Построение эпюр внутренних усилий в консольных рамах.

Что понимается под формулировкой «рама»?

Это – стержневая конструкция, в состав которой входят как т.н. «жесткие» ( рис.44,а), так и «шарнирные» узлы ( рис.44,б). При деформировании строительных конструкций жесткие узлы сохраняют свою первоначальную геометрию (чего нельзя сказать о узлах шарнирных), свободно перемещаясь на плоскости при отсутствии препятствующих этому связей.

Что такое «консольная рама»?

Это рама, имеющая в своем составе только жесткие узлы и прикрепленная к основанию с помощью жесткой заделки. При расчете рам к эпюрам изгибающих моментов М и поперечных сил Q добавляются эпюры продольных сил N.

Пример 8.

Следует сразу заметить, что в рамах границами характерных участков становятся также и узловые точки.

Анализ предложенной задачи приводит к выводам, неоднократно обозначенным выше:

- данная конструкция является консольной;

- определение опорных реакций в такой конструкции необязательно;

- построение эпюры моментов следует начинать со свободного конца;

- число характерных участков равно двум (см. стр.10).

Вновь пронумеруем границы характерных участков. Расчет начинаем с участка 1-2. Для этого вновь прибегнем к уже ставшему стандартным приему – мысленно установим в сечении, совпадающем с окончанием первого участка, жесткую заделку (рис.45,а). При этом участок 1-2, очевидно, находится под действием системы нагрузок

- 30 –

Исходя из принципа независимости действия сил, вычислим величину изгибающего момента в сечении правее точки 1. Независимое действие сосредоточенного момента М=5 соответствует частному случаю 2 (рис.21), приводя к растяжению нижних волокон. Отложим ординату ниже нейтральной оси (рис.45,б); независимое действие сосредоточенной силы Р=7 приводит к растяжению верхних волокон (по аналогии с частным случаем 1 на рис.18). А величина созданного ею момента в заделке 1 равна P×L= 7×2= 14. Отложим эту ординату выше нейтральной оси. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 1 равна М₁=14-5=9. Этот момент растягивает верхние волокна. В пределах характерного участка 1-2 эпюра изгибающих моментов прямолинейна. Результат проведенного расчета на участке 1-2 – на рис.45,в.

Рис.45

Для перехода на вертикальный участок 2-3 необходимо «уравновесить» узел 2, т.е. добиться, чтобы сумма моментов, как внутренних, так и приложенных снаружи внешних (если они есть), относительно оси узла 2 была бы равна нулю. Для этого «вырежем» узел 2 с помощью замкнутого сечения и приложим к нему известный момент в сечении правее точки 2, равный 9, растягивающий верхние волокна, что следует из рис.45,в, и вращающий узел по часовой стрелке. Искомый момент M_x в сечении ниже точки 2 в этом случае также равен 9, но вращает узел в противоположном направлении, т.е. против часовой стрелки (рис.46,а). Обратим внимание на тот факт, что полученный из равновесия узла 2 момент, равный 9, растягивает левые волокна на стойке 2-3.

- 31 –

На следующем стандартном шаге ликвидируем условную заделку правее сечения 2 и переставим ее в сечение 3 (рис46,б). При этом в сечении 2 восстанавливаются ее кинематические характеристики. Далее рассмотрим участок 2-3. Приложим к нему сосредоточенный момент М=9, полученный из равновесия узла и отложенный слева от нейтральной оси. Также к участку 2-3 прикладываем равномерно-распределенную нагрузку q=2 (рис.46,в).

Исходя из принципа независимости действия сил, вычислим величину изгибающего момента в сечении 3. Независимое действие сосредоточенного момента М=9 соответствует частному случаю 2 (рис.21), приводя к растяжению левых волокон. Отложим ординату 9 левее нейтральной оси (рис.46,в). Воздействие равномерно-распределенной нагрузки на участок 2-3 приводит к возникновению изгибающего момента, растягивающего правые волокна (по третьему частному случаю) и равного М=q×L²/2=2×4²/2=16. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 3 равна М₃=16-9=7. Этот момент растягивает правые волокна. В пределах характерного участка 2-3 эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью влево. Результат проведенного расчета на участке 2-3 – на рис.46,г.

На рис.47,а показана полная эпюра изгибающих моментов для рассматриваемого случая нагружения, а на рис.47,в – эпюра поперечных сил, построенная в соответствии с принципами, изложенными на стр. 27 и 28 (рис.47,б).

Как построить эпюру продольных сил N ?

Эпюра продольных сил строится по эпюре поперечных сил Q с помощью вырезания узлов. Для этого нам следует применить следующий алгоритм:

- вырезать узел при помощи замкнутого сечения с эпюры Q (начинать эту процедуру следует с двухстержневого узла), на рис.47,в это - узел 2;

- начертить вырезанный узел и приложить к стержням положительно направленные искомые продольные силы (в направлении «от узла»), известные поперечные силы (имея в виду, что положительные поперечные силы вращают узел по часовой стрелке и наоборот), а также узловые силы при их наличии (рис.48,а);

- 32 –

- используя известные уравнения статики (), определить величины и знаки искомых продольных сил. Эпюра продольных сил приведена на рис.48,б.

= -7.

Рис.48