Лекции Соболева часть 3
.pdf128 |
|
|
|
|
|
Лекции 15 - 16 |
e |
iϕ |
= cosϕ + isinϕ , cosϕ = |
eiϕ +e−iϕ |
, sinϕ = |
eiϕ −e−iϕ |
. |
|
2 |
2i |
||||
|
|
|
|
|
Обозначим πl = ω.
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
einωx + e−inωx |
|
|
|
|
einωx − e−inωx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
|
|
0 |
|
|
+ ∑ an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
0 |
∞ a |
n |
−ib |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
+ib |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
∞ |
|
a |
n |
−ib |
|
|
a |
n |
+ib |
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
n |
einωx + |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
e−inωx = |
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
n |
einωx + |
|
|
n |
e−inωx |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
f (x)= c0 + ∑(cneinωx +c−ne−inωx ), где введены обозначения: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c0 = |
|
a0 |
|
, cn = |
an −ibn |
, c−n |
|
= |
|
an + ibn |
= |
|
|
, n N . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим выражения для комплексных коэффициентов cn |
и c−n : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
−ib |
|
|
|
|
1 |
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
cn = |
|
|
|
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x) cos nωx dx −i |
|
|
∫ f (x)sin nωx dx |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
∫ f (x)[cos(−nωx) +i sin(−nωx)]dt |
= |
|
∫ f (x)e−inωx dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
+ib |
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично для c |
имеем c |
|
|
= |
|
|
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
f (x)einωx dx , где n =1,2,... |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2l −∫l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При n = 0 имеем c |
= |
a0 |
|
|
= |
1 |
|
l |
|
f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l −∫l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если считать номер n не натуральным, а целым числом, n = 0, |
±1, |
±2, ... , |
|
все формулы для вычисления коэффициентов ряда можно записать единооб-
разно: c = |
1 |
l |
f (x)e−inπl |
x dx , n = 0, ±1, ±2, ... , а сам ряд Фурье в виде |
|
|
|||||
n |
2l −∫l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ |
inπx |
|
|
|
|
f (x)= ∑cne l . |
n=−∞
Ряды Фурье |
129 |
Эта сумма называется рядом Фурье в комплексной форме, слагающие ее
функции |
|
c e |
inπ x |
|
- |
|
комплексными |
гармониками, |
коэффициенты |
||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn - комплексными амплитудами гармоник. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c0 = |
|
−∫π |
f (x)dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
−inx |
|
|
1 |
0 |
|
|
−inx |
|
π |
|
|
−inx |
|
|
|
|
||||
cn = |
|
|
|
∫ f |
(x)e |
|
|
dx = |
|
|
∫ |
f (x)e |
|
dx + ∫ f (x)e |
|
|
dx |
= |
|
|
|||||||||||
2π |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
0 |
|
−inx |
|
|
|
|
|
π |
−inx |
|
|
1 |
π |
|
−π |
|
−inx |
|
|
e−inπ |
+einπ |
−2 |
|
||||
= |
|
|
|
− ∫ e |
|
dx + |
∫e |
|
dx = |
|
∫ + |
∫ |
e |
|
dx |
= |
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
−2πni |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2π −π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1−cosπn |
|
0, |
n = 2m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
πni |
|
|
iπ |
(2m +1), n = 2m +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию
f (x) с периодом 2π, если на
[−π;π].
1, x [0,π];
f (x)= ( )
−1, x −π, 0 .
Решение:
Вычислим комплексные коэффициенты Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
= |
1 |
|
π |
f (x)dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2π −∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
−inx |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
−inx |
|
|
π |
|
|
−inx |
|
|
|
||||
|
|
cn = |
|
|
|
|
∫ |
f (x)e |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
∫ |
f (x)e |
|
dx + |
∫ f (x)e |
|
dx |
= |
|
||||||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
−inx |
π |
|
−inx |
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
−π |
−inx |
|
|
e−inπ +einπ −2 |
|
||||||||||||
= |
|
|
|
− ∫ e |
|
|
|
dx + ∫e |
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
∫ |
+ ∫ |
e |
|
dx = |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
−2πni |
|||||||||||||||||||||||||
|
2π −π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cosπn |
|
|
0, n = 2m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m Z. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
πni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ (2m +1), n = 2m + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 15 - 16 |
Выпишем разложение f (x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∞ |
|
e |
i(2m+1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ m=−∞ (2m +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
ix |
|
|
−ix |
|
|
|
e3ix |
−e−3ix |
|
|
|
e5ix −e−5ix |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
e |
|
−e |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
... |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
ix |
−e |
−ix |
|
|
|
e |
3ix |
−e |
−3ix |
|
|
e |
5ix |
−e |
−5ix |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
e |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+... |
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
2i |
|
|
|
|
3 2i |
|
|
|
|
|
5 2i |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
sin x |
|
|
sin 3x |
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
sin |
( |
2n +1 x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+... |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
π |
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π n=0 |
|
|
|
Как видно, по комплексной форме ряда Фурье легко восстанавливается его обычный вид (обычное разложение было получено ранее, стр. 74).
16.5. Интеграл Фурье
Функцию f (x), удовлетворяющую на отрезке [−l;l] условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье:
f (x)= a0 + ∑∞ (an cos kn x +bn sin kn x); 2 n=1
где |
an = |
1 l |
f (x)cos kn x dx , (n = 0,1, 2,...); |
|||||
|
|
l −∫l |
|
|
|
|
|
|
|
b |
= 1 l |
f (x)sin k |
n |
x dx , (n =1,2,...), |
|||
|
n |
l −∫l |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
и введено обозначение: kn |
= |
πn |
(так называемые волновые числа). |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Функция |
f (x) может быть периодической с периодом 2l или непе- |
риодической. В последнем случае предполагается, что с отрезка [−l;l]
на всю числовую ось функция продолжена периодически.
Рассмотрим случай, когда непериодическая функция задана на всей числовой оси (−∞;∞), на любом конечном отрезке [−l;l] удовлетворяет усло-
Ряды Фурье |
131 |
виям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой
|
∞ |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
оси, т.е. ∫ |
|
|
f |
|
|
dx = M < ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в ряд значения коэффициентов an |
и bn : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x)= |
−∫l |
f (t)dt + ∑n=1 |
1l −∫l |
f (t)(cos kn x cos knt +sin kn x sin knt)dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2l |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫ f (t)cos knt dt +1 |
∑∫ f (t) cos kn (x −t)dt . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
l |
n=1 −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Устремим l |
к бесконечности. Предел первого слагаемого |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
l |
f (t)dt |
|
≤ lim |
1 |
|
l |
f (t) |
|
|
dt ≤ lim |
1 ∞ |
|
|
f (t) |
|
dt = lim |
M |
= 0 . |
|||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2l −∫l |
2l −∫l |
|
|
2l −∞∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
l→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l→∞ |
|
|
|
|
|
l→∞ |
|
|
|
|
l→∞ |
2l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Преобразуем второе слагаемое (сумму): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
∞ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|||||
∑∫ f (t) cos kn |
(x −t)dt = |
∑F (kn ), где F (kn )= ∫ f (t) cos kn (x −t)dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
n=1 −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
n=1 |
|
|
|
|
|
−l |
|
|
(этот интеграл зависит и от x , но в данном случае нас интересует только зависимость от волновых чисел kn ).
Заметим, что волновые числа kn = πln образуют арифметическую про-
грессию с разностью ∆k |
n |
= |
π , причем ∆k |
n |
→0 . Это позволяет пре- |
|||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
l→∞ |
|
|||
образовать сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 ∑F (kn )π |
= 1 |
|
∑F |
(kn ) ∆kn ; |
||||||
1 ∑F (kn )= |
|
|||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
n=1 |
|
|
π n=1 |
π n=1 |
|
последнее представление позволяет рассматривать ряд как интегральную сумму:
|
1 |
∞ |
1 |
∞ |
|
nlim→∞ |
∑F (kn ) ∆kn = |
∫F (k )dk , |
|||
π |
π |
||||
|
|
n=1 |
|
0 |
или
132 |
|
|
|
|
|
|
Лекции 15 - 16 |
|
|
|
1 |
∞ |
|
1 |
∞ |
∞ |
|
f (x)= |
∫F (k )dk = |
∫dk ∫ f (t)cos k (x −t)dt . |
||||||
π |
π |
|||||||
|
0 |
0 |
−∞ |
|||||
|
|
|
|
|
Эта формула называется формулой Фурье, а интеграл, стоящий в правой части, – интегралом Фурье. Функция F (k ) называется
спектральной плотностью.
Это название связано со следующими обстоятельствами: для периодической функции f (x) с периодом 2l набор величин
D = |
a |
2 +b 2 |
показывает, |
в какой мере в разложении функции f (x) |
|||||
n |
n |
n |
|
|
cos nπ x , |
|
nπ x |
|
|
представлены |
различные |
гармоники |
sin |
и называется |
|||||
l |
|||||||||
спектром функции f (x). |
|
l |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Для периодической функции f (x) |
спектр - функция целочисленно- |
го аргумента, т.е. последовательность, величины отдельных членов которой показывает вклад соответствующих гармоник ( f (x) составляется
как сумма бесконечного, но счетного количества гармоник). Для непериодической функции f (x) в разложении ее на простейшие периодиче-
ские составляющие присутствует несчетное количество слагаемых (интеграл), величина F (k )∆k описывает вклад гармоник с волновыми чис-
лами из интервала (k − ∆2k ;k + ∆2k ).
Интеграл Фурье можно представить в виде, подобном ряду Фурье:
f (x) |
∞ |
(A(k )cos kx + B (k )sin kx)dk , |
||||||
= ∫ |
||||||||
где |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
||
A(k)= |
1 |
f (t)coskt dt, |
B(k)= |
1 |
||||
∫ |
∫ f (t)sin kt dt , |
|||||||
π |
π |
|||||||
|
−∞ |
|
|
−∞ |
||||
|
|
|
|
|
и введенные ранее амплитуды D (k )= A2 (k )+ B2 (k ).
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:
определение тригонометрического ряда и ряда Фурье данной периодической функции; достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье (условия Дирихле);
особенности разложений четных и нечетных функций; разложение в ряд Фурье функций произвольного периода;
Ряды Фурье |
133 |
представление непериодической функции рядом Фурье.