Teorija_Polja

Тема 4. Уравнения Максвелла

81

Нам известна структура 4-вектора, содержащего в качестве нулевой компоненты энергию это 4-вектор импульса pi = (E/c, p). С другой

стороны, T 0k è T k0 это также 4-векторы. Следовательно, если каж-

дый из них имеет в качестве нулевой компоненты плотность энергии, то прочие компоненты должны составлять плотность импульса. В итоге:

pi = (	/c, p) =	1			T i0dV	=	W =1T 00
E			c		Z		~π = c	T	, T	, T

плотностьэнергии

плотность

импульса

Возьмем уравнение непрерывности (4.13) при i = 0: из него следует,

÷òî

èëè:

	∂T 0k			1 ∂T 00				3	∂T 0α
								X
		∂xk	=	c		∂t		+	∂xα	= 0,
								α=1
∂	Z T 00dV = −c			Z			α	∂T 0α
∂t								∂xα dV = −c I T 0αdσα,
							X

где в последнем равнестве была применена 4-мерная форма теоремы Остроградского-Гаусса. Поскольку левая часть, как было установлена, имеет смысл энергии, полученное равенство выражает закон сохранения энергии, записанный в форме уравнения непрерывности:

W˙ + divS = 0 S = c T 01, T 02, T 03 .

(4.16)

Смысл вектора S выясняется из того, что, согласно данному уравнению,

Z I

E˙ = − divS dV = − S · d~σ.

Таким образом S плотность потока энергии.

Возьмем теперь в (4.13) i = 1, 2, 3:

∂T ik

1 ∂T i0

3

∂T iβ

X

∂xk

=

c

∂t

+

∂xβ

= 0,

β=1

èëè:

∂

Z T i0dV = −c

Z

∂T iβ

β

∂t

∂xβ dV = − I c T iβdσγ.

X

значность в определении тензора

Тема 4. Уравнения Максвелла

82

Теперь мы получили закон сохранения импульса: скорость изменения полного импульса внутри области равна скорости его втекания ( вытекания ) через границу. Плотность потока импульса это тензор 2-го

↔

ранга, называемый тензором напряжений τ .

Таким образом, выясняется следующая структура тензора энергииимпульса:

T

ik

=

W

S/c

,

ãäå

W = T 00

0α

S/c

↔

S = c

T

τ

↔τ =

T

αβ

−

плотность энергии

плотность потока энергии

тензор напряжений

Замечание. В определении T ik имеется произвол: если вместо T ik взять

T ik + ∂x∂ l Ψikl, ãäå Ψikl = −Ψilk, все существенные соотношения останутся неизменными. Благодаря этому произволу тензор T ik всегда можно

сделать симметричным.

4.4Тензор энергии-импульса и законы сохранения для электромагнитного поля

Âслучае электромагнитного поля роль обобщенных координат q играют компоненты 4-вектора потенциала. В формулах предыдущего раздела при дифференцировании по q должно подразумеваться суммиро-

вание по этим величинам. Можно показать, что

Λ = −161π FklF kl,

откуда

T ik = ∂xil			∂ (∂Al/∂xk) − gikΛ =	4π	−F ilF kl	+ 4 gikFlmF lm	,
	∂A		∂Λ	1		1

(здесь использована отмеченная в конце предыдущего раздела неодно- T ik и следующая из этого возможность

записать его в симметричной форме). Учитывая выражение (3.20), свя- зывающее F il с компонентами напряженностей, можно установить фи-

Тема 4. Уравнения Максвелла

зический смысл компонент тензора энергии-импульса:

00

1

2

2

плотность энергии

T0α

= W =

E c+ H

8π

вектор Пойнтинга

T

S

/c,

S =

E

H

αβ

=

α

1

4π

×

1

2

2

T

= ταβ =

nEαEβ + HαHβ −

δαβ

E

+ H

o

4π

2

максвелловский тензор напряжений

Наконец,

∂

E

2

+ H2

Z

dV = − Z

j · E dV

− I

S · d~σ .

∂t

8π

|

}

|

(2)

}

|

(3)

}

(1)

{z

{z

{z

83

(4.17)

Входящим сюда членам можно приписать следующий смысл:

(1)энергия поля;

(2)работа тока в единицу времени;

(3)перенос энергии поля через граничную поверхность области в единицу времени.

Для системы зарядов можно считать законом сохранения энергии ранее полученное соотношение:

Z	N	d		N	Eêèí(α)	. = E˙êèí.
	j · E dV = α=1 eα (vα · E) = dt			α=1
	X			X

Комбинируя это с предыдущим равенством, можно записать:

∂t (Eïîëå + Eêèí.) = − I	S · d~σ.	(4.18)
∂

Тензор энергии-импульса и законы сохранения в системе вещество + поле Если электромагнитное поле взаимо-

действует с веществом, законы сохранения выполняются для всей системы вещество + поле . Им можно придать тот же вид, вводя тензор энергии-импульса вещества. Вид этой части тензора системы можно угадать, исходя из аналогии с полем:

T ik = µ c	dxi dxk ds						= µ c uiuk	ds
									,	(4.19)
	ds ds dt
								dt

ãäå µ плотность массы. Напомним определение входящих сюда вели- чин:

Тема 4. Уравнения Максвелла

84

p

γ ≡ 1/ 1 − v2/c2,

Eêèí = γ mc2,

p = γ m v,

ds

dxi

v

= γ c,

ui =

= γ 1,

,

dt

ds

c

pi = m c ui = γ (mc, mv) =

E

, p .

Ïðè k = 0 имеем:

c

Z T 00dV = Z

2

µc γ2 (c/γ) dV =

mc

= Eêèí..

p

1 v2

/c2

Ïðè k = 1, 2, 3,

−

Z

T 0kdV = Z

T k0dV = Z

µc γ γ

vk

(c/γ) dV = c

mvk

= c pk.

c

1 v2/c2

Мы видим, что T 00 имеет смысл плотности

−

энергии, а векторы с ком-

p

понентами T k0

è T 0k это (с точностью до множителя c) плотность

импульса. Можно прийти к выражению T ik

из требования:

1. чтобы T 00 было плотностью энергии, и далее заключая, что:

2. поскольку T 0k (k = 0, 1, 2, 3,) это 4-вектор, то при k

= 1, 2, 3,

должны быть компоненты обычного вектора импульса;

3. поскольку

T 0k = T k0, так что первая строка и столбец матри-

цы тензора пропорциональны вектору 4-импульса в определении

тензора энергии-импульса должно быть произведение 4-векторов:

T ik pipk;

4. остается подобрать множитель коэффициент.

Комбинированные законы сохранения для системы вещество + поле можно получить в форме:

∂	T (ïîëå)ki + T (частицы)ki = 0.	(4.20)
∂xk

Òåìà 5

Постоянное электрическое поле

5.1Электростатическое поле

Рассмотрим случай, когда имеется конечное число неподвижных зарядов, а токи отсутствуют. В этом случае H = 0, а напряженность электрического поля описывается уравнениями:

div E = 4π ρ, rot E = 0.

В математике доказано, что если ротор векторного поля равен нулю, то оно может быть представлено в виде градиента скалярного поля; это приводит к уравнению Пуассона:

rot E = 0 = E = −grad ϕ =
r2ϕ = −4π ρ	(5.1)

Случай одиночноИз соображений симметрии ясно, что значения ϕ è |E|
го заряда	зависят только от расстояния до заряда; направление
	E совпадает с радиальным, если начало системы коор-

динат находится в точке расположения заряда:

E(r) = f(r) · er, er ≡ r/r.

Чтобы найти функцию f, рассмотрим шар радиуса |R0| = R0, с центром в начале координат, куда помещен заряд величины e. Тогда

Z	≡ ïîIповерхности·	| |		R=R0	· 4	0	= Z
по объему	E d~σ	= E				π R2	по объему
div EdV							4π ρ dV = 4π e,
øàðà	сферы						øàðà

85

Тема 5. Постоянное электрическое поле

86

откуда: |E| = e/R0. Таким образом, мы нашли напряженность электри- ческого поля и потенциал точечного заряда:

	e r			e
E(r) =		,	ϕ(r) =		.	(5.2)
	r3			r

Система точечных В силу принципа суперпозиции, результат (5.2) эле- зарядов ментарно обобщается на случай произвольного числа

точечных неподвижных зарядов:

ϕ(r) =	α r		αrα	= Zr V		R	(r)r dV,	(5.3)
	X		e			ρ
		|	− |		|		− |

где была введена плотность заряда (4.6):

X

ρ(r) = eα δ(r − rα).

α

Энергия электростатического взаимодействия

Она складывается из энергий попарного взаимодействия зарядов:

U = 8π Z

E2dV = −

8π Z

E · grad ϕ dV =

1

1

= −8π Z

div (E ϕ) − ϕ div E dV =

1

n

o

−

8π Iïî(граничной·

8π

Z

=

1

E ϕ) d~σ +

1

ϕ div E dV =

поверхности

= 2

областиV

α

eαϕ(rα).

(5.4)

Z

ρ ϕ dV = 2

1

1

X

Здесь было учтено, что поверхность, окружающая систему зарядов, может быть выбрана произвольным образом и, в частности, расширена на неограниченно большое расстояние, где поля заведомо нет. Теперь, подставляя в последнее выражение найденный выше потенциал системы зарядов, мы пишем:

	1			1			eαeβ
U =			eαϕ(rα) =			α=β		.	(5.5)
	2	α		2			|rα − rβ|
		X				6
						X

Тема 5. Постоянное электрическое поле

87

5.2Мультипольные моменты

Рассмотрим ситуацию, часто встречающуюся в физике: заряженные частицы занимают в пространстве область, размеры которой малы в сравнении с расстоянием от любого заряда до точки, в которой рассчи- тывается поле (например, мы наблюдаем поле, создаваемое зарядами атома или молекулы). В этом случае можно использовать модельное описание системы зарядов, позволяющее упростить расчеты.

Рассмотрим стандартную формулу разложения функции нескольких переменных в ряд Тейлора по степеням малого параметра:

f(R − r) ≡ f(X1 − x1, X2 − x2, X3 − x3) =

	3		∂f	1		3		∂2f
	Xi					X			+ O(|r|3).
		xi ∂Xi		+ 2			xixj ∂Xi∂Xj
	= f(X1, X2, X3) −					i,j=1
	=1

Применим эту формулу к потенциалу системы точечных зарядов:

ϕ(R) =

α

R

rα

−−−−−→| | | |

α

R

− α i

eαxiα

∂Xi

R

+

X

eα

R rα

X

eα

X

∂

1

|

−

|

|

|

| |

+

1

eαxiαxjα

∂2

1

+ O (|rα|/|R|)3 .

α

i,j

2

∂Xi∂Xj

R

X X

|

|

h

i

Заметим, что

1

3

∂2

1

R 6= 0 : r2

≡ i,j=1

δij

= 0.

(5.6)

R

|

∂Xi∂Xj

R

|

X

|

|

Это позволяет преобразовать квадратичный член в разложении потенциала, дописав к нему нуль, представленный через последнее соотношение:

∂2

1

1

∂2

1

eαxiαxjα

=

eα

xiαxjα

−

rα2 δij

=

α i,j

∂Xi∂Xj

R

α

i,j

3

∂Xi∂Xj

R

X X

|

|

X X

(1)

|

|

α

α

2

i

j

| {z }

=

α i,j

1

3X

X

δij

.

eα xi xj − 3rαδij

|R|5

− |R|3

X X

|

{z

}

|

}

(3)

(2)

Порядок преобразований здесь таков:

Тема 5. Постоянное электрическое поле

88

1.Член (1) можно добавить искусственно: это ничего не изменит вследствие (5.6);

2.После сделанного добавления шпур матрицы (2) становится равным нулю;

3.В итоге, когда после дифференцирования мы представим (3) в виде разности двух членов, вклад второго члена обратится в нуль.

Âрезультате мы получаем возможность записать ряд Тейлора для потенциала в виде:

ϕ(R) =

eΣ

+

d · n

+

1

3

Dijninj

+

(5.7)

|

|

X

|

|

3

· · ·

R

|

|

2

R

2

i,j=1

R

|{z}

÷ëåí

дипольный

|

{z

}

÷ëåí

квадрупольный

ãäå n = R/R и введены обозначения:

eΣ =

α eα

полный заряд

d =

P eαrα

дипольный момент

(5.8)

α

квадрупольный момент

D

ij

=

e

XαXα

−

r2 δ

ij

P α

α 3

i

j

α

P

Обсудим физический смысл мультипольного разложения.

•Пусть eΣ 6= 0. В этом случае на большом расстоянии система заря-

дов будет видна как единый суммарный заряд. Это выражается в том, что первое слагаемое в разложении (5.7) убывает с расстоянием медленнее остальных, которыми при rα/R 1 можно пренебречь.

•Пусть теперь eΣ = 0, но d 6= 0. Тогда на больших расстояниях можно наблюдать (при достаточной чувствительности аппаратуры) убывающее как 1/R2 поле дипольного момента. Кроме характерно-

го закона спадания оно обладает и характерной пространственной анизотропией: поле, порождаемое диполем, зависит от угла между радиус-вектором R точки наблюдения и вектором дипольного момента.

Энергия системы зарядов во внешнем поле

Тема 5. Постоянное электрическое поле

89

•Пусть, наконец, eΣ = 0 è d = 0, íî Dij 6= 0. Тогда наблюдается еще более слабое поле квадруполя, убывающее как 1/|R|3. Оно также анизотропно, причем эта анизотропия не имеет осевой симметрии.

Мы получили мультипольное разложение, рассматривая поле (потенциал), порожденное системой зарядов. Физически такое разложение оправдано тем, что расстояние между зарядами малый параметр, если точка

наблюдения поля находится вдали от зарядов.

Рассмотрим теперь иную ситуацию, где малый параметр появляется по другой причине. Пусть заряды находятся в поле, которое медленно (слабо) меняется в области, где расположены заряды . В этом случае также получается разложение, в котором фигурируют мультипольные моменты. Запишем энергию зарядов в поле, раскладывая последнее по степеням аргумента:

		n	o
	U = eαϕ(rα) =	~	=
		f(0) + rα · rϕ(0) + . . .
	α	α
	X	X
=	X eα! ϕ(0) + d · (gradϕ)0 + . . . = eΣϕ(0) − d · E + . . . .

α

В данном разложении второй член мал в сравнении с первым, т.к. для медленно меняющегося поля мал градиент . Мы заключаем, что:

•Åñëè eΣ 6= 0, òî U ' eΣϕ(0) система зарядов взаимодействует с полем, как единый суммарный заряд;

•Åñëè eΣ = 0, то U ' −d·E можно рассматривать систему зарядов как диполь, взаимодействующий с полем.

Сила, действующая на систему зарядов

Разложение по мультиполям можно построить не только для энергии, но и для силы:

XX

F =	α	eαE(rα) =		α	eα {E(0) + (rα · r)E|rα=0 + . . .} =
		=	eα! E(0) + (d · r) E(0) + . . . .
			X

α

Энергия взаимодействия двух систем зарядов

Тема 5. Постоянное электрическое поле

90

Теперь опять имеются два варианта:

•Åñëè eΣ 6= 0, òî F ' eΣE(0) в этом случае сила, действующая на

систему зарядов со стороны поля, может быть аппроксимирована силой, действующей на суммарный заряд;

•Åñëè eΣ = 0, òî F ' (d · r)E|r=0, т.е. при нулевом суммарном

заряде главным членом в выражении для силы становится дипольный, который, как можно видеть, отличен от нуля только если поле неоднородно (зависит от координат).

С помощью разложений описанного выше типа можно изучать взаимодействие систем зарядов в следующей ситуации: пусть имеются две области локализации, далекие одна от другой. В этом случае нужно рассматривать

энергию зарядов, образующих систему 2, в поле, созанном зарядами системы 1. Рассмотри два характерные ситуации:

• eΣ1 6= 0, eΣ2 = 0, d2 6= 0. Тогда энергия взаимодействия

U ' eΣ1 (d2 · R)/R3;

•eΣ1 = eΣ2 = 0, d1,2 6= 0. В этом случае

U ' R15 R2 (d1 · d2) − 3(d1 · R)(d2 · R) .

Аналогичным образом можно анализировать системы с отличным от нуля квадрупольным моментом.