Лекции Соболева часть 3
.pdf8 |
|
|
|
Лекция 1 - 4 |
|
|
|
b |
b d |
|
|
|
|
V = ∫S(x)dx = ∫ ∫ |
f (x, y)dy dx . |
||
|
|
a |
a c |
|
|
|
Ранее было показано, что объем такого тела ра- |
||||
|
вен двойному интегралу от |
f (x, y) по области D, |
|||
|
таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
b d |
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dy dx . |
|
|||
|
D |
|
a c |
|
|
|
Аналогично: ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫d dy∫b |
f (x, y)dx . |
|||
|
|
D |
|
c a |
|
|
|
Запись двойного интеграла |
|
||
|
! |
|
|||
|
|
b d |
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dy dx называют |
|||
|
|
D |
a c |
|
|
повторным интегралом, при этом
∫cd f (x, y)dy - называют внутренним, а ∫ab{...}dx внешним интегралом. Рассмотрим произвольную область интегрирования.
ООбласть D в плоскости xOy называется правильной в направлении y или x , если каждая прямая, параллельная соответствующей координатной оси и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках.
y |
y |
D |
D
M
прав. неправ.
0 |
x |
0 |
x |
ТДвойной интеграл от непрерывной функции f (x, y) по правильной области D равен
двукратному интегралу от этой функции по области D .
Пусть D - правильная область в направлении Oy , ограниченная линиями: y =ϕ1(x) ,
y =ϕ2 (x) , x = a , x = b .
Тогда
|
b |
ϕ2 ( x) |
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ f (x, |
|
D |
a |
ϕ1 ( x) |
y
y = ϕ2 (x)
D
y = ϕ1 (x)
0 |
a |
b |
x |
y)dy dx .
Кратные интегралы |
9 |
Рассмотрение проводится аналогично предыдущему случаю; при этом площадь сечения вычисляется так:
|
|
|
|
ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S(x) = |
|
∫ f (x, y)dy , |
|||||
|
|
|
|
|
ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
||||
а объем всего тела: V = |
∫ |
S(x)dx = |
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f (x, y)dy dx . |
||||||
Таким образом, |
|
a |
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
b |
|
ϕ2 |
( x) |
|
|
f (x, y)dxdy = |
∫ |
|
∫ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f (x, y)dy dx . |
||||||
D |
|
|
|
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|||
Аналогично, если D - |
правильная область в направлении Ox , ограни- |
||||||||||
ченная линиями x =ψ1 ( y) , |
x =ψ2 ( y) , |
y = c, |
y = d , то объем тела равен |
|
d |
ψ2 ( y) |
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ |
|
D |
c |
ψ1 ( y) |
f (x, y)dx dy .
!1). Правило вычисления двойных интегралов. Для того чтобы вычис-
лить двойной интеграл по произвольной правильной области D , необходимо свести его к повторному (двукратному) интегралу и проинтегрировать функцию по одной из переменных в пределах, соответствующих произвольному, но неизменному значению другой переменной, а затем результат проинтегрировать в пределах ее полного изменения.
2). Представление двойного интеграла в виде двукратного зависит от вида области D .
3). Порядок интегрирования может быть изменен в соответствии с ра-
|
b |
ϕ2 ( x) |
d |
ψ2 ( y) |
венствами ∫∫ f (x, y) dxdy = ∫dx |
∫ |
f (x, y) dy = ∫dy |
∫ f (x, y) dx . |
|
D |
a |
ϕ1 ( x) |
c |
ψ1 ( y) |
4). Если область D неправильная, то ее разбивают на конечное число правильных областей Di и на основании свойств полагают, что двойной
интеграл по области D равен сумме двойных интегралов по областям Di .
5). Внешний интеграл всегда вычисляется в постоянных пределах.
6). Если пределы интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат не зависит от порядка интегрирования.
Пример:
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 1 - 4 |
||||
|
|
|
Вычислите |
|
∫∫xy 2 dxdy , |
если область |
D |
|
задана неравенствами: |
|
0 ≤ x ≤1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−2 ≤ y ≤ 3 . |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
y3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
27 +8 |
|
|
|
|
|
35 x 2 |
|
1 |
|
35 1 35 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
D |
xy |
|
|
dxdy = |
0 |
xdx |
−2 |
y dy = |
0 |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
x 2 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 y3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
35 35 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫∫xy |
|
|
dxdy = ∫y |
|
|
dy∫xdx = ∫y |
|
dy |
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫y |
|
dy = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример: |
|
D |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Вычислите ∫∫x 2 ydxdy , где D |
|
- треугольник с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|||
|
|
|
вершинами: O(0,0) , A(2,0) , B(2,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
|
Область D , |
ограниченная |
|
|
прямыми: |
|
|
y = 0 , |
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = |
x |
, x = 2 , |
является правильной. При фик- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
сированном x |
|
|
y |
изменяется от 0 до |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
x 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
y 2 |
|
x 2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
1 x5 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫∫x |
|
|
ydxdy = ∫x |
|
|
dx ∫ydy = ∫x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫x |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
8 |
|
8 5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∆OAB |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
∫1 dx ∫x f (x, y)dy .
0 x2
Решение:
Область интегрирования D ограничена прямой y = x и параболой y = x2 и является правильной как в отношении оси Ox, так и Oy с верхней границей y = x и нижней y = x2 . Всякая пря-
мая, параллельная оси Ox, пересекает границу области не более чем в двух точках, следовательно, можно вычислить интеграл, полагая внешние пределы интегрирования y = 0, y =1.
При этом пределы во внутреннем интеграле бу-
дут иметь вид: нижний предел x1 = y , верхний x2 = + y .
Таким образом: ∫1 dx ∫x |
|
y |
f (x,y)dy = ∫1 dy ∫ f (x,y)dx |
||
0 x2 |
0 |
y |
Кратные интегралы |
11 |
Пример:
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D – кольцо.
x2 + y 2 =1
D :
x2 + y 2 = 4
D – неправильная область.
Разобьем ее на четыре правильных области:
∫∫... = ∫∫... + ∫∫... +∫∫... + ∫∫....
D |
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
Границами правильных областей являются дуги соответствующих ок-
ружностей y = ± |
1− x2 , |
y = ± 4 − x2 |
|
и прямые x = ±1. |
|
|||||||||||
∫∫... = ∫∫... + ∫∫... +∫∫... + ∫∫... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D |
D1 |
|
D2 |
D3 |
D4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
4−x2 |
|
1 |
4−x2 |
2 |
|
4−x2 |
1 |
− 1−x2 |
|
|
|||||
= ∫dx |
∫ |
|
... dy + ∫dx |
∫ |
|
... dy + ∫dx |
|
∫ |
|
... dy + ∫dx |
|
∫ |
|
... dy. |
||
−2 |
− 4−x |
2 |
|
−1 |
1−x |
2 |
1 |
− |
4−x |
2 |
−1 |
− |
4−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами D : |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Решение: Полагаем f (x, y) ≡1 ;
∫∫ f (x, y)dS = ∫∫dS = ∫∫dxdy = ∫1 dx ∫x dy = ∫1 (y x2x )dx =
D |
|
D |
D |
0 |
x2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
= ∫1 |
( |
x − x2 )dx = ∫1 |
xdx − ∫1 |
x2dx = |
2 |
x23 |
|
1 |
|
|
1 |
x3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− |
|
|
= |
. |
||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.Замена переменных в двойном интеграле
Внекоторых случаях вычисление двойных интегралов значительно упрощается, если изменить область интегрирования, осуществив замену переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим ∫∫ f (x, y)dxdy . Если координаты x
D
и y являются функциями новых переменных u и
v |
D′ |
∆v
0 |
∆u |
u |
12 |
Лекция 1 - 4 |
x = x(u,v),
v : то каждой точке M (x, y) на плоскости xOy однозначно соот-
y = y(u,v),
ветствует точка M ′(u,v) на плоскости uOv , а числа u и v называются кри-
волинейными координатами точки M .
При этом область D отобразится в область |
y |
u |
u + ∆u D |
v + ∆v |
|||
|
|
P3 |
v |
||||
′ |
плоскости uOv , и каждому значению |
|
P4 |
|
|
||
|
|
||||||
D на |
|
|
|
|
P2 |
|
|
f (x, y) |
в области D соответствует то же значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
f (u,v) = f (x(u,v), y(u,v)) в области D′.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
Разбиение области D на прямоугольные пло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
щадки приводит к разбиению области |
|
D |
|
на |
|
|
|
|
|
|
P1(x1, y1 ) , |
P2 (x2 , y2 ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
криволинейные |
четырехугольники |
|
с |
|
вершинами |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P3 (x3 , y3 ) , P4 (x4 , y4 ) , |
где |
x1 = x(u,v) , |
|
|
x2 = x(u + ∆u,v) , |
x3 = x(u + ∆u,v + ∆v) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 = x(u,v + ∆v) , |
|
|
y1 = y(u,v) , |
|
|
|
y2 = y(u + ∆u,v) , |
|
|
|
|
|
y3 = y(u + ∆u,v + ∆v) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y4 = y(u,v + ∆v) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Заменяя приращения функций x(u,v) |
|
и y(u,v) соответствующими диф- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ференциалами по формуле |
f (u + ∆u,v + ∆v) ≈ f (u,v) + ∂f |
∆v + |
∂f ∆u , можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|||||||
считать, что |
|
|
x = x(u,v) , |
x |
|
= x(u,v) + |
|
∂x |
∆u , |
|
x |
= x(u,v) + |
∂x |
∆u + ∂x ∆v , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
∂v |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x = x(u,v) + |
∂x |
∆v , y = y(u,v) , y = y(x, y) + |
∂y |
∆u , y = y(u,v) + |
∂y |
∆u + ∂y ∆v , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂v |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
∂v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = y(u,v) + |
∂y |
∆v . Четырехугольник при этом можно рассматривать как па- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллелограмм. Его площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x4 |
|
x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
[P P × P P ] |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
y3 − y4 |
|
y3 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(x3 − x4 )( y3 − y2 ) −(x3 − x2 )( y3 − y4 ) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂x |
∆u + |
∂x |
∆v |
|
∂y |
|
|
∆v |
− |
∂x |
|
|
|
|
∂y |
∆u + |
∂y |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
∂v |
|
∂v |
|
|
∂v |
∆v |
∂u |
∂v |
∆v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
∆u∆v − |
|
|
|
= |
− |
∆u∆v |
|
|
= |
|
∂u ∂v |
∆u∆v |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂u ∂v |
∂v |
∂u |
∆u∆v |
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u ∂v |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y ∂y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кратные интегралы |
|
|
13 |
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
||
Определитель J = |
|
∂u |
∂v |
называется якобианом преобразования. |
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
∂u |
∂v |
|
Предельный переход при неограниченном возрастании числа разбиений области для соответствующих интегральных сумм приводит к формуле преобразования координат в двойном интеграле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x(u,v), y(u,v)) | J | dudv , где |
|
|
|
J = |
|
∂u |
|
∂v |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|||
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Вычислите ∫∫( y − x)dxdy , если область D |
|
зада- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
5 |
|
|
D′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
на уравнениями y = x +1 , |
y = x − 3 , |
|
y = − |
|
|
|
+ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x + 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = y − x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Сделаем замену переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
тогда область |
D′ |
будет зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = y + |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ваться прямыми: |
u =1, u = −3, v = |
7 |
|
|
, v = 5 . Для вычисления якобиана преоб- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
разования выразим x и y |
через u |
|
и v : |
|
x = − |
u + |
|
v , y = |
u + |
v . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
При |
этом |
|
|
J = |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
∫∫( y − x)dxdy = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
= − |
|
|
− |
|
|
= − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
16 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 3 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫∫ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
ududv = −8 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
u + |
|
|
v |
− − |
|
|
u + |
|
v |
|
|
|
|
dudv |
= |
|
|
|
ududv = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 3−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.4. Двойной интеграл в полярных координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Перейдем в полярную систему координат |
|
x = ρcosϕ , |
|
y = ρsinϕ и вы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числим якобиан перехода: Если u =ϕ , v = ρ , x = ρcosϕ , y = ρsinϕ , то |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
= |
|
cosϕ |
|
−ρsinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
J = |
|
|
∂ρ |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
= ρcos2 ϕ + ρsin2 ϕ = ρ , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
sinϕ |
|
ρcosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 Лекция 1 - 4
и
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρcosϕ, ρsinϕ) ρd ρdϕ
D D′
2.4.1.Дифференциальный элемент площади
вполярной системе координат
Разобьем область интегрирования на элементар- |
y |
D |
|
|
|
|
|
ϕi+1 |
||||||
|
|
|
|
|
ϕi |
|||||||||
ные ячейки |
∆Sij с помощью координатных линий: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ρ = ρj |
- |
окружности, |
ϕ =ϕi |
- |
лучи, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
ρj+1 |
|
∆ρj = ρj+1 − |
ρj |
, ∆ϕi =ϕi+1 −ϕi . Так |
как окружности |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ρj |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
x,ρ |
|||||||
ортогональны радиусам, то внутренние ячейки ∆Sij с |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точностью |
до бесконечно |
малых |
более высокого |
y |
|
|
|
|
|
|
∆Sij |
|||
порядка малости относительно их площади можно |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
рассматривать |
как прямоугольники |
со сторонами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Mij |
||||||||||||
ρj ∆ϕi |
и ∆ρj |
, поэтому ∆Sij ≈ (ρj ∆ϕi ) ∆ρj . Ячейками |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
неправильной формы пренебрегаем. Переходя к пре- |
0 |
|
|
|
|
|
|
x,ρ |
||||||
делу, получим, что двумерный элемент площади в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
полярных координатах равен dS = ρd ρdϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1). Интегрирование в полярной системе координат удобно использовать, когда область D ограничена дугами окружностей.
2). В полярных координатах внешний интеграл при сведении его к повторному может вычисляться по углам.
Пусть область интегрирования D определяется неравенствами: α ≤ϕ ≤ β , ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ) , где
ρ1(ϕ) и ρ2 (ϕ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [α, β].
|
ϕ = β |
ϕ |
|
|
D |
||
|
|
ϕ =α |
|
|
ρ1(ϕ) |
ρ2 (ϕ) |
|
0 |
ρ |
||
|
|
β |
ρ2 (ϕ) |
∫∫ f (ρ,ϕ)ρd ρdϕ =∫dϕ ∫ f (ρ,ϕ)ρd ρ . |
||
D |
α |
ρ1 (ϕ) |
3). В полярных координатах внешний интеграл может вычисляться и по полярному радиусу. Пусть область интегрирования D определяется не-
Кратные интегралы |
15 |
равенствами: R1 ≤ ρ ≤ R2 , |
ϕ1(ρ) ≤ϕ ≤ϕ2 (ρ) , где ϕ1(ρ) и ϕ2 (ρ) - одно- |
|
значные непрерывные функции на отрезке [R1, R2 ] . |
||
|
R2 |
ϕ2 ( ρ) |
∫∫ f (ρ,ϕ)ρd ρdϕ =∫ ρd ρ |
∫ f (ρ,ϕ)dϕ . |
|
D |
R1 |
ϕ1 ( ρ) |
Пример:
Записать в полярных координатах двойной интеграл по области D:
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
- кольцо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение: полярные координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ =1, |
|
ρ2 =1, ρ =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
аналогично ρ2 = 2 . |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Область интегрирования в полярных координа- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тах D — прямоугольник: 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ϕ ≤ 2π . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f ′(ρ,ϕ)ρd ρdϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
ρ=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= ∫ dϕ ∫ f ′(ρ,ϕ)ρ d ρ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример: |
|
|
0 |
ρ=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Вычислите ∫∫ |
dxdy |
|
, где D - первая четверть круга |
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
R =1 с центром в точке O (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 , D : 0 ≤ϕ ≤ π |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
, 0 ≤ ρ ≤1. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
ρd ρdϕ |
|
π 2 |
1 |
|
π |
|
π . |
|
|
||||
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
= ∫∫ |
=∫∫d ρdϕ = ∫ |
dϕ∫d ρ = |
1 = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
D |
|
|
x + y |
|
|
|
|
D |
ρ |
|
D |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Найти объем тела, если оно задается поверх-
z =1 − x2 − y2 ;
ностями: z = 0.
Решение:
Область интегрирования – проекция фигуры на плоскость xOy . Граница D: x2 + y 2 =1 - окружность.
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 1 - 4 |
|
Перейдем в полярную систему координат: D′: |
r |
=1 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
≤ ϕ ≤ |
2π |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
V = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫(1 − x2 |
− y 2 )dxdy = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫∫(1−r2 )rdrdϕ = |
2∫π dϕ∫1 |
(1−r2 )rdr = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D′ |
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
r2 |
|
r4 |
|
1 |
|
2π |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2π |
2π |
|
π |
|
|
|
|
|
= ∫dϕ( |
|
− |
|
) |
|
= ∫ dϕ( |
|
− |
|
) = |
|
ϕ |
0 = |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
4 |
4 |
4 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Поверхностный интеграл первого типа (рода)
Поверхностные интегралы первого типа – это обобщение двойных интегралов по области D . Рассмотрим фигуру, которая является поверхностью ∑ ; Φ → Σ. Интеграл по фигуре в данном случае является поверхностным
интегралом первого рода от функции f (P) = f (x, y, z) по поверхности ∑ :
∫∫ |
|
n |
|
rn →0 i=1 |
|
|
f (x, y, z)dσ =lim Σ f (Pi )∆σi |
|
∑ |
|
|
3.1. Вычисление поверхностных интегралов первого рода |
||
Вычислим ∫∫ f (x, y, z)dσ . Пусть |
f (x, y, z)≥ 0 , а поверхность Σ задана |
|
Σ |
|
|
уравнением z = f (x, y).
Лемма. Площадь проекции плоского участка одной плоскости P1 на другуюP2 равна площади самого участка, ум-
ноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями: Sпр = S cosϕ .
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = l a ; Sпр = a l |
|
cosϕ |
|
= S |
|
cosϕ |
|
(поскольку Sпр ≥ 0 , |
|
|
P1 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
косинус берется по модулю). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
||
Пусть требуется вычислить поверхностный инте- |
|
|
P2 |
||||||||||
a |
|
|
|
|
|||||||||
грал первого рода по поверхности Σ. Область D являет- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
ся проекцией поверхности Σ на плоскость xOy . Через |
|
|
|
|
|
||||||||
точку поверхности |
|
A(x, y, z ) проведем касательную плоскость. Ее уравне- |
|||||||||||
ние: z − z = ∂z (x − x )+ ∂z (y − y ). |
|
Выберем часть поверхности dσ и спроек- |
|||||||||||
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
тируем ее на касательную плоскость. Обозначим проекцию dσ. Будем считать dσ ~ dσ . Обозначим n - нормаль к касательной плоскости:
Кратные интегралы |
17 |
|||||
|
∂z |
, |
∂z |
|
. Поскольку k (0,0,1)- нормаль к xOy , то угол ϕ |
- угол между |
n |
,−1 |
|||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
касательной плоскостью и плоскостью Oxy равен углу между векторами n и
k .
Найдем связь между dS (проекцией dσ на плоскость xOy ) и dσ
|
|
|
|
|
(n,k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cosϕ = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = f (x,y) |
||||||||||||||||
|
n |
k |
|
|
1 + |
∂z |
|
2 |
+ |
|
|
∂z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cosϕ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в пределе при |
|
|
|
|
D |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
Γ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r → 0, |
|
|
dσ = dσ, |
|
dS = dσ |
|
cosϕ |
|
, |
dσ = |
|
|
|
dS |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dσ = dS |
|
|
|
|
∂z 2 |
|
∂z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫∫ |
f (x, y, z)dσ |
= |
∫∫ |
f |
( |
x, y, z (x, y) dS |
1 + |
|
∂z 2 |
+ |
|
∂z 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнением z = z (x, y).
Если поверхность задана уравнением y = y(x, z), то
∫∫ ( |
) |
∫∫ ( |
( ) ) |
( x ) |
2 |
|
( z ) |
2 |
|
|
||||
|
f x, y, z dσ = |
|
f x, y x, z , z |
y |
′ |
+ |
y |
′ |
+1 |
dS . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Σ |
|
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если x = x(y, z), то
∫∫ f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x(y, z), y, z) 1+ (x′y )2 + (x′z )2 dS ,
Σ Dyz
где Dxz , Dyz - проекции Σ на плоскости Oxz, Oyz .