Построение эпюр внутренних усилий в трехшарнирных рамах.

Что понимается под определением «трехшарнирная рама»?

Трехшарнирная рама – один из видов т.н. трехшарнирных стержневых систем, среди которых – уже упомянутые трехшарнирные рамы, трехшарнирные арки и фермы. Далее расчету будут подвергнуты два типа подобных рам: трехшарнирная рама «классического» очертания с опорами на одном уровне или сводящиеся к этому типу, а также трехшарнирная рама «с затяжкой».

Какова последовательность расчета классической рамы, изображенной на рис.53?

Рис.53

Начнем со структурного анализа новой конструкции. Она представляет собой три жестких диска- АС, СВ и «землю»- объединенные между собой тремя шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой. Подобная конструкция геометрически неизменяема.

- 36 -

Пусть трехшарнирная рама находится под действием произвольной системы сил q(x). Расстояние между опорами А и В принято называть пролетом рамы L, H – это высота рамы или же ее «подъем», V_A и V_B - ee вертикальные реакции, а H_A и H_B – реакции горизонтальные или «распор». Соединительный шарнир С называют «ключевым» или «ключом».

Приступим к определению опорных реакций. В первую очередь запишем выражение для ΣM_А=0 – «сумма моментов всех внешних и внутренних сил относительно шарнира А равна 0». Так как линии действия горизонтальных и левой вертикальной реакций проходят через точку А их моменты относительно нее равны 0. Поэтому из этого уравнения однозначно определяется правая вертикальная опорная реакция. Из аналогичного уравнения относительно точки В получим величину и направление левой вертикальной реакции. Для определения левой горизонтальной реакции применим такой расчетный прием: запишем выражение для суммы моментов всех внешних и внутренних сил (включая известную уже левую вертикальную реакцию), приложенных к левой, относительно ключевого шарнира С, части рамы, и приравняем ее 0. Аналогично поступим при определении правой горизонтальной реакции. Схема определения опорных реакций в классической трехшарнирной раме приведена ниже.

После определения опорных реакций строятся эпюры внутренних усилий.

Пример 9.

ΣM_A=0; 5×4+6+2×6×3-V_B×6=0; V_B=

- 37 –

Знак «+» указывает на правильность первоначального выбора направления опорной реакции V_B. Определим опорную реакцию V_A.

ΣM_B=0; 5×4 + 6 - 2×6×3 + V_A×6 = 0; V_A=

При записи «моментных» уравнений, типа приведенных только что выше, следует руководствоваться таким соображением: моменты, вращающие в разные стороны, должны иметь разные знаки. Что и было использовано при определении вертикальных реакций для данной трехшарнирной рамы.

Переходим к определению левой горизонтальной реакции. Для этого «рассечем» раму по соединительному шарниру С и рассмотрим равновесие ее левой части (рис.54,а). При определении правой горизонтальной реакции рассмотрим равновесие правой относительно ключевого шарнира С части рамы (рис.54,б).

Рис.54

Знак «минус» указывает на необходимость изменения направления полученной реакции, что и сделано на рис.54,а.

Далее, пронумеруем границы характерных участков, а по направлению опорных стержней рамы приложим найденные опорные реакции.

- 38 –

Следует запомнить, что отправными точками для построения эпюры М могут служить лишь те сечения, для которых одновременно известны величины и моментов и поперечных сил. Таким образом, «стартовать» по нашему желанию мы можем с точек А, В и 3. Наметим последовательность построения эпюры изгибающих моментов для данной рамы. Сначала рассмотрим участок 3-2, затем участок В-2, «вырежем» узел 2 и получим момент левее узла 2. После чего изменим «движение» по раме и последовательно рассмотрим участки А-1 и 1-С.

Участок 3-2 – это аналог второго частного случая (стр.21), растянутые волокна – верхние (рис.55,а). Участок В-2 – аналог первого частного случая (стр.18) – растянутые волокна справа от нейтральной оси (рис.55,б), а правая вертикальная реакция не влияет на изменение момента на этом участке. На рис.55,в показан вырезанный узел 2, результирующий момент М₂^ЛЕВ=16+6=22. Для равновесия узла он должен быть направлен против часовой стрелки, т.е. растягивать верхние волокна. Участок А-1 – аналог первого частного случая (стр.18), растянутые волокна – справа от нейтральной оси (рис.55,г), а левая вертикальная реакция в расчете не участвует.

= 0

Для перехода на горизонтальный участок 1-С, т.е. для вычисления момента правее узла 1, вырежем и уравновесим этот узел. Искомый момент М₁^ПРАВ=4 и растягивает нижние волокна, что видно из рис.55,д. Перейдем на участок 1-С, установив мысленно жесткую заделку левее шарнира С. При расчете этого участка необходимо учесть влияние левой вертикальной реакции и разместить ее в точке 1. Используя принцип независимости действия сил, вычислим изгибающий момент левее точки С. Он, как и ожидалось, равен 0 (рис.55,е). Для выяснения характера криволинейной эпюры моментов на участке 1-2, предварительно построим здесь эпюру поперечных сил Q (рис.56).

- 39 -

6+4,33=10,33

Из анализа рис.56 становится очевидным наличие экстремума на участке с криволинейным очертанием эпюры М ( 1-2) в сечении, где происходит изменение знака поперечной силы. На рис.57 показаны полные эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q в рассчитываемой раме, а на рис.58 – алгоритм построения эпюры продольных сил N.

Рис.57

Вырежем последовательно с эпюры Q узлы 1 и 2.

- 40 –

Каковы особенности расчета трехшарнирной рамы с затяжкой ?

Рассмотрим это на конкретной задаче.