Пример 6.

Анализ предложенной задачи приводит к выводам, неоднократно обозначенным выше:

- данная конструкция является консольной балкой;

- определение опорных реакций в такой конструкции необязательно;

- построение эпюры моментов следует начинать со свободного конца;

- число характерных участков равно двум (см. стр.10).

Пронумеруем границы характерных участков. Расчет начнем с участка 1-2. Для этого вновь прибегнем к уже ставшему стандартным приему – мысленно установим в сечении, совпадающем с окончанием первого участка, жесткую заделку (рис.35,а). При этом эпюра на участке 1-2 является аналогом третьего частного случая (см. рис.24), ее характер и величина изгибающего момента правее точки 2 известны (рис.35,б).

На следующем стандартном шаге ликвидируем условную заделку правее сечения 2 и переставляем ее в сечение 3 (рис36,а). При этом в сечении 2 восстанавливаются ее кинематические характеристики. Далее рассмотрим участок 2-3. Приложим к нему сосредоточенный момент М=13,5, отложенный выше нейтральной оси в сечении правее т.2 (см. рис.36,б) и растягивающий, таким образом, верхние волокна. Также в сечение 2 переносим «скрытую» поперечную силу R, равную R = q×L= 3×3=9. Кроме того, на участке 2-3 (рис.34,б) в сечении 2 добавляем сосредоточенную силу Р = 7.

- 23 -

Упростим полученную систему нагрузок, действующих на участок 2 – 3, вычислив равнодействующую двух сосредоточенных сил R = 12 – 9= 3 ( рис.36,в).

R=q×L=3×3=9

Исходя из принципа независимости действия сил, вычислим величину изгибающего момента в сечении 3. Независимое действие сосредоточенного момента М=13,5 соответствует частному случаю 2 (рис.21), приводя к растяжению, как было отмечено выше, верхних волокон. Отложим ординату 13,5 выше нейтральной оси (рис.36,г); независимое действие сосредоточенной R=3 приводит к растяжению нижних волокон (по аналогии с частным случаем 1 на рис.18). А величина созданного ею момента в заделке 3 равна P×L= 3×4= 12. Отложим эту ординату ниже нейтральной оси. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 3 равна М₃=13,5-12=1,5. Этот момент растягивает верхние волокна. В пределах характерного участка 2-3 эпюра изгибающих моментов прямолинейна. Результат проведенного расчета на участке 2-3 – на рис.36,д. На рис. 36,е

изображена полная эпюра моментов для рассмотренного случая загружения консольной балки заданной системой нагрузок.

- 24 –

Пример 7.

Пронумеруем границы характерных участков. Расчет начнем с участка 1-2. Для этого вновь прибегнем к уже ставшему стандартным приему – мысленно установим в сечении, совпадающем с окончанием первого участка, жесткую заделку (рис.37,а). При этом эпюра на участке 1-2 является аналогом первого частного случая (см. рис.18), ее характер и величина изгибающего момента правее точки 2 известны (рис.37,б).

На следующем стандартном шаге ликвидируем условную заделку правее сечения 2 и переставим ее в сечение 3 (рис38,а). При этом в сечении 2 восстанавливаются ее кинематические характеристики. Далее рассмотрим участок 2-3. Приложим к нему сосредоточенный момент М=21, отложенный ниже нейтральной оси в сечении правее т.2 (см. рис.38,б) и растягивающий, таким образом, нижние волокна. Также в сечение 2 переносим сосредоточенную силу Р=7. Кроме того, на участке 2-3 (рис.38,б) добавляем равномерно-распределенную нагрузку интенсивностью q = 3.

- 25 -

Исходя из принципа независимости действия сил, вычислим величину изгибающего момента в сечении 3. Независимое действие сосредоточенного момента М=21 соответствует частному случаю 2 (рис.21), приводя к растяжению нижних волокон. Отложим ординату 21 ниже нейтральной оси (рис.38,в); независимое действие сосредоточенной Р=7 приводит к растяжению нижних волокон (по аналогии с частным случаем 1 на рис.18). А величина созданного ею момента в заделке 3 равна P×L= 7×4= 28. Отложим эту ординату ниже нейтральной оси. Воздействие равномерно-распределенной нагрузки на участок 2-3 приводит к возникновению изгибающего момента, растягивающего верхние волокна (по третьему частному случаю) и равного М=q×L²/2=3×4²/2=24. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 3 равна М₃=21+28-24=25. Этот момент растягивает нижние волокна. В пределах характерного участка 2-3 эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью вниз. Результат проведенного расчета на участке 2-3 (пока без построенной эпюры) – на рис.36,г.

На этом рисунке пунктиром показаны два варианта прохождения криволинейной эпюры М через точки с ординатами 25 и 21 – либо по пологой кривой, либо по кривой, имеющей точку экстремума. Для конкретизации характера поведения данной эпюры обратим свои взоры к еще одному важному разделу расчета стержневых систем, а именно, к процессу построения эпюры поперечных сил.

Как построить эпюру поперечных сил по имеющейся эпюре изгибающих моментов?

В основе данной процедуры лежит известное нам соотношение, вытекающее из теоремы Журавского, а именно:

Смысл этого соотношения в том, что поперечная сила Q является первой производной по моменту M. Напомним, что геометрический смысл первой производной – это тангенс угла наклона φ касательной t , проведенной в расчетной точке (рис.39).

• 26 –

Рис.39

В рамках предлагаемой процедуры следует различать два случая:

- эпюра изгибающих моментов – прямолинейна;

- эпюра изгибающих моментов криволинейна ( рассмотрим случай очертания эпюры по квадратной параболе).

Построение эпюры Q в случае прямолинейности эпюры М.

В этом случае, как это видно из рис.40, касательная, проведенная в любой точке произвольного фрагмента прямолинейной эпюры М, имеет одинаковый угол наклона относительно нейтральной оси. Что означает, по сути, постоянство поперечной силы Q на участке с прямолинейным очертанием эпюры М.

\

Используя это соображение, рассмотрим четыре «табличных» случая построения эпюры поперечных сил. Но, прежде всего, дадим правило знаков для поперечной силы, которая, как известно из курса сопротивления материалов, двузначна.

Поперечная сила положительна (имеет знак «+»), если совмещение нейтральной

оси с эпюрой моментов происходит по часовой стрелке, и наоборот.

- 27 -

а)

Эпюра М –прямоугольник с ординатой b. б) Эпюра М - прямоугольный треугольник.

t

в)

Построение эпюры Q в случае, если эпюра М очерчена по квадратной параболе.

Пусть эпюра моментов очерчена по квадратной параболе, длина этого участка L, интенсивность равномерно-распределенной нагрузки q, она действует в направлении «сверху-вниз», ординаты этого фрагмента по краям участка, соответственно, а и b (рис.41)..

q

Рис.41

Используя принцип суперпозиции (или же закон наложения), представим фигуру на рис.41 следующим образом:

- 28 –

Следует заметить, что эпюры, показанные на рис.42,б, соответствуют загружению однопролетной балки длиной L системой двух сосредоточенных моментов a и b, приложенных по ее краям, а также равномерно-распределенной нагрузкой q. Двум этим составляющим эпюрам поставим в соответствие эпюры Q, характер и значения которых нам известны (табличный случай «в» на стр.27, а также характерная эпюра в виде «бабочки», известная из курса сопромата).

А затем на основе принципа суперпозиции, сложив две эти эпюры, получим искомую эпюру Q на участке с криволинейным очертанием эпюры M.

Вернемся к рис.38,г примера 7 и попробуем построить эпюру поперечных сил на «спорном» участке. Знак «минус» для Q из односторонней трапеции – за счет совмещения нейтральной оси с эпюрой против часовой стрелки.

Изменение знака Q с «плюса» на «минус» указывает на наличие точки перегиба на участке 2-3 эпюры М , изображенной на рис.43 и построенной для примера 7. Поперечная сила на участке 1-2 построена в соответствии со случаем «а» на стр.27, знак поперечной силы – «минус» - определен совмещением нейтральной оси с эпюрой М против часовой стрелки.

- 29 –