Лекции Соболева часть 3

98	Лекции 12 - 14

Интервал сходимости x (−1, 1).. Исследуем граничные точки.

1)x =1 ∑∞ 1n − расходится;n=1

		∞	(−1)			n
2)	x =1 ∑						- сходится условно по признаку Лейбница.
					n
		n=1
Область сходимости ряда x [−1, 1).
2)	R = lim	(n +1)!			= lim(n +1)= ∞ , ряд сходится при всех x (− ∞, ∞).
		n!
	n→∞				n→∞

13.2.Свойства степенных рядов

Всилу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на (− R, R), его можно почленно дифференцировать и интегрировать в ин-

тервале сходимости.

ТРяды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Пример:

∞

1) ∑xn = x + x2 + x3 +… сходится равномерно при x , удовлетворяю-

	n=1
	щих неравенству				x		<1
	∞	x	(1)
	∑xn =			- сумма бесконечно убывающей геометрической
		1 − x
	n=1

прогрессии .

Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать:

∞

n−1

x

′

1

∑nx

=

=

;

1 − x

2

n=1

x −1

∞

n+1

x

∑n=1

x

= ∫0

t

dt = −x − ln(1 − x).

n

+1

1 −t

∞

2) ∑an xn = f (x).

n=0

f (x) = a0 + a1x + a2 x2 +…; f ′(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 …, ∫ f (x)dx = c + a0 x + a12x2 +….

Функциональные ряды

99

13.3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

Формула Тейлора для

f (x):

f (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+

f ′′(x0 )

(x

− x0 )2

+…

f (n)(x0 )

1!

2!

…+

(x − x0 )n

+ Rn (x).

n!

f (n+1)(x0

+θ(x − x0 ))

где Rn (x)=

×(x − x0 )n+1 -остаточный член в форме Лагранжа,

(n +1)!

где (0 <θ <1).

ТФункция f (x), имеющая производные всех порядков в интервале

x − x0 < R , однозначно представима на этом интервале своим рядом

∞

n

f (n)(x

0

)

Тейлора: f x = ∑an (x − x0 )

, где an =

, тогда и только тогда,

n!

n=0

когда lim Rn (x)= 0 .

n→∞

Доказательство:

По формуле Тейлора f (x)= Pn (x)+ Rn (x),

Pn (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+…+

f (n )(x0 )

(x − x0 )n .

1!

Так как lim Rn (x)= 0

n!

f (x)

= lim Pn (x).

n→∞

n→∞

Pn (x) - частичная сумма ряда Тейлора, ее предел равен сумме ряда

f (x),

значит

разложение

справедливо.

f (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +….

1!

2!

При x0 = 0

f (0)+ f ′(0)x +

f ′′(0)x2 +…+

f

n

(0)xn +… на-

ряд

f (x)= ∑an xn =

∞

n=0

1!

2!

n!

зывается рядом Маклорена.

ТДля того, чтобы функцию f (x) можно было разложить в степенной

∞

ряд ∑an xn на интервале (− R, R) достаточно, чтобы f (x) имела на

n=0

(− R, R) производные всех порядков и чтобы существовала такая

постоянная M	, что		f (n)(x)		≤ M при n = 0,1,2,… и при всех x (− R, R).
Доказательство:
Так как f (x)	имеет		производные всех порядков, для нее можно

формально построить ряд Маклорена. Докажем, что он сходится к

f (x). По теореме 1 достаточно доказать, что Rn (x)→ 0 для x (− R, R).

n→∞

100

Лекции 12 - 14

Остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа можно

оценить

следующим

образом:

Rn (x)

=

f (n+1)(θx)

xn+1

<

MRn+1

при

x (− R, R); 0 <θ <1.

∞

n+1

(n +1)!

(n +1)!

По признаку Даламбера ряд ∑

MR

сходится, значит для него вы-

n=0 (n +1)!

полняется необходимый признак сходимости и его общий член

MRn+1

→ 0 . Значит Rn → 0,

x (− R, R),что и требовалось доказать.

n +1

n→∞

n→∞

Для разложения функции y = f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) следует:

1)составить ряд по формуле;

2)найти его область сходимости;

3) доказать, что для всех x из области сходимости

lim Rn(2) = 0 (f (n)(x) ≤ M ).

n→∞

13.4. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена

1.

f (x)= l x f (n )(x)= (l x )n = l x ; f (n )(0)=1

f (n)(x)

= l x ≤ l R

на

любом

интервале

x (− R, R

)

оси x ,

значит для всех

x (− ∞, ∞).

x

2

∞

x

n

l x =1 + x +

+…= ∑

, x R.

n!

2.

2!

n=0

shx

l x −l

−x

= x +

x3

x5

x2n−1

, x R;

=

2

+

+…+

3.

3!

5!

(2n −1)!

ch x =

l x

−l −x

x2

x2n

, x R.

=1 +

+…+

2

2!

(2n)!

4.

f (x)= sin x и

f (x)= cos x .

f n (x)

≤1,

n = 0,1,… x R.

1)

f (x = sin x,)

f (0)= 0,

′

+

π

f

′

,

f (x)= cos x = sin n

2

(0)=1,

′′

π

′′

= sin x +

2

,

f

f (x)= −sin x

2

(0)= 0

f

(n)

(x)=

+ n

π

f

(n )

(0)= Sin

πn

.

Sin x

2

,

2

x3

x5

∞

n

x2n+1

sin x = x −

+

−…= ∑(−1)

,

x

≤1.

3!

5!

(2n +1)!

n=0

2)

f (x)= cos x

(1)

(2)

(3)

Функциональные ряды

101

Разложение

функции

cos x

получим продифференцировав

ряд для sin x ( ):

x2

x4

x6

∞

n

x2n

cos x =1 −

+

−

+…= ∑(−1)

,

x

≤1.

2!

4!

6!

n=0

(2n)!

5. f (n)(x)= m(m −1)…[m − (n −1)](1 + x)m−n , f n (0)= m(m −1)…[m − (n −1)].

(1+ x)m =1+ mx +

m(m −1)

x 2 +…+

m(m −1)…[m −(n −1)]

x n +…=

1 2

1 2 3…n

=1 + ∑m(m −1)…(m − n +1)xn x (−1,1).

∞

n=1

n!

6. f (x)= ln (1 + x), x > −1

f (x)

Продифференцируем

и

разложим производную по

формуле суммы бесконечно убывающей геометрической

прогрессии: [ln(1 + x)]′ =

1

=1 − x + x2 − x3 +…,

−1 < x <1.

1 + x

Продифференцируем это равенство почленно:

∞

n

n

∞

n xn+1

ln(1 + x)=

∫

∑(−1)

x

dx = ∑(−1)

+ C, постоянную С найдем,

n +

1

n=0

n=0

∞

полагая x = 0 .

ln1 = ∑0 + C C = 0.

n=1

x

2

x

3

x

4

∞

n

∞

n+1

ln(1 + x)= x −

+

−

+…= ∑

(−1)

xn+1 = = ∑

(−1)

xn , −1 < x ≤1.

n +1

2

3

4

n=0

n=1

n

Здесь учтено, что разложение остается справедливым и при x =1, так как ряд сходится по признаку Лейбница.

7.f (x)= arc tg x

Представим

arc tg x = ∫x

dt

.

По формуле

суммы беско-

2

0 1 + t

нечно

убывающей

геометрической

прогрессии

1

=1 −t 2 + t 4 + t 6

+…, −1 < x <1.

1 + t 2

arctg x = ∫x (1 −t 2

+ t 4

−…)dt = x −

x3

+

x5

−….

0

3

5

x

3

x

5

∞

x

2n−1

arctg x

= x

−

+

−…= ∑(−1)n−1

, −1 ≤ x ≤1.

2n −1

3

5

n=1

Здесь учтено, что при

x = ±1 полученный ряд сходится по

признаку Лейбница.

При

x =1 получаем ряд Лейбница для вычисления числа π :

π =1

−

1

+

1

−….

3

5

4

(4)

(5)

(6)

102	Лекции 12 - 14

8.f (x)= (1 + x)m , m - производное постоянное число.

f (x)= (1 + x)m ,					f (0)=1
′	m−1	,			′
f (x)= m(1 + x)				,	f (0)= m
f (x)= m(m −1)(1 + x)			m−2		f (0)= m(m −1)
′′					′′

……………………………………………………………………

f (n)(x)= m(m −1)…[m − (n −1)](1 + x)m−n , f n (0)= m(m −1)…[m − (n −1)].
(1+ x)m =1+ mx +		m(m −1)	x 2	+…+		m(m −1)…[m −(n −1)]	x n +…=
		1 2				1 2 3…n
=1 + ∑m(m −1)…(m − n +1)xn						x (−1,1).
∞
n=1		n!

Область сходимости этого ряда находится по признаку Даламбера:

2) m =

1

:

1 + x =1

+ 1 x −

1

x

2 +

1 3

x3 −…;

2

2

4

2

4

6

2

3) m = −

1

:

1

=1 −

1

x +

1 3

x2

−

1 3 5

x3

+….

1 +

2

x

2

2 4

2 4 6

R = lim

un +1

= lim

m(m −1)…(m − n)xn+1n!

=

x

lim

n − m

=

x

<1.

un

(n +1)! m(m −1)…[m − (n −1)]xn

n +1

n→∞

n→∞

n→∞

Можно

доказать, что Rn (x)→ 0 для x (−1,1).

n→∞

∞

−1)…(m − n +1)

Ряд (1 + x)m

=1 + ∑

m(m

xn , x

(−1,1) называется би-

n=1

n!

номинальным рядом.

При различных постоянных m получим разложения следующих функций:

1)m = −1:

1=1 − x + x2 − x3 +…= ∑∞ (−1)n xn ; x +1 n=0

1

∞

=1 + x + x2

+ x3 +…= ∑xn ;

1 − x

n=0

f (x)= arc sin x,

x [−1,1].

9. arcsin x = ∫

dt

2

x

0

1 − t

Разложим подынтегральную функцию в биноминальный

ряд (при m = − 1

2

и x = −t2 )

и проинтегрируем почленно:

x

1

2

1 3

4

1 3 5

6

arcsin = ∫ 1

+

t

+

t

+

t

+…

2

2

2

2!

2

3

3!

0

1

3

5…(2n −1)

2n

1 x

3

1 3

5

…+

t

+… dt = x +

+

x

+…=

2n n!

2 3

2! 22 5

∞

1 3

5…(2n −1)

= ∑

x2n+1 +…, x (−1, 1).

n

n=0

2

n!(2n +1)

(7)

(8)

Функциональные ряды

103

Полученные разложения можно использовать как известные для разложения сложных функций f (u(x)) и разложений по степеням двучленов (x − x0 ).

Пример:

1). Из разложения экспоненты (1) при

x ,

равном − x2 , получим,

x

2

x

4

∞

x

2n

что l −x2 =1 −

+

− +…=

∑(−1)n

,

x (− ∞, ∞).

n!

1!

2!

n=0

2). Из разложения для логарифмической функции ln(1 + x)

(5) при

x , равном − x ,

получим,

что

x

2

x

3

∞

n

ln(1 − x)

= −x −

−

−…= −∑

x

, −1 < x <1.

2

3

n=1 n

3). Разложите функцию ln x по степеням (x −1).

Так как ln x = ln(1 + (x −1)),

искомое разложение получается из раз-

ложения ln(1 + x)

(5) при x , равном (x −1):

(x −1)

2

(x −

3

∞

(x −1)

n

ln x = (x −1)−

+

1)

−…= ∑(−1)n−1

, −1 < x −1 ≤1,

3

x (0,2]

2

n=1

n

4). Разложите в ряд по степеням (x + 3)

функцию ln(2 −5x),

x <

2

.

5

25

ln(2 −5x)= ln(2 −5(x + 3)+15)= ln17 1 −

(x + 3)

=

17

5(x + 3)

5(x + 3)

x равном

= ln17 + ln 1 −

= из примера 2) при

следу-

17

17

∞

5(x + 3) n

∞

5

n (x + 3)n

ет = ln17 + ∑1 −

= ln17 − ∑

,

17

n

n=1n

n=1

17

−1 <

5(x + 3)

<1,

−17

< x + 3 < 17

,

−

32

< x <

2 .

5

5

17

32

5

5

Можно убедиться, что при

x =

ряд является условно сходящим-

5

2

ся, а при x =

он принимает вид гармонического ряда и расходит-

5

32

2

ся. Интервал сходимости x −

,

.

5

5

π

5). Разложите функцию cos x по степеням x −

2

.

Введем

новую

переменную

x − π = t ,

тогда

π

2

= −sin t .

cos x = cos t +

2

Из разложения

104

Лекции 12 - 14

t

3

t

5

∞

−

t

2n−1

− sin t = − t −

+

−…

= −∑(

−1)n 1

, −∞ < t < ∞.

(2n −1)!

3 5

n=1

Переходя к старой переменной

∞

π

2n −1

π

3

π

5

x −

2

π

x −

2

x −

2

cos x = − ∑(−1)n −

1

= − x

−

+

−

+…

(2n −1)!

3!

5!

n =1

2

13.5. Применение степенных рядов

13.5.1. Вычисление значений функций

1)Вычислить sin10 с точностью 0,001.

sin x = x

−

x3

+

x5

−…

Ряд

сходится

при

x R .

10

=

π 10

=

π

3

180

18

5

3

π 5

π

1 π

1

−… Ряд знакочередующийся,

остаток

ряда

sin10 =

−

+

18

5!

3! 18

18

можно оценить по признаку Лейбница. Найдем член ряда, меньший по

	модулю, чем 0,001.		π				3	1		По признаку Лейбница погреш-
		u2							< 0.001
			=
				18				3!

ность от отбрасывания всех членов, начиная с n-го равна Rn < un+1 , зна-

чит

R1

<

u2

< 0.001

Sin10 =

π

= 0.174 .

18

2)

Вычислить с точностью до 0,01 значение ln 8 .

ln 8 = ln 23

= 3ln 2 . Вычислим ln 2 . Воспользуемся рядами:

ln (1 + x)= x −

x2

+

x3

−…,

ln (1− x)= −x −

x2

−

x

−…,

(1

+ x)

2

3

2

3

= ln (1 + x)−ln (1− x)= 2

x3

x5

ln

(1

− x)

x +

+

+… ,

x

<1

3

5

1 + x

При каком значении x

= 2?

1

1 − x

1 + x = 2(1 − x)→ x =

.

3

1

1

1

ln 2

= 2

+

+

+…

3

34

35 5

1

1

1

1

1

ln 8

= 3

2

+

+…+

+…

33

3

32n+1

2n +1

3

Функциональные ряды

105

Сколько членов нужно оставить, чтобы вычислить ln 8 с точностью

0,01?

											1											1										1									1																				1							1									1				2					1					4
Rn = 3 2																											+																				+…					< 6																					1+								+											+…	=
									2n+1										2n +1													2n+3					2n +3																							2n+1								2n +
						3																									3																												3												1						3									3
					1									1											1									1								1								9 , R														1						1 9					1
	= 2																														= 2																									< 2																=						≈ 0,005 < 0,01.
																											1
				32n								2n +1 1 −																						32n							2n +1								8				2										34							5 8					180
																											9
									1									1														2
	ln8 = 6																																	2.07 .
														+							= 2						+
									3							81																27
	3)											Вычислить 4 17 с точностью 0,01.
																																																					1
																																						1													1
													4 17 = 4 16 +1 = 24 1 +																																									4
																																						16				= 2 1 +
																																																			16
Воспользуемся биноминальным рядом, полагая x =																																																																	1			, m =							1		.
																																																																16
						14																										(−1) 3																																																	4
		1																							1																1 2								1			3			7					1			1 3
2	1 +								=				2			1 +												+								2											+																						+…						=
		16																				4			16							2!4																	4			4			4					3!
																																									16																						16
		1							3													7																																									3
= 2 +						−									+												−…,									Rn					<				un+1					,			u3						=									< 0,01								R2					<				u3			.
		32					163												4 164																																										163

417 = 2 + 321 = 2 +0,031 = 2,03.

4)Вычислите число e с точностью 0,001. Оценим погрешность приближенного равенства:

e

x

=1

+

x

+

x2

+…+

…

xn

, 0 < x <1.

1!

2!

n!

Rn (x)=

x

n+1

x

n+2

x

n

x

x

2

<

+

+…=

+

+…

(n +1)!

(n +

2)!

(n +1)(n + 2)

n! n +1

xn

x

x

2

x

3

<

+

+

+… =

n! n +1

n

+1

n +1

по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

xn

x

xn

x

xn

x

=

n +1

=

. Rn x <

.

n!

1

−

x

n!

n +1 − x

n!

n +1 − x

n

+1

	Для вычисления числа e оценим Rn x при x =1:	1	< 0,001, n = 5.
		n! n

	106									Лекции 12 - 14
	e ≈1 +1 +	1	+	1	+	1	+	1		= 2 + 0,5 + 0,166 + 0,041 + 0,008 = 2,715
		2		3 2		4 3 2		5 4	3 2

13.5.2.Вычисление интегралов, не берущихся

вэлементарных функциях

∫b

f (x)dx.

1) f (x)= e−x2

a

e−x2 =1 − x2 +

x4

−

x6

+…

2!

3!

∫a l−x2 dx = ∫a 1 − x2 +

x4

−

x6

+… dx =

0

0

2!

3!

x

x

3

x

5

x

7

a

a

3

a

5

a

7

= a −

=

−

+

−

+…

+

−

+…

1

1! 3

2! 5

3! 7

0

1! 3

2! 5

3!

7

Определим, сколько членов ряда нужно учесть, чтобы получить результат с точностью 0,001. a =1 .

	∫1 e−x2 dx =1 −		1	+	1	−	1	+…
		1!3			2!5		3!7
	0

Ряд сходится по признаку Лейбница при этом S < u1. отбросим члены для ко-

торых

1

≤ 0,001

n = 0, 1, 2,….

n = 5.

n!(2n +1)

x

t

x

∞

(−1)

n

t

2n+1

Sin

x = ∫sin

dt = ∫1

∑

1)!

dt =

0

t

0

2 n=0

(2n +

∞

(

−1 n

x

2n

∞

(

−1 n

x

2n+1

)

)

= ∑n=0

∫0 t

dt = ∑n=0

.

(2n +1)!

(2n +1)!

(2n +1)

Функциональные ряды

107

13.5.3. Решение дифференциальных уравнений

I.Метод последовательного дифференцирования

y′ = x2 y 2 −1, y(0)=1.

Ищем решение в виде: y(x)= y(0)+ y′1(!0)x + y′2′(!0)x2 +….

По условию y(0)=1, поставляя x = 0 в дифференциальное уравнение y′ = x2 y 2 −1, получаем y′(0)= −1.

Последовательным дифференцированием исходного дифференциального уравнения находим:

y

′′

= 2xy

2

+ 2x

2

′

y

′′

yy ,

(0)= 0;

y

′′′

= 2 y

2

+ 4xyy

′

+ 2x

2

′

2

+ 2x

2

′′

′′′

и т.д.

(y )

yy ,

y (0)= 2

Витоге y(x)=1 − x + 13 x3 −….

II. Метод неопределенных коэффициентов

y′′ = 2xy′+ 4 y, y = 0, y′ =1 при x = 0. )

Ищем решение в виде:

y = a0 + a1 x + a2 x2 +… an = ? a0 = 0, a1 =1 из )

y = x + a2 x2 + a3 x3 +…

y′ =1 + 2a2 x + 3a3 x2 +… y′′ = 2a2 + 3 2a3 x +….

Подстановка в уравнение дает:

2a2 + 6a3 x +12a4 x2 +…= 2x + 4a2 x2 + 6a3 x3 +…

…+ 4x + 4a2 x2 + 4a3 x3 +…

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :