Teorija_Polja

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле					71
имеем:
Za	b		δxidxk − c ∂xki dxi δxk	= 0,
	mc dui δxi + c ∂xki
		e ∂A	e ∂A

ãäå dui = (dui/ds) ds è dxi = uids. Два члена с векторным потенциалом можно совместить, обменяв индексы суммирования в последнем: i k

(это возможно, т.к. i, k индексы суммирования, и подобная замена про-

сто изменяет порядок суммирования, не изменяя суммы). В результате получим:

b

Z	mc dsi		− c	∂xi	− ∂xk
		du	e	∂Ak	∂Ai

uk δxi ds = 0.

a

Теперь можно сделать обычный вывод поскольку δxi произвольны,

полученное равенство означает, что подынтегральное выражение тождественно равно нулю, откуда следует четырехмерная форма уравнений движения заряда в электромагнитном поле:

i

i = 1, 2, 3 :

dp

= e E +

e

v

H

du

e

mc

=

F ikuk

(2.=

dt

c

×

(3.19)

ds

c

i = 0 :

dE = e E v

9, 2.11)

dt

·

ãäå F ik тензор электромагнитного поля:

∂Ak

∂Ai

(3.13)(3.2)

Ex

−

0

−Hz

−Hy

(1.41)

F ik = ∂xi

− ∂xk

(1.29)

0

Ex

Ey

Ez

= −E, H .

=

Ey

Hz

− 0

−

Hx

Ez

−

Hy

Hx

0

(3.20)

Из правила (1.26) преобразования компонент 4-тензора 2-го ранга следуют правила преобразований Лоренца для полей:

F ik = Λi mΛknF 0mn

Ex = Ex0 , Ey = γ Ey0

v

v

+

Hz0

, Ez = γ Ez0

−

Hy0

,

c

c

Hx = Hx0

v

v

, Hy = γ Hy0

Ez0

, Hz = γ Hz0

+ Ey0 .

−

c

c

(3.21)

(3.22)

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

72

Нерелятивистская форма правил преобразования получится если поло-

æèòü γ = 1/sqrt1 − v2/c2 → 1:

E = E0	1			[H0 × v] ,	H = H0	1			[E0 × v] .
	+					−				(3.23)
		c					c

Отсюда следует интересный вывод. Пусть в системе отсчета S0 наблю- дается только электрическое или магнитное поле. Что будет в другой инерциальной системе отсчета S ? По формулам (3.23) находим:

S0	: H0 = 0 −→	S : H =	1		[v × E0] , (H E),
			c
S0	: E0 = 0 −→			1			[v × H0] , (H E).
		S : E = −
					c

(3.24)

(3.25)

Так, например, если в системе S0 покоится электрический заряд, создающий электростатическое поле, то движущийся наблюдатель в системе S зафиксирует наличие магнитного поля, что вполне понятно, т.к. для

него заряд не будет неподвижным, а электрический ток, как известно, порождает магнитное поле.

Инварианты поля Из компонентов тензора F ik можно построить инвари-

антные комбинации, не меняющиеся при преобразова-

ниях Лоренца:

FikF ik = inv.	H2 − E2 = inv,	(3.26)
iklmFikFlm = inv.	E · H = inv,	(3.27)

Из этих двух условий следует инвариантность следующих соотношений для длин и углов между векторами напряженностей:

		E, H = inv.; |E| = |H|; |E| 7 |H|.	(3.28)
Кроме того:
•	åñëè	E · H = 0, H2 − E2 > 0 S0 : E ≡ 0	(3.29)
		(в системе S0 наблюдается только магнитное поле) ;
•	åñëè	E · H = 0, H2 − E2 < 0 S0 : H ≡ 0	(3.30)
		(в системе S0 наблюдается только электрическое поле) .

Òåìà 4

Уравнения Максвелла

При решении задач механики и электродинамики во многих случаях приемлема концепция дальнодействия (c. 61), в соответствии с которой заряженные частицы мгновенно воздействуют другн на друга на расстоянии (взаимодействие передается без запаздывания), и это взаимодействие учитывается введением потенциальной энергии. При таком подходе вопрос об описании движения самого переносчика взаимодействия снимается. Как уже отмечалось, такой взгляд несовместим с релятивистской теорией Эйнштейна. Последовательная физическая теория должна рассматривать поля, осуществляющие взаимодействие частиц, как самостоятельные подсистемы общей системы. Это было осознано еще до создания теории относительности. Полем, осуществляющим электромагнитное взаимодействие, является электромагнитное поле. Оно может существовать независимо от зарядов, в виде электромагнитного излучения.

Уравнения Максвелла представляют собой уравнения движения электромагнитного поля. Они были выведены путем анализа опытных данных. Наша задача дать релятивистское описание электромагнитного поля. И здесь мы делаем замечательное наблюдение: при переходе к релятивистскому описанию уравнения Максвелла не требуют обобщения: они уже являются релятивистскими!

73

Тема 4. Уравнения Максвелла

74

Напомним сначала обычную форму записи уравнений Максвелла:

rotE = −1 ∂H

c ∂t

divH = 0

rotH = 1c ∂∂tE + 4cπ j

I

1 ∂

H · dτ~L = c ∂t

L

divE = 4πρ

I E · dτ~L = −c ∂t Z

H · d~σ ,

1 ∂

Σ

L

Z

H · d~σ = 0,

Σ

Z

E · d~σ

+

4π

Z

j · d~σ

.

c

Σ

Z

Σ

Z

E · d~σ = 4π ρ dV = 4π Q.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Σ

V

Уравнения Максвелла записаны слева в дифференциальной форме, справа в интегральной. Переход от одной формы к другой производится с помощью интегральных теорем Стокса и Остроградского-Гаусса:

теорема Стокса:

теорема Остроградского-Гаусса:

IL F~ · dτ~L

=

ZΣ rotF~ · d~σ

Σ F~ · d~σ =

V divF~

dV

|

{z

}

|

{z

}

Z

Z

L

|

{z

}

|

{z

}

циркуляция

поток

~

поток поля ~

интеграл от

векторного поля

ротора поля

~

F

F

дивергенции поля

F

через замкнутую

~

по замкнутому

через поверхность Σ

F

оболочкуΣ

по объему, ограниченному

контуру

натянутую на

оболочкой

контурL

4.1Первое и второе уравнения Максвелла

Связь между E è H, задаваемая уравнениями (4.1, 4.2), следует из формул связи напряженностей и потенциалов (3.13):

E =	−c ∂t		+ grad ϕ = −c	∂t	A	+ rot		≡0		ϕ = −c ∂t	,
rot	rot	1 ∂A	1	∂	rot			grad		1 ∂H
						|		{z		}

divH = div rot A ≡ 0.

Тема 4. Уравнения Максвелла

75

Оба уравнения можно записать в форме лоренц-коваринтного соотношения для компонент 4-тензора F :

iklm	∂Flm	= 0		∂Fik	+	∂Fkl	+	∂Fli	= 0.	(4.5)
	∂xk			∂xl		∂xi		∂xk

Возможны две формы записи: к нулю приравнивается тензор третьего ранга (справа), либо дуальный к нему вектор (слева). Из выражения слева очевидно, что здесь мы имеем четыре уравнения (по индексам

k, l, m производится суммирование, а индекс i свободен и принимает

значения от 0 до 3); столько же независимых равенств и в первых двух уравнениях Максвелла (первое из них векторное, второе скалярное).

Вектор		òîêà
è	уравнение

непрерывности

Для описания среды, состоящей из многих заряженных частиц, удобно ввести плотность заряда и плотность тока:

X	X
ρ(r) =	eα δ(r − rα), j(r) = ρ v = eα v(r) δ(r − rα), (4.6)
α	α

(сумма по частицам системы). В приближении сплошной среды, справедливом в макроскопической электродинамике, можно считать ρ(r),

j(r) непрерывными (возможно и дифференцируемыми) скалярным и векторным полями. В микроскопической теории, где частицы являются точечными, поля ρ, j являются обобщенными функциями. Заряд малой

трехмерной области, имеющей объем dV , можно записать как de = ρ dV . Заметим, что

de	· dxi = ρ dV dxi =	dV dt	ρ ·		dxi/dt .
		c−1dΩ=dxdydzdt			4-вектор
|{z}	|{z}	| {z }	|			{z		}
4-скаляр	4-вектор	4-скаляр

Анализ структуры правой и левой частей записанного равенства указывает на то, что крайний правый множитель имеет структуру 4-вектора. Назовем его 4-вектором тока:

	dxk
jk = ρ	dt = c ρ, j .	(4.7)

В электродинамике выполняется закон сохранения заряда (частный случай закона сохранения вещества). Используя понятие полей ρ è j, этот закон можно записать в виде интегрального соотношения:

Тема 4. Уравнения Максвелла

76

изменение количества заряда в ограниченной области равно его

притоку (оттоку) через граничную поверхность.

С использованием теоремы Остроградского-Гаусса можно дать следующие варианты записи уравнения непрерывности, выражающего это утверждение:

∂	ZV	ρdV = − ZΣ j · d~σ		∂ρ			∂jk
					+ divj = 0			= 0. (4.8)
∂t				∂t			∂xk

Последнее равенство дает релятивистскую формулировку уравнения непрерывности: 4-дивергенция тока jk равна нулю.

4.2Третье и четвертое уравнения Максвелла

Уравнения (4.3, 4.4) существенным образом определяют динамику полей; они также учитывают источники полей заряды и тока. Для вывода этих уравнений из принципа наименьшего действия нужно угадать вид той части действия, которая описывает само поле. Запишем конеч- ный результат: действие для системы заряженные частицы + поле должно быть выбрано в виде суммы трех вкладов:

S = − α

Z

mαc ds − c12

Z

jkAkdΩ − 16π c Z

FikF ikdΩ , (4.9)

X

1

частицы

|

{z

} |

{z

}

|

{z

}

взаимодействие

ïîëå

где dΩ = c dt dx dy dz. Действие системы свободных частиц подробно изучалось выше.

Член взаимодействия Среднее слагаемое, описывающее взаимодействие частиц и полей, нам было удобно выразить через 4-вектор плотности тока. Покажем, как от введенного ранее выражения (3.1) прийти к такой форме:

−

Z

α

Ak dxk = −

Z

eαδ(r − rα)! AkdxkdV =

c

c

α

α

e

1

X

|

X

}1

1

k

1

dxk

≡ρ{z

(4.7)

k

(4.6)

Z Z Z

= −c ρ Akdx dV − c ρ dt AkdV dt = −c2 j AkdΩ.

Тема 4. Уравнения Максвелла

77

Член поля Можно привести различные соображения, позволяющие обосновать вид действия для поля; подробности можно найти в курсе Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица (т. 2 Теория поля). Отметим два момента:

а) поскольку для полей выполняется принцип суперпозиции, уравнения, следующие из принципа наименьшего действия, должны быть линейными относительно напряженностей полей; такие уравнения получаются, если функция Лагранжа квадратичная;

б) учитывая (3.27, 4.5) и применяя Z4-мерный аналог теоремы Остроградского-Гаусса (1.50), видим, что iklmFikFlmdΩ ≡ 0 óðàâ-

нение от 4-дивергенции равен поверхностному по бесконечно-удаленной поверхности.

Вывод уравнений из принципа наименьшего действия

Будем считать, что движения зарядов является заданным; тогда первое слагаемое в (4.9), описывающее движение частиц, можно исключить из рассмотрения (его вариация тождественна нулю). Учитывая, что

δ F ikFik = δF ik · Fik + F ik · δFik = 2F ik δFik,

получаем:

δS = −c Z		c jkδAk +	8π F ikδFik dΩ = 0.
1		1	1

Вычисляя вариацию δFik, учтем определение (3.20): Fik = ∂Ak/∂xi−∂Ai/∂xk. Тогда можно написать:

δS = −c Z		c jkδAk +	8π	F ik ∂xi δAk −		8π	F ik ∂xk δAi dΩ = 0.
1		1	1		∂	1		∂

Чтобы снять дифференцирование с вариации δAi, выполним преобразо-

вание, аналогичное интегрированию по частям. Для этого воспользуемся 4-мерным аналогом теоремы Остроградского-Гаусса ( ??) и преобразуем

интеграл по 4-объему dΩ от 4-дивергенции в интеграл по граничному

Тема 4. Уравнения Максвелла

78

3-мерному многообразию:

int F ik

∂

δAi dΩ = Z

∂

F ikδAi dΩ − Z

∂F ik

δAi dΩ =

∂xk

∂xk

∂xk

= I F ikδAi dSk

ik

− Z

∂xk δAi dΩ.

∂F

|

{z

}

k

→0

Заметим, что если dΩ элемент объема 4-мерной области, то dS åñòü элемент граничной гиперповерхности. Но по смыслу функции действия интеграл по dΩ берется по всему 4-пространству. Значит, мировые точки на граничной гиперповерхности суть бесконечно удаленные точки. Естественно предположить, что: а) при r → ∞ ïîëÿ íåò; á) ïðè t → ±∞

вариация δAi = 0. Поэтому поверхностный член в предыдущей формуле был опущен. После этого вариация действия принимает вид:

1

1

1 ∂F ik

1 ∂F ik

δS = −

Z

jiδAi −

δAk +

δAi

dΩ.

c

c

8π

∂xi

8π

∂xk

Переобозначим индексы в среднем слагаемом: i k; учитывая, что F ki = −F ik. Это позволит записать предыдущую формулу в более компактном виде:

1				1			1 ∂F ik
δS =			Z			ji +				δAi dΩ = 0.
	c				c		4π ∂xk

Поскольку это должно иметь место для произвольной вариации δAi, ìû приходим к искомому релятивистски-инвариантному уравнению поля:

∂F ik	= −	4π	ji	(4.10)
∂xk		c

Учитывая определение тензора F ik (3.20), нетрудно прямой проверкой убедится, что записанное равенство при i = 1, 2, 3 эквивалентно уравнению Максвелла (4.3), а при i = 0 из него получается уравнение (4.4).

4.3Тензор энергии-импульса

Рассмотрим систему, действие которой можно записать в виде:

Тема 4. Уравнения Максвелла

79

S =	R		∂q	1	R
( )				dV dt ≡ c
		Λ q,	∂xi		Λ dΩ, (dΩ = cdt dx dy dz).(4.11)Здесь
q xi	= q(r, t) некоторое поле, описывающее состояние системы. При

описании электромагнитного поля эту роль играет вектор-потенциал. Однако пока, для простоты и наглядности, мы считаем, что это скалярное поле (переход к многокомпонентным формулам в итоговых соотношениях не представляет труда). По определению, лагранжиан вводится

R

соотношением: S = Ldt. Мы видим, что в данном случае роль лагран-

жиана играет величина	Z
L =	Λ dV,

и, следовательно, Λ представляет собой плотность функции Лагранжа.

Выполняя стандартные действия, найдем уравнение Лагранжа, минимизируя действие:

δS = c

Z

∂q

δq +

∂q, i

δq, i dΩ ≡

1

∂Λ

∂Λ

|

{z

}

≡ c

Z ∂q δq + ∂xi

∂q, i δq

− δq ∂xi

∂q, i dΩ =

1

∂Λ

∂

∂Λ

∂

∂Λ

dS|i

}δq dΩ = 0,

=

I

δq

+

∂q{z−

c

∂q

, i

c

∂xi

∂q

1

Z

, i

∂Λ

1

∂Λ ∂ ∂Λ

ãäå q, i ≡ ∂q/∂xi;

это обозначение

было введено на с. 37. Вы-

деленные фигурными

скобками

члены

равны вследствие тождества

u v0 ≡ (u v)0 −u0v; переход к последней строке производится по 4-мерной теореме Остроградского-Гаусса (1.50). Как обычно, при произвольной вариации δq обращение этого интеграла в нуль означает справедливость следующего уравнения Лагранжа:

∂Λ		−	∂ ∂Λ			= 0.	(4.12)
∂q			∂xi ∂q, i

Теперь проведем преобразования, аналогичные тем, которые в классической механике приводят к законам сохранения. Примером закона сохранения в случае непрерывных сред может служить уравнение непрерывности: некоторая характеристика системы сохраняется, если ее коли-

Тема 4. Уравнения Максвелла

80

чество в определенной области меняется только за счет прихода (ухода) через границу. В частности, уравнение непрерывности для плотности заряда и тока (4.8) выражает закон сохранения полного заряда. Отметим характерную особенность лоренц-ковариантной формулировки уравнения (4.8): 4-дивергенция четырехмерной плотности тока равна нулю:

	∂	jk = 0, jk = (c ρ, j).
	∂xk

Найдем общее соотношение этого типа. На основе полученного уравнения Лагранжа можно составить следующие равенства:

∂Λ

=

∂Λ ∂q

+

∂Λ ∂q, k

≡

≡ ∂x ∂q

∂xi

∂q

∂xi

∂q, k

∂xi

∂x

|{z}

∂x ∂x

∂x

∂q

∂x

∂ ∂Λ ∂q

∂Λ ∂2q

∂

∂Λ ∂q

k

, k

i

+

, k

k

i =

k

, k

∂q

i .

|{z }

Полученный результат означает, что тождественно равна нулю следую-

щая 4-дивергенция:	∂T k
		i			= 0,		(4.13)
	∂xk
ãäå		∂q ∂Λ
Ti k =						− δik Λ	(4.14)
	∂xi ∂q, k

Величины Ti k

образуют тензор энергии-импульса системы с дей-

ствием (4.11).

Теперь наша задача вскрыть физический смысл полученных соотношений. Заметим, что здесь поле q(r, t) это совокупность обобщенных

координат. Как известно из классической механики, энергия системы следующим образом связана с ее лагранжианом: E = q˙ ∂L∂q˙ − L. В нашем случае это соотношение читается так:

E = Z	q˙ ∂q˙ − Λ dV = Z		T 00dV ≡ Z	W dV.	(4.15)
		∂Λ

Таким образом, компонента T 00 тензора энергии-импульса должна интерпретироваться как плотность энергии.