Teorija_Polja

Двумерные

вращения

Тема 1. Специальная теория относительности

21

Наряду с общим преобразованием перехода к другой системе координат в 3-мерном пространстве можно рассмотреть частный случай двумерного преобразования, при котором

одна координата в старой и новой системах совпадают. Таким преобразованиям соответствуют двумерные вращения (повороты в плоскости). Нетрудно показать, что любое трехмерное вращение можно представить в виде совокупности трех двумерных вращений. Действительно, трехмерное вращение это поворот на некоторый угол вокруг некоторой оси. Выберем первоначальное направление оси вращения как луч, идущий из центра сферы и задающий направление к ее полюсу. Чтобы перевести этот луч в произвольное направление, нужно два вращения: в плоскости, проходящей через луч, и далее в экваториальной плоскости. Третье вращение это вращение вокруг самого луча.

Двумерное преПо аналогии с 2-мерным вращением будем искать дву-

образование Ломерное преобразование перехода ИСО ИСО. Для этого ренца будем считать, что две из трех пространственных коор-

динат в ходе преобразования не изменяются (пусть это будут декартовы координаты x è y). В этом случае соотношение инвариантности интервала принимает вид:

c2 t2 − x2 = c2 t02 − x02.

Запишем сначала хорошо известное равенство, означающее, что при двумерных вращениях расстояние между точками (длина вектора) сохраняется:

y!	=	− sin ϕ	cos ϕ!	y00	!	=	− x0 0 sin ϕ +	y00 cos ϕ!	,
x		cos ϕ	sin ϕ	x			x cos ϕ +	y sin ϕ

откуда

x2 + y2 = (Δx0 cos ϕ +		y0 sin ϕ)2 + (− x0	sin ϕ +	y0 cos ϕ)2 =
=	x02 + y02	(cos2 ϕ + sin2 ϕ) =	x02 +	y02.

Таким образом, в этом случае неизменной остается сумма квадратов вектора.

Тема 1. Специальная теория относительности

22

Каким должно быть преобразование, обеспечивающее неизменность разности квадратов ? Заметим, что полученное выше равенство выполняется вследствие особого свойства синуса и косинуса: сумма их квадратов равна 1. В математике хорошо известны аналогичные функциигиперболические синус и косинус для которых разность квадратов равна 1. Приведем полезные сведения:

cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1			ch2ϕ − sh2ϕ = 1
cos ϕ = 21(eiϕ + e−iϕ)			chϕ = 21(eϕ + e−ϕ)
sin ϕ =	1	(eiϕ − e−iϕ)	shϕ = 21(eϕ − e−ϕ)
	2i
cos ϕ = 1 − ϕ2/2! + ϕ4/4! − . . .			chϕ = 1 + ϕ2/2! + ϕ4/4! + . . .
sin ϕ = ϕ − ϕ3/3! + ϕ5/5! − . . .			shϕ = ϕ + ϕ3/3! + ϕ4/4! + . . .

ch(iϕ) ≡ cos ϕ, sh(iϕ) ≡ i sin ϕ, th(iϕ) ≡ i tgϕ,

Теперь нетрудно угадать вид искомого преобразования:

!		!	x0	!
x	chϕ	shϕ		=
=			c t0
c t	shϕ	chϕ

x00	shϕ + c	t00	chϕ! .
x	chϕ + c	t	shϕ

Действительно, в этом случае

c2 t2 − x2 = (Δx0 shϕ + c t0 chϕ)2 − (Δx0 chϕ + c t0 shϕ)2 = = c2 t02 − x02 (ch2ϕ − sh2ϕ) = c2 t02 − x02.

Итак, мы имеем:

x = c t =

x0	shϕ + c	t0	chϕ) .	(1.11)
x0	chϕ + c	t0	shϕ

Если договориться, рассматривая интервалы, помещать начальную точ- ку в начало координат, знак в этих формулах можно не писать.

Физический смысл Рассмотрим две ИСО S è S0, соответственные декар-

параметра ϕ	товы оси которых будут параллельны. Штрихованная
	систем движется вдоль оси Ox	k	Ox0 со скоростью

v. Запишем закон движения начала координат штрихованной системы. Подставляя в (1.11) x0 = 0, имеем:

c t = c	t0	chϕ)	= thϕ = c t		= c .	(1.12)
x = c	t0	shϕ		x	v

Тема 1. Специальная теория относительности

23

Далее, опираясь на свойство гиперболических функций, нетрудно полу- чить:

chϕ = 1/q		1 − th2ϕ		= 1/							,
						1 − v2/c2
shϕ = chϕ			thϕ = (v/c)/p							.
					1			v2	/c2
	·			p			−

В итоге получаются стандартные формулы преобразований Лоренца:

x = (x0	+ v t0) γ, y = y0, z = z0, t = t0 +				v	x0	γ,	(1.13)
					c2
ãäå		p
	γ ≡ 1/ 1 − v2/c2.
Общий вид пре-	Пусть теперь S0	движется относительно					S со скоростью

	образований Ло-	v, причем взаимные ориентации координатных осей и
	ренца
		вектора скорости полностью произвольны. В этом слу-
		чае переход S S0 можно выполнить, вводя вспомога-

тельные ИСО S è S0. Преобразование производится в несколько этапов:

a		δ		0	b
S ←→ S ←→ S					←→ S0.

Будем считать, что ИСО S неподвижна относительно S, à ÈÑÎ S0 íåïî- движна относительно S0. Тогда преобразования (a) и (b) будут просто

трехмерными вращениями. Их можíо выбрать так, чтобы соответству- ющие декартовы оси систем S è S0 были параллельны; при этом их

оси абсцисс должны иметь направление вдоль вектора скорости v. Òåì

самым задача сводится к рассмотренной выше и переход ( δ) будет опи-

сываться формулами (1.13).

Вывод: общее преобразование Лоренца комбинируется из трехмерных вращений и преобразования (1.13).

	Изменение	Вернемся к ранее рассмотренной ситуации: ИСО S0 äâè-
	временных	жется со скоростью v относительно S; соответствующие
	промежутков
		декартовы оси систем параллельны и ось Ox направлена
		вдоль вектора скорости v. Мы фиксируем время на часах,

Тема 1. Специальная теория относительности	24
расположенных в начале координат системы S0	в те моменты, когда они

проходят мимо часов, зафиксированных в точках x1 è x2 системы S. В эти же моменты измеряется время и на часах системы S. По формулам преобразований Лоренца получаем:

t1 = γ t01 + cv2 0 , t2 = γ t02 + cv2 0 , t ≡ t2 − t1 = γ t0.

Мы еще раз получили закон сокращения времени: временной промежуток в собственном времени движущейся системы короче промежутка в неподвижной системе.

Лоренцево Найдем теперь аналогичную закономерность для длин. сокращение Пуст в неподвижной системе S покоится стержень, лежа-

ùèé íà îñè Ox и имеющий концы в точках x1 è x2. Найдем его длину в подвижной ИСО S0 (для определенности считаем, что измерение произведено в момент времени t0, хотя результат от времени не зависит. По формулам (1.13) находим:

x1 = (x01 + v t0) , x2 = (x02 + v t0) , x ≡ x2 − x1 = γ x0.

Отсюда следует формула, связывающая длину стержня в его системе покоя (`0) с длиной в движущейся системе:

r

v2 ` = `0 1 − c2 .

Полученный результат описывает эффект Лоренцева сокращения: движущийся стержень представляется неподвижному наблюдателю более коротким, чем неподвижный стержень.

Преобразование скорости. Найдем формулы, позволяющие расчи- тать значение скорости частицы в одной ИСО по известной скорости в другой ИСО. Для этого запишем преобразования Лоренца для дифференциалов:

dx = γ (dx0 + v dt0) , dy = dy0, dz = dz0, dt = γ dt0 + cv2 dx0 .

Связь меж-

ду угловыми компонентами скоростей.

Тема 1. Специальная теория относительности

25

Деля почленно каждое из первых трех выражений на последнее, имеем:

ux =

dx

=

γ (dx0 + v dt0)

=

ux0 + v

,

dt

v

v u

/c2

γuy0 dt0 + c2 dx0

1

1

1 + uz0 x

(1.14)

uy =

, uz =

.

γ

1 + v ux/c2

γ

1 + v ux/c2

Очевидно, что если v/c → 0, формулы переходят в обычное правило

сложения скоростей (1.2): ux = ux0 + v, uy = uy0			, uz = uz0 .
Частный случай Пусть скорость направлена вдоль оси Ox: ux = u,
uy = uz = 0. В этом случае из предыдущих формул
следует правило сложения параллельных скоростей:
	u0 + v
u =		.
	1 + u0v/c2

Отметим особенности этого результата: (а) если u0 < c, òî è u < c;

(á) åñëè u0 c è v c, òî u = u0 + v этом случае справедливо классическое правило сложения скоростей (1.2); если ; (в) если u0 = c,

òî è u = c свет движущегося источника распространяется не быстрее, чем неподвижного !

Пусть скорость u имеет произвольное направление. Выберем систему координат так, чтобы u лежала в плоскости xOy. Тогда в движущейся системе координат она будет лежать в плоскости x0Oy0. Вводя полярные коорди- наты, получаем: ux = u cos θ, uy = u sin θ, u0x = u0 cos θ0,

uy0 = u0

sin θ0. При этом, согласно (1.14),

u0 cos θ0

+ v

1 u0 sin θ0

+ v

u cos θ =

,

u sin θ =

,

1 + v u2

0 cos θ0

γ

1 + v u2

0

cos θ0

c

p

c

u cos θ

γ u0

cos θ0 + v

u0 cos θ0

+ v

=

tgθ =

u sin θ

=

1

u0 sin θ0

=

1 − v2/c2

u0

sin θ0

. (1.15)

Важным частным случаем является u = u0 = c полученная формула описывает тогда закон аберрацèè ñâåòà:

	p cos θ0 + vc
tgθ =	1 − v2/c2 sin θ0 .	(1.16)

Тема 1. Специальная теория относительности

26

1.4Векторы, тензоры и законы преобразования.

Типичное физическое уравнение является равенством, правая и левая части которого содержат величины, изменяющиеся при переходе от одной системы координат к другой (в частности, являющиеся

компонентами векторов, и т.п. ). При этом конечно же предполагается выполнение естественного требования: форма уравнения инвариантна относительно выбора системы координат (это условие считается очевидным и обычно даже не обсуждается !). Приведем примеры двухсложных уравнений из разных областей физически:

• Уравнение Ландау-Лифшица для намагниченности в магнетике:

d	M × H − δ M × [M × H] ,
dtM = −γ

ãäå H магнитное поле, γ гиромагнитное отношение.

• Уравнение Навье-Стокса для скорости движущейся вязкой жидкости:

∂v	+ r		v2	+ v × r × v = F −		1			r × [r × v] .
∂t			2			ρ rp − ν

Здесь ρ плотность, p поле давления, ν = η/ρ т.н. кинематиче-

ская вязкость, η динамическая вязкость.

Мы видим, что оба уравнения имеют вид равенства векторов. Векторами (векторными полями) являются члены в правой и левой части каж-

дого из этих уравнений. Присутствует также вектор-оператор набла r.

Также при составлении сложных выражений используются векторные операции: скалярное и векторное умножение векторов, получаемые на их основе смешанное, двойное векторное произведение, и др.

Можно показать, что инвариантность формы уравнения следует из инвариантности формы векторных операций (при том что оператор r

преобразуется как вектор). Остановимся подробнее на математической стороне этого вопроса.

Тема 1. Специальная теория относительности

27

Вспомним общее определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы размера n:

{	X	}
|A| ≡ det A =		(−1)S(i,j,k,...l)A1iA2jA3k · · · Anl.

i,j,k,...l

Здесь S(i, j, k, . . . l) = ±1; знак плюс (минус) выбирается, если подстановка {i, j, k, . . . l} получается из исходной подстановки {1, 2, 3, . . . n} ïó-

тем выполнения четного (нечетного) числа транспозиций (т.е. попарных перестановок).

Остановимся подробнее на случае n = 3. Согласно приведенному определению, детерминант можно тогда представить в виде:

X	3
	X
|A| ≡ det A = {i, j, k}(−1)S(i,j,k)A1iA2jA3k =	i,j,k A1iA2jA3k.
	i,j,k=1

Справа в последнем равенстве введена 3-индексная величина ei,j,k, ïðè- нимающая значения 0, ±1. Эта величина имеет специальное название:

i,j,k совершенно антисимметричный единичный псевдотен-

зор 3-го ранга (тензор Леви-Чивиты).

Записать компоненты тензора Леви-Чивиты в виде матрицы трудно, т.к. у него 3 индекса (набор компонент образует не квадратную, акубическую таблицу). Можно, однако, заметить, что имеется простое правило вычисления ненулевых его компонент:

123	= 231	= 312	=		1 нечетные подстановки
	=	=	= 1		четные подстановки,
				−
132	321	213

остальные компоненты (1.17) равны нулю

Нетрудно понять, что обращаются в нуль те компоненты тензора , среди

индексов которых есть одинаковые в этом случае невозможно определить четность подстановки.

Запишем основные операции векторной алгебры в виде соотношений для компонент векторов. Будем при этом использовать тензор Леви-

Тема 1. Специальная теория относительности		28
Чивиты; это позволит установить для него ряд соотношений.
	3
a · b =	Xi
	aibi;	(1.18)
	=1

	e1 e2			e3			3
[a × b] =		a1	a2	a3		=	X ijk ei ajbk;
	b1		b2	b3			i,j,k=1

	a1		a2 a3				3
ha b ci = a · [b × c] =		b1	b2	b3		=	X ijk aibjck.
	c1		c2	c3			i,j,k=1

(1.19)

(1.20)

Хорошо известно соотношение для двойного векторного произведения, которое можно доказать из геометрических соображений. Покажем, как можно получить из него соотношение для компонент тензора Леви- Чивита:

a × [b × c] = b (a · c) − c (a · b) =

(abb)

(acc)

(1.21)

·

·

k

3

ijk ei aj

3

klmblcm =

3

ei

3

ijk klm! ajblcm =

X

X

X

X

i,j,k=1

l,m=1

i,j,l,m=1

k=1

3

3

3

X

X

X

=

ei biajcj − ei ciajbj =

(δilδjm − δimδjl) ei ajblcm.

i,j=1

i,j=1

i,j,l,m=1

В итоге:

ijk klm = δilδjm − δimδjl = δjl

δjm

(1.22)

3

δil

δim

k=1

X

= 1,

Здесь δij

i = j; дельта-символ Кронекера.

0

i = j.

6

Тема 1. Специальная теория относительности

29

Запишем еще несколько полезных соотношений:

	δil		δim	δin
ijk lmn =		δjl	δjm	δjn		;	(1.23)
3	δkl		δkm	δkn

X

ijk ijl = 2δkl;

i,j=1

3

X

ijk ijk = 6.

i,j,k=1

(1.24)

(1.25)

Равенство (1.23) можно доказать, опираясь непосредственно на определение (1.17). Действительно, тензор Леви-Чивиты отличен от нуля толь-

ко когда i j k есть результат перестановки чисел 1, 2 и 3. Это означает, что произведение двух таких тензоров отлично от нуля, если каждый из индексов i, j, k совпадает с одним из индексов l, m, n т.е. в ответе

должны появляться члены типа δilδjmδkn и все аналогичные.

Преобразование комРассмотрим теперь вопрос о том, как преобразуют-

понент вектора ся различные величины при переходе к новой системе координат. Запишем преобразования для

координат вектора:

33

XX

ai0 =	gijaj = (G)ijaj, G = {gij}.
j=1	j=1

Потребуем, чтобы скалярное произведение было инвариантом такого преобразования:

3

ai0bi0

=

3

3

(G)ijaj!

3

(G)ikbk

! =

3

aj

GT

ji (G)ikbk =

X

X X

X

X

i=1

i=1

j=1

k=1

i,j,k=1

3

3

X

X

=

aj

GT G

jk

bk = ajbj

i,j,k=1

j=1

= GT G ij = δij GT G = E.

Итак, мы приходим к выводу: для выполнения поставленного условия

матрица преобразования должна быть ортогональной .

Тема 1. Специальная теория относительности

30

Преобразование комПравило преобразования для векторов можно обоб- понент тензора щить и распространить на тензоры многокомпо-

нентные величины (многомерные матрицы), элементы которых индексируются с помощью нескольких индексов (их количество называется рангом тензора). Преобразование проводится по каждому индексу таким же образом, как и преобразование компонент вектора.

Для тензора L-го ранга имеем:

L индексов						3	L
						α1,αX2,			· · · gk,αL aα1,α2,...αL .
ai,0		j, . . . k				=		gi,α1 gj,α2		(1.26)
|			{z		}	...α		=1

Преобразование Начнем с наиболее простого примера: найдем правило

компонент δ- преобразования для тензора 2-го ранга δij:

символа

XX

δij0 =		gilgjmδlm = gilgjl =
= Xl	l,m	l
	GT lj (G)il = GT G ij = δij.

Как и следовало ожидать, единичный тензор является инвариантом преобразования.

Преобразование ком- Что можно сказать о преобразовании тензора Левипонент тензора Чивиты ? Очевидно, что в формулах (1.22 - 1.24) пра-

вые части, выражающиеся через тензор δij инвари- анты. Значит, и комбинации компонент -тензора в левой части долж-

ны быть инвариантами преобразования. Чтобы доказать это непосредственно, удобно рассмотреть смешанное произведение векторов (1.20); оно должно быть скаляром, а потому инварантом:

XX

ijkaibjck =

ijkai0bj0 ck0

X

ijkgilgjmgkn ijk = lmn.

(1.27)

Тензоры и псевОтметим следующую тонкость. Принято называть:

дотензоры

• истинным скаляром, вектором, тензором объект, которые при ор-

тогональных преобразованиях ведут себя соответственно как: ска-