∂µ
(µ, η, ν) (µ, η + dη, ν) = dx0l =		∂xl
					dη,
		∂η
(µ, η, ν) (µ, η, ν + dν) = dx00l =		∂xl
						dν, .
			∂ν

Дуальный псевдовектор

Тема 1. Специальная теория относительности

43

Далее, по аналогии с предыдущим случаем, можно ввести

dxk dx0k dx00k

dXklm =

dxl

dx0l

dx00l

=

dSi =

1

iklmdXklm.

3!

dx

m

dx

dxm

m

0

00

dSi это также аналог векторного произведения: это вектор, ортогональный к трехмерной гиперповерхности. Модуль его равен объему малого элемента гиперповерхности. Можно показать, что

1	iklmdXklm = iklmdXkdx0ldx00m = iklm	∂xk ∂xl ∂xm
							dµdηdν.
3!		∂µ ∂η ∂ν

Интегрируя 4-векторное поле, имеем:

Z	AidSi =	1		Z	AidXklm = iklm Z	Ai	∂xm
			iklm					dµdηdν.
		3!					∂ν

Пример. Пусть x0 = µ, x1 = η, x2 = ν, x3 = f(µ, η, ν). Тогда частные

производные равны

∂µ

=

δ0k + δ3k ∂µ

;

∂η

=

δ1k + δ3k ∂η

;

∂ν

=

δ2k + δ3k ∂ν .

∂xk

∂f

∂xk

∂f

∂xk

∂f

1.6.4. Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса

В обычной теории поля имеются соотношения между интегралами различного типа; соответствующие обобщенные теоремы доказываются и в четырехмерном случае. Чтобы угадать вид формул в 4-мерном варианте, сначала несколько преобразуем формулы трехмерного случая.

Теорема Остроградского-	I	F · d~σ = ZZZ	divF dV.	(1.48)
случае
Гаусса в 3-мерном
	Σ=∂Ω	Ω

Записывая дивергенцию через оператор набла, можно сформулироватьправило замены при переходе от поверхностного интеграла к объемному:

d~σ → dV · r.

мерное многообразие (гиперповерхность). Поэтому

Тема 1. Специальная теория относительности

Теорема Стокса в	записывается в виде:
3-мерном случае	ZZ	rotF · d~σ = I	F · d`.~
	Σ	=∂Σ

44

(1.49)

Поскольку понятие ротора не имеет 4-мерного аналога, преобразуем левую часть, используя антисимметричный тензор:

! =

3

3

3

ZZ

rotF · d~σ

= Z

l=1

i,k=1

ikl ∂xi

2 m,n=1

lmndXmn

X

X

∂Fk

1

X

( )

1

3

X

∂Fk

=

i,k,l,m,n=1 Z

(δimδkn − δinδkm) dXmn =

2

∂xi

dXmn

1

3

∂Fn

∂Fm

3

∂Fn

=

( )

m,n=1 Z

2 m,n=1 Z

∂xm −

∂xn

=

∂xm dXmn

X

X

В равенстве ( ) было учтено тождество (1.22), а в равенстве ( ) àí-

тисимметричность тензора X: Xmn = −Xnm.

Перейдем к четырехмерному обобщению этих результатов.

4-мерный аналог

теоремы ОстроградскогоГаусса

I	AidSi = Z	∂Ai
		∂xi dΩ.	(1.50)

Здесь роль замкнутой поверхности , охватывающей 4-область, играет 3- dSi это 4-векторы, ортогональные к гиперповерхности; их модули суть элементы объема.

Дивергенция в правой части определена через четырехмерное скалярное произведение (с учетом сигнатуры (1.31)).

4-мерный аналог

	I	Aidxi = 2	Z	dXmn ∂xn		− ∂xm = Z		dXmn ∂xn .
теоремы Стокса		1			∂Am		∂An	∂Am

(1.51) Здесь аналогия трехмерным случаем наиболее полная: справа стоит интеграл по фрагменту 2-мерной поверхности; слева интеграл по охватывающему контуру. Следует однако иметь в виду, что способ вычисления 4-скалярного произведения отличается от обычного (см. с. 33).

Тема 1. Специальная теория относительности

45

Для антисимметричного тензорного поля Aik можно записать еще одно соотношение, являющееся аналогом теоремы Стокса:

1

I

1

Z

dSi

∂Aik

∂Aik

≡ Z

∂Aik

AikdXik

=

− dSk

dSi

.

2

2

∂Xk

∂Xi

∂Xk

1.7Четырехмерная скорость

Обычная классическая механика основана на использовании уравнений, являющихся равенствами векторов координат, скоростей, ускорений, угловых моментов и т.д. Используя векторы (т.е. величины, правильно преобразующиеся при заменах координат), а также правильные способы формирования их композиций, мы можем быть уверены в том, что итоговые уравнения будут иметь инвариантную форму.

Для построения 4-мерной механики нам понадобятся соответствующие 4-векторные величины. Пока мы имеем единственную такую вели- чину 4-радиус-вектор. Введенная на с.25 скорость не является 4- вектором. Этот недостаток определения скорости легко исправить, вводя

4-скорость:	dxi
ui =
		.	(1.52)
	dS

Эта величина преобразуется как 4-вектор, т.к. стоящая в знаменателе величина dS инвариант преобразований Лоренца. Учитывая полученные ранее формулы (1.9, 1.10), имеем:

dS2 = c2dτ2 = c2dt2

−

dx2

−

dy2

−

dz2, dS = c

·

dτ =

c · dt

,

откуда

p1 − v2/c2

ui = dS

= c dτ = dS ,

dS ,

dS ,

dS

= p1 − v2/c2 .

(1.53)

dxi

1 dxi

cdt

dx

dy

dz

(1, v/c)

Заметим, что из равенства dxidxi = dS2 следует, что

uiui = 1;

(1.54)

таким образом, вектор 4-скорости имеет единичную длину.

Тема 1. Специальная теория относительности	46
Аналогично 4-скорости можно ввести и 4-ускорение:
d2xi	dui

wi = dS2 = dS .

Легко видеть, что 4-скорость и 4-ускорение всегда взаимно ортогональны для этого нужно учесть (1.54):

d	uiui	dui			du		du
		=		ui + ui	i	= 0 = uiwi = ui	i	= 0.
dS			dS		dS		dS

Òåìà 2

Релятивистское описание свободной частицы

Чтобы сформулировать релятивистские законы механики и вывести соответствующие уравнения, естественно опираться на аналогии с классической механикой. Кроме того, следует учитывать, что построенная

теория должна в пределе v/c → 0 переходить в классическую механику.

2.1Принцип наименьшего действия

Предположим, что, как и в классической механике, уравнения релятивистской механики можно найти из принципа наименьшего действия. Это значит, что существует функционал от функций, определяющих траекторию между двумя мировыми точками, и этот функционал минимален, если в него подставить истинные функции, отвечающие реально осуществляющейся траектории. Если такой функционал найден, то уравнения движения можно вывести, приравнивая к нулю первые вариации функционала (подобно тому, как минимум функции ищут, приравнивая к нулю первые производные). Напомним, что этот функционал

называется действием S и имеет вид интеграла от функции Лагран-

æà L, берущийся вдоль траектории:

t2
S[x(t), x˙ (t)] = Z	L[x(t), x˙ (t)] dt.
t1

47

Функциональное

дифференцирование и принцип наименьшего действия

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

48

В зависимости от формы функций x(t), величина

принимает то или иное числовое зна-

S {x(t), x˙ (t)}

чение. Согласно терминологии, принятой в математике, функцией называется правило (отображение), сопоставляющее числовому множеству (аргументы) другое числовое множество (значения функции), в то вре-

мя как отображение множества функций на множество чисел называют функционалом. Таким образом, действие S является функционалом от

x(t).

Действия с функционалами представляют собой прямое обобщение операций над обычными функциями нескольких переменных. Пусть

F = F (ϕ1, . . . , ϕN ) функция от N независимых переменных ϕα. Ïðà-

∂F

вило вычисления частных производных ∂ϕα не зависит от N, поэтому от конечного набора переменных можно непосредственно перейти к слу-

чаю, когда набор {ϕα} образует бесконечное счетное множество. Следующий шаг по пути обобщения состоит в том, что множество {ϕα} будет несчетным, т.е. индекс α принимает не только целые, но все вещественные значения в некотором интервале. В этом случае более удобным будет обозначение ϕα = ϕ(α), а функция F (. . . , ϕα, . . .) переходит в функционал F [ϕ].

Как известно, для поиска экстремума функции приравнивают к нулю ее частные производные по независимым переменным. Этот метод

переносится и на функционалы: так, чтобы найти закон движения x(t), мы должны решить уравнение:

δSδx = 0,

где слева записана функциональная производная функционала действия.

Функциональная производная определяется как

	δF		= lim	F [ϕ(x) + εδ(x − y)] − F [ϕ(x)]
	δϕ(y)			ε
			ε→0

и вычисляется аналогично обычным частным производным. В частно-

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

49

ñòè,

δϕ(x)

δϕ(y)

= δ(x − y),

чему для дискретных независимых переменных соответствует равенство ∂ϕα = δαβ . В отличие от обычной функции, функционал может зави-

∂ϕβ

сеть не только от ϕ(x), но и от ее производных. Пусть

Z

F [ϕ] = dx f ϕ(x), rϕ(x) .

Тогда, распространяя на функционалы обычное правило дифференцирования сложных функций, имеем:

δϕ(y)

Z

δϕ(y)

Z

∂ϕ(x) δϕ(y)

∂rϕ(x) δϕ(y)

δF

=

dx

δf

=

dx

∂f δϕ(x)

+

∂f

δrϕ(x)

=

= Z

dx

∂ϕ(x)δ(x − y) + ∂rϕ(x)rδ(x − y)

= ∂ϕ(y) − r

∂rϕ(y).

∂f

∂f

∂f

∂f

В последнем равенстве было произведено интегрирование по частям, при котором операция r переносится с дельта-функции на первый множитель. В частности, для функционала действия

Z

S = L {x(t), x˙ (t)} dt

это означает:

δS

∂L

d ∂L

t=t1

=

−

δx(t1)

∂x(t)

dt

∂x˙

и принцип наименьшего действия приводит к

уравнениям движения в

форме Лагранжа:

d ∂L

∂L

−

.

dt

∂x˙

∂x(t)

Форма

функционала

действия

Попытаемся угадать вид функционала действия. При этом будем руководствоваться следующими принципами:

1. Действие должно иметь вид интеграла от некоторого дифферен-

циала. Как само действие, так и дифференциал должны быть скалярами (т.е. инвариантами преобразований Лоренца). Отметим, что для свободной частицы единственным таким инвариантом является интервал.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

50

Поэтому можно предположить, что для свободной частицы функционал действия должен иметь вид:

S = −α Z	b
	ds, (α = const).	(2.1)

a

2. Можно показать, что интеграл от дифференциала интервала мак-

симален вдоль прямой мировой линии, соединяющей мировые точки a è

b, но может быть сделан сколь угодно малым с помощью выбора подхо-

дящей кривой линии (это следствие псевдоэвклидовости пространства). Ясно, что свободная частица должна двигаться вдоль прямой мировой линии. Таким образом, действие должно быть минимально, когда интеграл максимален. Это приводит (с учетом наличия минуса в (2.1)) к

требованию: α > 0.

3. Вдоль мировой линии изменяются как координаты, так и время.

Для получения традиционной формы действия перейдем к интегрированию по времени. Поскольку скорость свободной частицы не меняется,

между dS è dt должна быть прямая пропорциональность. Учитывая (1.10), имеем:

b		b		t2
S = −α Z	ds = − Z			dt = Z
		α c	1 − v2/c2		L dt.
a	a	p		t1

Тем самым мы нашли (с точностью до множителя α) явное выражение для функции Лагранжа свободной частицы:

p

L = −α c 1 − v2/c2.

4. Учтем, что в классическом пределе ( v c) полученное выражение должно сводиться к хорошо известному результату L = mv2/2 + const. Таким образом,

			' −α c 1 −	1 v2			= const +	mv2
	L = −α c p1 − v2/c2
									,
				2		c2		2

откуда α/c = m. Окончательное выражение для функции Лагранжа