Teorija_Polja

Òåìà 3

Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

3.1Основные положения

Классический В классической механике от рассмотрения свободных подход (невзаимодействующих) частиц переходят к рассмотрению силовых взаимодействий. Последние реализуются следующим образом: частица создает в пространстве си-

ловое поле; его влияние на другую частицу состоит в том, что энергия частицы в различных точках пространства различна, что означает действие на частицу силы (сила определяется как градиент потенциальной энергии и отлична от нуля, если энергия меняется от точки к точке). При этом (а) частица 1, занимая определенное положение в пространстве, создает в каждой точке условия, влияющие на поведение частицы 2; (б) перемещение частицы 1 мгновенно меняет эти условия во всем пространстве. Иначе говоря, классическое описание строится на концепции дальнодействия считается, что передача воздействия от частицы к частице происходит мгновенно.

Релятивистский В релятивистской механике изложенный взгляд на физи- подход ческие процессы неприемлем. Если взаимодействующие частицы 1 и 2 разделены пространственным промежут-

êîì d, то частица 2 сможет почувствовать, что частица 1 начала двигать-

61

Действие,

лагранжиан и энергия

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

62

ся, только по прошествии времени τ d/c. Теперь физическая карти-

на должна строиться на представлении о существовании материальной среды электромагнитного поля отвечающей за передачу взаимодействия. Неподвижная частица 1 создает постоянное распределение поля в окружающем пространстве. Когда частица приходит в движение, на- чинается сложный динамический процесс движения поля. Это отвечает концепции близкодействия: изменение поля в данной точке порож-

дает волну изменений, распространяющуюся со скоростью c.

Замечание 1. В данном курсе, говоря о взаимодействующих частицах, мы всегда будем иметь в виду взаимодействие зарядов через электромагнитное поле. Аналогичный подход можно развить для других видов взаимодействия: гравитационного, сильного и т.д. но это тема других курсов.

Замечание 2. Интересным следствием эйнштейновского принципа относительности является невозможность существования абсолютно твердых тел. Э с очевидность следует из положения о конечности скорости передачи взаимодействия: сила, действующая на часть тела локально,

по прошествии времени t чувствуется только частицами, удаленными

от точки действия силы не более чем на расстояние c · t.

Действие частицы, взаимодействующей с полем, может быть представлено в виде суммы двух членов: первый описывает свободную частицу, а второй взаимодействие. Первый член мы знаем (с. 50). Откуда мы можем взять второй

член ? Его нам предстоит угадать !

Сделаем замечание методологического характера. Отталкиваясь от эмпирических фактов, физики ищут простые универсальные математические уравнения для их описания. Наиболее фундаментальные из этих уравнений всегда приходится угадывать (первичные принципы неоткуда вывести ), проверяя справедливость найденного результата постановкой опытов. Успех в нахождении ( угадывании ) уравнений и других математических конструкций предопределяется тем, что:

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

63

1)переход от простого к сложному, от частного к общему выполняется по возможности постепенно, шагами;

2)угадываются общие принципы математической теории (так, Ньютон угадал , что уравнения механики это дифференциальные уравнения второго порядка);

3)отметаются конструкции, нарушающие некоторые очевидные принципы (так, в п. 1.5 мы обсуждали вопрос о правильных выражениях, которые можно построить из векторов, тензоров);

4)из допустимых вариантов выбираются наиболее простые.

Мы скажем теперь, что правильно угаданное выражение, описывающее действие для заряда в электромагнитном поле, имеет вид:

S = Z	b	−mc ds − cAi dXi .				(3.1)
		e
a

Первое слагаемое, описывающее свободную частицу, нам известно. Выбор второго слагаемого может быть обоснован тем, что он обеспечивает правильное описание экспериментов. Однако следует отметить, что здесь было взято (а) правильное с точки зрения законов композиции 4-векторов (п. 1.5) и при этом (б) одно из наиболее простых выражений.

Требование правильной математической структуры принципиально важно: например, выражение R Aids также очень простое, но оно не

совместимо с требованием релятивистской инвариантности. Электромагнитное поле описывается 4-вектором

Ai = (ϕ, A);

(3.2)

временная и пространственная части этого вектора носят названия: ϕ

скалярный потенциал, A векторный потенциал. Таким обра-

зом, можно переписать действие в привычной для классической физики форме:

b

t2

+ cAv − e ϕ ! dt.

S = Z

−mc ds + cAdr − e ϕ

−mc r1 − c2

= Z

e

v2

e

a

t1

(3.3)

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

Исходя из последнего выражения, можно найти:

функцию Лагранжа:

обобщенный импульс:

энергию:

L = −mc2 r

1 − c2

+ cAv − e ϕ;

v2

e

∂L

mv

e

(2.3)

e

P =

=

+

A = p +

A;

∂v

q1 −

v2

c

c

∂L

c2

2

E = v ·

=

mc

+ e ϕ.

∂v

q

1 −

v2

c2

64

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Выражение для энергии станет функцией Гамильтона, если мы выразим ее не через v, а через p. Чтобы найти эту функцию, заметим, что

между энергией и импульсом частицы связь остается такой же, как и в отсутствие поля:

E = mc2/e

E e ϕ 2

2 2

e 2

1 − v2/c2

p

−

p = P

A

=

= m c + P

A ,

c

c

− c

−

2

2

2

c

2

(E/c)

= p

+ m

откуда получаем искомое

выражение:

H = r

+ e ϕ.

(3.7)

m2c4 + c2

P − cA

2

e

В классическом пределе (v/c 1) имеем:

mv2

e

L '

+

A − e ϕ − mc2,

(3.8)

2

c

e

p = mv = P −

A,

(3.9)

c

1

e

2

H =

P −

A

+ e ϕ.

(3.10)

2m

c

3.2Движение заряда в заданном поле

Система зарядов и электромагнитное поле образуют, строго говоря, единую динамическую систему: заряды порождают поле, определяющее силы, действующие на них же. Однако во многих случаях мы можем ограничиться моделью, предполагающей, что:

а) электромагнитное поле создано сторонними зарядами;

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

65

б) можно исключить из рассмотрения поле, создаваемое зарядом, движение которого изучается (другими словами, можно пренебречь самовоздействием заряда через поле).

В этих предположениях можно говорить о движении заряда (системы зарядов) в заданном внешнем электромагнитном поле, которое определяет силы, влияющие на движение.

Замечание: экспериментальное измерение параметров электромагнитного поля требует ввести представление о пробном заряде столь малом по величине, что испытывая воздействие поля, он практически не возмущает его.

Чтобы описать движение частицы в заданном поле, нам достаточно записать уравнение движения частицы, в которое поле входит как параметр (общее рассмотрение динамики системы частицы + поле требует добавления уравнений движения самого поля, в которые должны войти параметры частицы). Найдем уравнение движения в форме Лагранжа:

d ∂L

=

∂L

.

dt ∂v

∂r

Имеем:

L = −mc2 r1 −

v2

e

− e ϕ

+

Av

c2

c

∂L

+

e

A = p +

e

A

= P = mv/ 1

v2/c2

=

∂v

e

grad

p

−

c

c

∂L

r

A · v

−

e grad ϕ, grad

(· · · ) ≡

∂

(· · · )

/∂

∂r = c

Последнее

выражение может быть преобразовано. Для этого воспользу-

емся справочной формулой:

grad

a · b = a · r b + b · r a + b × rot a + a × rot b

Чтобы доказать это равенство, следует применить формулу вычисления

двойного векторного произведения:

a × [b × c] = b (a · c) − c (a · b).

Тогда получается:

= (a ) b

+ (b

) a

· r

a · r

b + b · r a + b × rot a

+ a × rot b

=

r

·

· r

+

r

(a

·

b)

−

(b

· r

) a +

r

(a

·

b)

−

(a

· r

) b =

(a

b).

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

66

Учтем, что r è v мы должны рассматривать как независимые перемен-

ные; по этой причине при дифференцировании по r следует считать

Лагранжа принимает

. Уравнение

v = const. Тогда grad

A · v

= v · r

A + v × rot A

âèä:

d

e

e

e

p +

A =

(v · r) A +

[v × rot A] − e grad ϕ.

(3.11)

dt

c

c

c

Заметим, что в левой части уравнения стоит полная производная по времени, учитывающая, что поле в месте расположения частицы меняется потому что (а) меняется само поле; (б) частица движется. Это значит,

÷òî	d		A t, r =	∂A		+ r˙ · r A ≡	∂A
									+ (v · r) A.
	dt			∂r			∂r

Подставляя полную производную в таком виде, мы можем сократить член с градиентом. В итоге получается уравнение:

dp		e ∂A				e			v × rotA .
	= −					− r grad ϕ +				(3.12)
dt		c		∂t			c

Правая часть уравнения имеет смысл силы, действующей на заряд со стороны поля. Учитывая известные выражения для напряженностей полей:

	1 ∂A
напряженность электрического поля:	E = −					− grad ϕ,	(3.13)
		c		∂t
напряженность магнитного поля:	H = rot A,

в полученном выражении для силы можно выделить два слагаемых: силу со стороны электрического поля и силу со стороны магнитного поля (эта сила действует только на движущуюся частицу):

dp		e		v × H .
		= e E +			(3.14)
dt			c

Ñèëà ec v × H , создаваемая магнитным полем, называется силой Лоренца. В классическом пределе (v/c 1) выражение (2.3) для импульса

принимает вид: p = mv и уравнение движения нерелятивистской части-

	цы запишется как	dv		e		v × H .
	m		= e E +				(3.15)
		dt		c

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

67

Замечание 1. Мы рассматривали частицы в пустоте (вакууме). Поскольку окружающая среда отсутствует, понятия напряженностей и индукций полей совпадают.

Замечание 2. Силы, действующие на частицу со стороны поля, одинаковы в релятивистском и классическом случаях (см. правые части (3.14) и (3.15)), т.к. уравнения электромагнитного поля уже релятивистские.

Зависимость энергии частицы от времени

Заметим, что имеют

место соотношения (с. 64):

mc2

mv

Отсюда

E = p1 − v2/c2

− e ϕ, p = p1 − v2/c2 .

dE

=

1

mc2

2vv˙

=

m (v · v˙ )

,

dt

−

2 (1 − v2/c2)

3

− c2

3

=

2

(1 − v2/c2)2

dt

1

−

v2

/c2 − 2 (1

−

v2/c2)23

− c2

=

dp

1

2vv˙

mv˙

mv

m

(v

v˙ ) v

p

=

v˙ +

2

·

2

2

,

2

2

(1

)

1

v

c

v

/c

/c

(p

−

−

=

v

=

·

3

.

· dt

(1

v /c

)2

dp

m v

v˙ )

−

÷òî

Отсюда

видно,

dE = v

dp

=

e E

v.

(3.16)

·

(3.14)

·

dt

dt

Мы видим, что изменение энергии частицы равно работе силы, создаваемой электрическим полем. Магнитное поле не производит работы, поскольку сила Лоренца всегда ортогональна к скорости.

3.3Калибровочная инвариантность

Добавка к действию (3.1), учитывающая наличие электромагнитного поля, была выражена через 4-вектор потенциала Ai = (ϕ, A). Однако

в уравнения движения вошли векторы напряженностей полей E è H.

Очевидно, что потенциалы ϕ, A однозначно определяют напряженно-

ñòè E, H. Обратное, однако, неверно. Выясним допустимый произвол в определении потенциалов при заданных напряженностях полей.

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

68

Из классической механики известно, что добавление к функции Лагранжа полной производной по времени от произвольной функции не приводит к изменению уравнений движения. Этот результат можно обобщить и на релятивистский случай. Произведем калибровочное преобразование, добавляя к 4-вектору потенциала 4-градиент произ-

вольной функции:		∂f
Ak −→ Ak0	= Ak −
			.	(3.17)
		∂xk

Как при таком преобразовании изменится действие ? Согласно (3.1),

S −→ S0 = Za

b

Ak − ∂xk dxk =

−mc ds − c

e

∂f

= S + c Z

b

= S + c f

a.

∂xk dxk

e

∂f

e

b

a

Вспомним теперь, что процедура установления уравнений движения такова: считая, что точки a и b лежат на мировой линии истинного движения, мы варьируем форму отрезка мировой линии (заменяем

xk → xk + δxk при условии δxk a= δxk b= 0), соединяющего эти точ- ки, что приводит к соответствующей вариации действия ( S → S + δS);

среди всех мыслимых траекторий истинная выделена тем, что для нее соответствующее действие оказывается наименьшим, а его вариация при этом равна нулю,

δS = 0.

Эта формула представляет собой вариант записи уравнений движения.

Очевидно, что если варьирование мировой линии производится при закрепленных концах a, b, то добавка ec f ba к действию не влияет на вид

уравнений движения: δS = δS0.

Неоднозначность в выборе потенциалов ϕ, A может быть обнаружена

и более непосредственно. Переходя в калибровочном преобразовании от четырехмерного градиента к производным по координатам и времени,

Чтобы устранить произвол в выборе 4-потенциала, íà

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

69

имеем:

Ak0 = Ak

∂fk

A → A0 = A +1 ∂f f,

Ak

ϕ → ϕ0 = ϕ −

grad

−→

−

∂x

c

∂t

Подставляя эти выражения в формулы

для напряженностей полей, име-

åì:

= −c ∂t

0

− grad ϕ0

= −c ∂t A + grad ϕ − grad ϕ − c ∂t

≡ E,

E0

1 ∂A

1 ∂

1 ∂f

H0

= rot A0 = rot A + grad ϕ

= rot A ≡ H.

Инвариантность напряженностей полей и, как следствие уравнений движения, относительно калибровочного преобразования носит название калибровочной, или градиентной, инвариантности.

Ai накладыва-

ют дополнительное условие калибровки. Часто используется условие

калибровки Лоренца:

∂Ak		1 ∂ϕ
	= 0				+ div A = 0.	(3.18)
∂xk		c ∂t

Его можно реализовать следующим образом: пусть сначала потенциал не удовлетворяет условию Лоренца; подберем функцию f так, чтобы для нового потенциала (3.17) условие Лоренца выполнялось:

∂A k

∂

Ak −

∂

=

∂Ak

∂ ∂f

0

=

f

−

= 0.

∂xk

∂xk

∂xk

∂xk

∂xk ∂xk

Отсюда видно, что функция f должна удовлетворять уравнению:

∂Akf = − ∂xk ,

ãäå

≡ −∂x∂k ∂x∂k = −c12 ∂t∂2 + r2

оператор Д'Аламбера (даламбертиан).

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромагнитном поле

70

3.4Тензор электромагнитного поля

Выше мы видели, что скалярный и векторный потенциалы, играющие важную роль в классической электродинамике, могут быть объединены в 4-вектор Ai = (ϕ, A), c помощью которого записывается

релятивистски-инвариантная форма действия. Однако мы пока не знаем, как в правильной 4-мерной (ковариантной) форме записать: (а) переход к напряженностям полей и (б) уравнения движения. Чтобы решить эту проблему, будем выводить уравнения движения, реализуя принцип наименьшего действия в 4-мерной форме.

Вернемся к выражению для действия:

	S = Z	b	−mc ds − cAkdxk				, ds = dxidxi.
			e				p
	a

При вычислении вариации учтем, что

p

2

dxidx

ds

i

1

δ dxi dxi

dxi · δ dxi

i

δ dxidx

=

√

i

=

= ui δ dx

,

откуда получается условие экстермума (минимума) действия:

δS = − Z	b	mc d δxi + c		Ai d δxi		+ c δAi dxi			= 0.
			e				e
a

Интегралы от первых двух слагаемых преобразуем путем интегрирования по частям, чтобы снять знак дифференциала с вариации. Тогда

− mc ui + cAi

δxi

a+ Z

b

mc dui δxi + c

δxidAi − cδAi dxi

= 0.

e

b

e

e

a

Чтобы теперь установить уравнения движения, нужно выполнить варьирование при условии закрепленных концов мировой линии:

δxi a= δxi b= 0; тогда внеинтегральный член обращается в ноль. Подставляя

δAi ≡ ∂Ai/∂xk δxk, dAi ≡ ∂Ai/∂xk dxk,