Teorija_Polja

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы					51
свободной частицы принимает вид:
L = −m c2 r				.	(2.2)
	1 − c2
		v2

Импульс Используя формулу механики, связывающую функцию Лагранжа и импульс, мы можем найти:

p ≡ ∂v	= −m c2	2p1 − v2	/c2	− c2		= p1 − v2		/c2	. (2.3)
∂L		1		2v			mv

Как и должно быть, в классическом пределе v/c → 0 имеем p = mv. В релятивистском пределе v/c → 1 получаем p → ∞.

Эффективная

масса

Производная от вектора импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе, гласит второй закон Ньютона:

dp

dt

= f.

Это соотношение остается справедливым и в релятивистской теории.

Представляется желательным придать этому уравнению форму урав-
нения Ньютона, m			dp	= f, выбрав подходящее выражение для массы
m. Сделать это в e			dt
e		общем случае однако затруднительно. Действительно,
дифференцирование дает:						+ (1 − v2/c2)3/2 c2	v · dt = f.
dt	= p1 − v2/c2				dt			(2.4)
dp			m		dv	mv	dv

Отсюда видно, что в двух частных случаях могут быть введены две разные эффективные массы.

1.Поперечная масса . Пусть сила все время ортогональна скорости. Тогда скорость будет меняться только по направлению. 1 В этом случае второе слагаемое справа в (2.4) равно нулю и уравне-

ние принимает вид:

dv

me dt = f,

1скалярно умножая (2.4) на v при условии v · f, легко находим, что dtd v2 = 0.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

52

где введена поперечная масса

m

me = p . 1 − v2/c2

2.Продольная масса . Пусть сила всегда направлена вдоль скорости. Тогда при движении скорость меняется только по величине, но не по направлению: v(t) = v(t) n, ãäå n = const. Это позволяет

произвести преобразование: v v · dv/dt = n v (v dv/dt) = v2 v/dt.

Тогда (2.4) может быть представлено в виде:

dv

mek dt = f,

где продольная масса

m

mek = (1 − v2/c2)3/2 .

Энергия Формула, выражающая энергию через функцию Лагранжа, имеет вид: E = p · v − L. Полученные выше результаты позво-

ляют записать:

p)

L = −mc2/ 1 − v2/c2,

E =

mv

+ mc

2

r1 −

v2

p = mv/ 1 − v2

/c2,

p

c2

1 − v2

/c2

p

= E =

mc2

.

(2.5)

p

1 − v2/c2

Мы видим, что:

1.Ïðè v = 0 энергия не равна нулю: любое массивное тело обладает

энергией покоя E0 = mc2.

2.В классическом пределе v/c 1 к энергии покоя добавляется клас-

сическое выражение для кинетической энергии:

	1	v2			mv2
E ' mc2 1 −		−		= mc2 +		.
	2		c2		2

Соотношение между импульсом и энергией.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

53

	Сохранение энерСоотношение E0 = mc2 выражает фундаментальный
	гии и сохранение	закон: энергия любого тела (в общем случае системы
	массы
		взаимодействующих элементарных частиц) однознач-
		но определяет его массу.

Заметим, что отсюда следует важный вывод: при объединении ча- стиц может сохраняться либо энергия, либо масса . Действительно, при объединении частиц каждая привносит в систему свою массу mi и внутреннюю энергию mic2. Но в полную энергию входит также

энергия взаимодействия и поэтому Eïîëí. 6= Pi mic2. Реальные законы природы таковы, что в релятивистской (неквантовой) теории энергия сохраняется, а масса нет.

К выводу о наличии вклада в массу, связанного с энергией взаимодействия, нетрудно прийти, анализируя таблицу Менделеева: массы ядер атомов не равны суммам масс входящих в них протонов и ней-

делить энергию связи ядра: U =	M c2.	− Pi	i	0
тронов. Измеряя дефект масс	M = Mïîëí.		m	< , можно опре-

Одна из формулировок механики основана на использовании функции Гамильтона энергии, представленной в виде функции от (обобщенных) координат и импульсов. Нетрудно получить такое выражение для сво-

бодной частицы, заметив, что:

p =		mv		,
		1 − v2/c2				p2 + m2c2 =	m2v2	+ m2c2 =	m2c2	=	E2
							1 v2/c2		1 v2/c2		c2
E =	p mc2
							−		−
	1 − v2/c2
	p

E2/c2 = p2 + m2c2

p

Функция Гамильтона: H(p) = c p2 + m2c2. (2.6)

В классическом пределе (v/c 1) имеем: H ' mc2 + p2

2m .

В релятивистском пределе (v/c = 1), H = p c.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

54

2.2Вывод уравнений релятивистской механики

Вернемся к выражению для действия (с. 50). Уравнения механики должны получаться√èç óñëîвия обращения в нуль вариации действия.

Заметим, что ds =

dXidXi, откуда

S = −mc Z

b

p

dXidXi.

a

Найдем вариацию:

b

dXidXi = −mc

b

2√dXidXi

dXi d δXi + dXi d (δXi) =

δS = −mc δ Z

Z

p

1

a

a

−

Z

b

−

Z

b

dXi d δXi

(1.52)

ui d δXi

=

mc

a

= mc

a

=

ds

(интегрируя по частям)

b

δXidui = −mc ui δXi

a+mc Z

b

dsi

ds.

(2.7)

= −mc ui δXi − Z

δXi

h

a

i

b

a

du

Будем считать, что при варьировании траектории ее концы остаются

фиксированными. Тогда δXi a= δXi b= 0. Условие δS = 0 при таком способе варьирования приводит к требованию обращения в нуль стоящего в правой части интеграла. Поскольку это должно быть при произ- вольных δXi, то отсюда следует, что

dudsi = 0.

Это и есть закон движения.

4-импульс С этим уравнением будет удобнее работать, если представить его в другом виде. Для этого будем варьировать траектории

так: начло траектории (точка a) закреплена, а конец (точка b) переме-

щается по допустимой траектории, проходящей через a. В этом случае

называется 4-импульсом. Учитывая

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

55

член с интегралом тождественно равен нулю, и δXi a= 0. Обозначая
δXi b= δXi, имеем:
δS = −mc ui δXi, откуда	∂S	= −mc ui.	(2.8)
	∂Xi

Величина P i = −∂S/∂Xi

(ñ. 32), ÷òî Xi = (ct, r), находим:

	∂S
P i = −	∂Xi	=				c		, p ,	(2.9)
Pi = −∂Xi =				c				, −p
									,
	∂S					E

(в последней формуле узнается известное из аналитической механики соотношение между обычным импульсом и действием: p = ∂S/∂r).

Отсюда следует важный вывод:

Энергия и импульс являются компонентами одного 4-вектора. Следовательно, для них справедливы преобразования Лоренца (1.30):

px = γ px0 +	v	E0 , py =i	py0 , pz =i	pz0 , E = γ (E0 + v px0 ) .
	c2
Из формулы (2.8) находим: P			= mc u . Поскольку, согласно (1.54),
uiui = 1, òî
		P iPi = m2c2.		(2.10)

Учитывая (2.9), приходим к уже известному соотношению: (E/c)2−p2 = m2c2. 4-вектор силы Определим 4-силу как производную 4-импульса:

dP i			dui
gi =		= mc		.	(2.11)
	dS
			dS

Отсюда получаем явные выражения для компонент силы:

gi = γ fc·2v, c ,

(2.12)

f

ãäå v è

f

=

dp/dt обычные вектора скорости и силы,

p

ортогональности. Поскольку

следующее свойство

γ = 1/ 1 − v2

/c2.

Имеет

место

d

i

2

2, òî

i

i

i

P

Pi = m

c

(P

Pi) = P

gi + g

Pi

= 0. Таким образом,

dS

giP i = giPi = 0.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

56

Уравнения Теперь, опираясь на полученные результаты (2.9, 2.10), мы Гамильтона- можем составить уравнение движения:

Якоби

∂S ∂S = m2c2, ∂Xi ∂Xi

или в компонентах:

1		∂S		2	−	∂S		2
								= m2c2.	(2.13)
c2		∂t				∂r

Оно представляет собой релятивистски-инвариантную форму уравнения Гамильтона-Якоби. Можно показать, что в классическом пределе

v/c → 0 оно переходит в обычное уравнение Гамильтона-Якоби, извест-

ное из аналитической механики.

Чтобы выполнить такой переход, заметим, что выражение для релятивистской энергии содержит содержит обязательное постоянное слага- åìîå mc2 (энергия покоя), которого нет в классическом случае. По этой

причине будет удобным наряду с релятивистским действием ввести ещеклассическое (точнее переходящее в классическое в пределе v/c → 0) согласно правилу:

v

1

∂

S + mc2t

v

1

E = −

∂S c

'

mc2

+ Eêë. êèí. = −

c

'

Eêë. êèí..

∂t

∂t

Последнее соотношение показывает, что в пределе v/c → 0 свойством классического действия обладает величина S0 = S + mc2t. Подставим в (2.13) S = S0 − mc2t:

∂S

2+m2c2 =

1 ∂(S0

− mc2t)

2

=

1 ∂S

0

2

2

1 ∂S0

mc2+

1

mc2

.

∂r

c2

∂t

c2 ∂t

−

c2 ∂t

c2

Âнерелятивистском пределе c → 0 члены с 1/c2 должны быть опущены.

Âрезультате получаем классическое уравнение Гамильтона-Якоби для свободной частицы:

∂S		1			∂S		2
0	+						= 0.	(2.14)
∂t		2m			∂r

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

57

2.3Момент импульса

Âклассической механике утверждается, что в любой изолированной (не взаимодействующей с остальным миром) имеется три сохраняющиеся величины: энергия, импульс и момент импульса. В релятивистском случаем энергия и импульс входят в единую величину 4-импульс; вы-

ражение dpi/ds = 0, (i = 1, 2, 3, 4), обобщает первые два закона со-

хранения. Теперь поставим целью найти релятивистское обобщение закона сохранения момента.

В классической физике вывод закона сохранения момента основан на том, что действие и лагранжиан инвариантны относительно преобразования вращения, поскольку пространство изотропно. Релятивистское обобщение этого утверждения состоит в том, что действие является инвариантом преобразований Лоренца ( четырехмерного вращения , с. 23), поскольку все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны.

Если записать преобразования Лоренца в обобщенном виде: X0i = Λi kXk, то инвариантность интервала, согласно (1.35), позволяет записать:

XiXi ≡ Xi0X0i = Λi kΛi lXkXl,

откуда

Λi kΛi l = δlk.

(2.15)

Матрицы преобразования Лоренца, удовлетворяющие этому соотношению, называются псевдоортогональными; здесь нетрудно заметить сходство с определением обычных ортогональных матриц, описывающих вращение в трехмерном пространстве.

Рассмотрим теперь малое (инфинитезимальное) преобразование Лоренца. Матрица этого преобразования близка к единичной (если преобразование не делается, то она, очевидно, должна быть единичной). Поэтому в этом случае удобно записать:

Λi k = δik + δΩi k.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы										58
Условие (2.15) принимает вид:										+ δΩ k + o (δΩ)2 .
δk = δk		+ δΩ k	δi + δΩi					= δk + δΩk
l		i				,	l		l	l
	i		l					l
Таким образом,		k		k			что можно записать в виде:
		δΩ l + δΩl			= 0

δΩkl = −δΩlk, δΩkl = −δΩlk.

Мы видим, что из условия псевдоортогональности вытекает требование антисимметричности для δΩkl.

Чтобы увидеть, как эти результаты проявляются в динамике частиц, вернемся к выражению (2.7) для вариации действия:

δS = −mc ui δXi		a+mc	Z	b	dsi	ds.
				δXi
		b	a		du

Пусть интеграл вычисляется вдоль истинной мировой линии свободной частицы, соединяющей неподвижные точки a è b. Тогда δS = 0

è dui/ds ≡ 0. Если теперь дать концам мировой линии малые смещения δXi = Xi0 − Xi = δΩi kXk, отвечающие инфинитезимальным преобразованиям Лоренца, это вызовет соответствующую вариацию действия:

b

b

δS = −mc ui δXi a≡ −P iδXi

a= −δΩik P iXk.

В общем случае, для системы

частиц

δS

i

X

k (сумма по

= −δΩik

P

P

δΩik, ìû ìî-

всем частицам). Пользуясь антисимметричностью

матрицы

жем, далее, записать:

1

δΩikP iXk + δΩikP iXk

1

P iXk − P kXi .

δΩikP iXk ≡

=

δΩik

2

2

Если в левой части этого выражения индексы i, k пробегают все зна- чения от 1 до 4, то в правой части уже можно считать, что, сумма ограничивается слагаемыми с i < k èëè i > k, è âñå δΩik с такими индексами независимы между собой. Таким образом, при произвольных

δΩik вариация

1				всем частицам			b
				X
δS =	2		δΩik	сумма по	P iXk − P kXi		a = 0,
				системы

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

59

поскольку действие инвариантно относительно преобразований Лорен-

ца. Отсюда следует, что Mik = Mik , ãäå

ab

X

Mik = XiP k − XkP i . (2.16)

Поскольку выбор точек a, b совершенно произволен, то это значит, что

Mik = const.

Ранее (с. 37) мы уже рассматривали общую структуру антисимметричного 4-тензора второго ранга и показывали, что такой тензор эквивалентен совокупности двух трехмерных векторов полярного и аксиального. Сравнение формулы (2.16) и выражения (1.40) показывает, что в роли аксиального вектора теперь выступает классический момент импульса

X

M = {Mx, My, Mz} = [r × p] .

Этого следовало ожидать, поскольку трехмерные вращения являются частным случаем преобразований Лоренца. Если выбрать в качестве таковых преобразования, связывающие взаимно-неподвижные инерциальные системы отсчета, одна из которых повернута относительно другой, то описанные выше действия воспроизведут обычный вывод закона сохранения момента импульса изолированной системы материальных то- чек:

M = const.

Если представить тензор Mik в форме (1.40),

hx	0x	Myz	Mzy
0	h	h	h

Mik =

−hy

Mz

0

−Mx

,

(2.17)

−

hz

−

My

Mx

0

−

−

P

2

образует

компоненты полярного вектора h, è

то увидим, что тройка величин {hx, hy, hz} =

t p − E r/c

получается еще один закон сохра-

нения:

h = const.

Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы

60

Что он означает ? Принимая во внимание этот закон, а также закон сохранения энергии, имеем:

	E = const,			2			=	R	−	t V = const,	(2.18)
X t p		−	E r/c			= const
X

ãäå

PP

	E r			v/c 1		m r		радиус-вектор центра масс		(2.19)
R =		E				m			,
				−→				скорость центра масс,		(2.20)
V = cP2		p v/c 1			P m v
	PE			−→		P m
	P					P

(переход к классическому пределу здесь осуществляется путем замены: E ' mc2). Мы получаем равенство, в классическом пределе приобрета-

ющее смысл закона движения центра масс.