- •Статистика
- •II. Содержание дисциплины
- •III. Краткие сведения из теории
- •3.1. Предмет и методы статистики
- •3.2. Статистическое наблюдение
- •3.3. Статистическая сводка и группировка.
- •4.4. Абсолютные статистические величины
- •4.5. Средние величины
- •Средняя арифметическая.
- •Средняя гармоническая
- •Средняя геометрическая
- •Структурные средние
- •4.6. Изучение вариации признака в совокупности
- •Правило сложения дисперсий
- •4.6. Выборочное наблюдение
- •4.6. Статистическое изучение рядов динамики
- •4.7. Индексные метод в статистике
- •1) Физического объема:
- •2) Цен:
- •4.8. Статистическое изучение взаимосвязей
- •Количественные критерии оценки тесноты связи
- •Оценка линейного коэффициента корреляции
- •III. Задание к контрольной работе Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4.
- •V. Материалы для практических занятий
- •5.1. Стаистическое наблюдение
- •5.2. Сводка и группировка статистических данных.
- •5.3. Статистические показатели
- •5.4. Распределение признака в совокупности
- •5.5. Выборочные наблюдения.
- •5.6. Ряды динамики
- •5.6. Индексы
- •Статистическое изучение взаимосвязей.
- •VI. Рекомендуемая литература.
- •Итоги деятельности предприятий промышленности региона за год
- •Исходный данные для решения задачи 3
Средняя гармоническая
Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака и их частоты.
Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантамсовокупности, а представлена как их произведение, применяется формуласредней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим, откуда. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся Даннымиможно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместоподставим, вместо- отношениеи получим формулусредней гармонической взвешенной.
. (5.9)
Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужна определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.
Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.
Таблица 5.5
Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 1996 г.
Номер магазина |
Цена картофеля, руб/кг, |
Выручка от реализации, млн. руб., |
Частота (количество реализованных едениц), кг, |
1-й 2-й 3-й |
800 1000 900 |
24 15 18 |
30000 15000 20000 |
Итого |
- |
57 |
65000 |
Расчет средней цены выражается соотношением:
.
В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:
, (5.10)
где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;- число вариантов.
Средняя геометрическая
Применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня степенииз произведений отдельных значений - вариантов признака:
,
где - число вариантов;П- знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Структурные средние
Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода- значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду - вариант, имеющий наибольшую частоту.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами модавычисляется по формуле:
, (5.16)
где - нижняя граница модального интервала;- модальный интервал;,,- частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).
Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.
Медиана- это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.
Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих, тыс. руб. в месяц (в 1996 г.):
630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.
Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:
,
где - число членов ряда.
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака . Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значениемедианывычисляется линейной интерполяцией по формуле:
, (5.17)
где - нижняя граница медианного интервала;- медианный интервал;- половина от общего числа наблюдений;- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала,- число наблюдений в медианном интервале.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.