Лекции Стечкина по матану

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Том I

Mocква 2011 год

УДК 517.

Рецензент Доктор физико-математических наук, профессор В. М. Тихомиров

ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Том I. / Под редакцией Т. В. Радославовой,

Н. Н. Холщевниковой.– М.: Изд-во ПС мех-мат ф-та МГУ, 2011 – 304 с.

Книга – результат обработки конспектов лекций по математическому анализу профессора С. Б. Стечкина, прочитанных на механико-матема- тическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в 1967 – 1969 годах – в пору расцвета механико-математического факультета – и получивших высокую оценку его слушателей. Книга предназначена для преподавателей и студентов, изучающих математический анализ и, несмотря на давность лет, может вызвать значительный интерес.

Напечатано по инициативе кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ при поддержке меха- нико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

°c Механико-математический

факультет МГУ, 2011 г.

Сергей Борисович Стечкин. Рисунок В. И. Бердышева.

3

Предисловие

Несколько лет назад на кафедре математического анализа механи- ко-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова было высказано пожелание издать лекции лучших лекторов прошлых поколений, читавших на кафедре курсы математического анализа, в том числе лекции выдающегося математика и замечательного лектора профессора Сергея Борисовича Стечкина.

Раскрытие перед слушателями логики и перспектив развития математического знания, обращение к литературным афоризмам, меткие выражения, подчеркивающие смысл обсуждаемых понятий и доказательств, выделяли эти лекции из других курсов.

Данный текст появился из расшифровки и минимального редактирования студенческих конспектов А. Б. Кукаркина, Б. С. Стечкина и Н. Н. Холщевниковой. Прочитали текст и сделали много полезных замечаний В. С. Панферов и И. Г. Царьков. Подготовили рисунки А. С. Кочуров и Ю. В. Малыхин. Оказали техническое содействие и помощь в применении системы TEX А. С. Кочуров,

Ю. В. Малыхин и А. С. Стечкина. Любезно предоставил для печати свой рисунок В. И. Бердышев.

Все мы благодарны за внимание к работе и поддержку и. о. декана мех-мат факультета МГУ профессору В. Н. Чубарикову, профессору Т. П. Лукашенко и многим другим сотрудникам кафедры.

Разделы в основном определены лектором. В сносках помещены замечания и комментарии редакторов, а также некоторые изречения лектора. Нумерация сносок своя внутри глав. Нумерация рисунков сквозная внутри главы с указанием номера главы, например, рис. 3.8 – это восьмой рисунок в третьей главе.

Т.В. Радославова, Н.Н. Холщевникова

4

Оглавление

Часть I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ			13
Глава 1. Основные понятия			14
§ 1.	Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		14
§ 2.	Логические символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		18
§ 3.	Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		20
	3.1.	Определение функции . . . . . . . . . . . . . .	20
	3.2.	Образование понятия функции . . . . . . . . .	21
	3.3.	Исторические замечания . . . . . . . . . . . . .	21
	3.4.	Примеры элементарных функций . . . . . . . .	21
	3.5.	Способы задания функции . . . . . . . . . . . .	22
	3.6.	Действия над функциями . . . . . . . . . . . .	23
	3.7.	Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . .	24
	3.8.	Сложная функция . . . . . . . . . . . . . . . .	26
	3.9.	Элементарные функции . . . . . . . . . . . . .	27
§ 4.	Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		28
Глава 2. Числовая прямая			30
§ 5.	Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .		30
	5.1.	Свойства рациональных чисел . . . . . . . . .	30
	5.2.	Множество действительных чисел . . . . . . .	31
	5.3. Простейшие множества действительных чисел		32
§ 6.	Принцип непрерывности (различные формулировки )		33
	6.1.	Теорема отделимости . . . . . . . . . . . . . . .	33

6.2.Принцип непрерывности Вейерштрасса . . . . 33

6.3. Принцип непрерывности Кантора . . . . . . . .	35
§ 7. Мощность множества действительных чисел . . . . .	35
	5

Глава 3. Теория пределов			38
§ 8.	Точечное множество на числовой прямой . . . . . . .		38
§ 9.	Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		39
§ 10.	Свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		42
	10.1.	Теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . .	42
	10.2.	Действия над пределами . . . . . . . . . . . . .	44
§ 11.	Признаки существования предела функции . . . . . .		46
	11.1.	Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . .	46
	11.2.	Оценочный признак . . . . . . . . . . . . . . . .	46
	11.3.	Предел монотонной функции . . . . . . . . . .	48
	11.4.	Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
§ 12.	Пределы по Коши и по Гейне . . . . . . . . . . . . . .		50
	12.1.	Последовательность Гейне . . . . . . . . . . . .	50
	12.2. Предел функции по Гейне
		(секвенциальное определение) . . . . . . . . . .	51
	12.3.	1	52
		Пример lim (1 + x) x = e . . . . . . . . . . . . .
		x→0
	12.4.	Предел сложной функции . . . . . . . . . . . .	53
§ 13.	Критерии существования пределов . . . . . . . . . . .		54

13.1.Дополнения к принципам непрерывности . . . 54

13.2.	Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
13.3. Лемма Гейне – Бореля . . . . . . . . . . . . . .		56
13.4.	Критерии существования пределов . . . . . . .	56
13.5. Критерий Коши существования предела
	функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59
§ 14. Порядки бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . .		60
Глава 4. Непрерывные функции		62
§ 15. Непрерывные функции в точке. Точки разрыва . . .		62
15.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . .		62
15.2.	Точки разрыва функции . . . . . . . . . . . . .	63
15.3. Колебание функции в точке . . . . . . . . . . .		65
15.4. Точки разрыва монотонной функции . . . . . .		66
15.5.	Примеры разрывных функций . . . . . . . . .	67
15.6.	Секвенциальное определение
	непрерывности функции . . . . . . . . . . . . .	68
§ 16. Действия над функциями, непрерывными в точке . .		69

16.1.Простейшие свойства функций, непрерывных

в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6

16.2.Действия над функциями, непрерывными в

	точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	69
16.3.	Теорема о непрерывности сложной функции .	70
§ 17. Функции, непрерывные на множестве . . . . . . . . .		72
§ 18. Свойства функций, непрерывных на множестве . . .		73
18.1.	Связность (линейная) . . . . . . . . . . . . . . .	73
18.2.	Непрерывный образ отрезка . . . . . . . . . . .	76
18.3.	Непрерывность обратной функции . . . . . . .	78
§ 19. Непрерывность элементарных функций . . . . . . . .		82
19.1.	Показательная функция . . . . . . . . . . . . .	82
19.2.	Непрерывность простейших
	элементарных функций . . . . . . . . . . . . . .	83
§ 20. Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . .		85
Часть II.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ		88
Глава 5. Дифференцирование функций		89
§ 21. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		89
§ 22. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .		93
22.1.	Дифференцирование – линейная операция . .	93
22.2.	Геометрический смысл дифференцируемости .	93
22.3.	Механический смысл производной . . . . . . .	94
22.4.	Правила дифференцирования . . . . . . . . . .	95
22.5.	Инвариантность формы дифференциала
	первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .	98
22.6.	Дифференцируемость обратной функции . . .	98
§ 23. Производные элементарных функций . . . . . . . . .		99
§ 24. Производная n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . .		101
24.1.	Производные высших порядков . . . . . . . . .	101
24.2.	Дифференциалы высших порядков . . . . . . .	103
24.3. Механический смысл второй производной . . .		104
§ 25. Теоремы о конечных приращениях . . . . . . . . . . .		104
§ 26. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		109
§ 27. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		110
27.1. Формула Тейлора для многочлена . . . . . . .		110
27.2.	Локальная формула Тейлора
	с остаточным членом в форме Пеано . . . . . .	112
		7

27.3.Замечание о единственности многочлена

Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

27.4.Формула Тейлора с остаточным членом

в форме Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . .

114

27.5.Сравнение формул Тейлора с остаточными

членами в форме Пеано и Лагранжа . . . . . . 116

27.6.Запись формулы Тейлора

через дифференциалы . . . . . . . . . . . . . . 117

27.7.Формула Тейлора с остаточным членом

в форме Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 27.8. Частные случаи формулы Тейлора . . . . . . . 118

Глава 6. Исследование функций
при помощи производных	120

§ 28. Условие постоянства функции . . . . . . . . . . . . . . 120 § 29. Условие монотонности функции . . . . . . . . . . . . . 121

§30. Экстремумы и строгие экстремумы функции . . . . . 123

§31. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба . 127

31.1. Выпуклость и вогнутость в точке . . . . . . . . 128 31.2. Выпуклость и вогнутость на интервале . . . . 131 § 32. Абсолютный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Глава 7. Дифференциальная геометрия	134
§ 33. Вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	134
33.1. Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . .	134

33.2.Дифференцирование вектор-функций . . . . . 136

33.3. Формула Тейлора для вектор-функции		. . . . 137
§ 34. Понятие кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . 138
34.1.	Элементарная кривая . . . . . . . . . . .	. . . . 139
34.2.	Касательная к кривой . . . . . . . . . .	. . . . 140
34.3.	Соприкасающаяся плоскость . . . . . .	. . . . 142
34.4.	Нормальная параметризация . . . . . .	. . . . 144
34.5.	Кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 144
34.6.	Круг кривизны . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 146
34.7.	Кручение кривой . . . . . . . . . . . . .	. . . . 147

8

Часть III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ	149
Глава 8. Неопределенный интеграл	150
§ 35. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	150
35.1. Задача нахождения функции

по ее производной . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 35.2. Понятие первообразной . . . . . . . . . . . . . . 153 § 36. Основные свойства неопределенного интеграла . . . . 157

Глава 9. Определенный интеграл			160
§ 37.	Определенный интеграл Римана . . . . . . . . . . . .		160
§ 38.	Функции, интегрируемые по Риману . . . . . . . . . .		163
§ 39.	Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . .		173
§ 40.	Свойства интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . .		178
	40.1. Интеграл как функция отрезка
		интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . .	178
	40.2.	Интеграл как функционал . . . . . . . . . . . .	179
	40.3.	Интеграл, как функция верхнего предела

интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 § 41. Вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . 186

41.1.Добавление к теории неопределенных

интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

41.2.Основная формула интегрального исчисления 187

	41.3.	Основные методы интегрирования . . . . . . .	188
Глава 10. Приложения интегрального исчисления			191
§ 42.	Вычисление площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		191
§ 43.	Формула Тейлора с остаточным членом
	в интегральной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . .		192
§ 44.	Квадратурные формулы (формулы для вычисления
	определенных интегралов) . . . . . . . . . . . . . . . .		194
	44.1.	Формула прямоугольников . . . . . . . . . . . .	195
	44.2.	Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . .	195
	44.3.	Формула парабол (формула Симпсона) . . . .	198
§ 45.	Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		199

45.1.Функции ограниченной вариации (функции с

ограниченным изменением) . . . . . . . . . . . 199 45.2. Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . 201

9

45.3. Задача о выражении длины кривой
	интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	204
45.4.	Дифференциал дуги . . . . . . . . . . . . . . .	206
§ 46. Различные приложения интегрального исчисления . .		207
46.1.	Объем тела вращения . . . . . . . . . . . . . .	207
46.2.	Поверхность тела вращения . . . . . . . . . . .	208
46.3.	Работа силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	209
46.4.	Статический момент кривой . . . . . . . . . . .	209
46.5.	Центр тяжести материальной кривой . . . . .	210
Часть IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ		211
Глава 11. Функции многих переменных		212
§ 47. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . .		212
§ 48. Множества в метрических пространствах . . . . . . .		216
48.1.	Окрестность точки
	в метрическом пространстве . . . . . . . . . . .	216
48.2. Открытые и замкнутые множества
	в метрическом пространстве . . . . . . . . . . .	219
48.3. Объединение и пересечение открытых
	и замкнутых множеств . . . . . . . . . . . . . .	221
§ 49. Отображение метрических пространств . . . . . . . .		222
49.1.	Предел последовательности . . . . . . . . . . .	222
49.2.	Предел отображения . . . . . . . . . . . . . . .	224
§ 50. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		231
50.1.	Непрерывность функции в точке . . . . . . . .	231

50.2.Непрерывность функции на множестве . . . . 232

50.3.Непрерывные отображения метрического пространства в евклидово . . . . 233

§ 51. Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		234
51.1.	Относительная компактность . . . . . . . . . .	234
51.2.	Компактность и замкнутость . . . . . . . . . .	236
51.3.	Пересечение компактных множеств . . . . . . .	237

51.4.Компактные множества

в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . 238 § 52. Непрерывность и компактность . . . . . . . . . . . . . 242

52.1. Сохранение компактности
при непрерывном отображении . . . . . . . . .	242

10