Незначительно уступают ей двоичная и четверичная. Системы с основанием 10 и более существенно менее эффективны. Сравнивая эти системы с точки зрения удобства физической реализации соответствующих им логических элементов и простоты выполнения в них арифметических и логических действий, предпочтение в настоящее время отдаётся двоичной системе счисления. Действительно, логические элементы, соответствующие этой системе, должны иметь всего два устойчивых состояния. Задача различения сигналов сводится в этом случае к задаче обнаружения (есть импульс или его нет), что значительно проще. Арифметические и логические действия также легче осуществляются в двоичной системе.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим задачу перевода числа из одной системы счисления в другую в общем случае. Пусть известна запись числа в системе счисления с основанием :

n

Ap

an p

n

an1 p

n1

... a1

p

1

a0

p

0

a 1 p

1

... am p

m

ak p

k

,

k m

где — цифры -ичной системы (

).

Требуется найти запись этого же числа

в системе счисления с основанием

:

n

Ad

bn d

n

bn1 d

n1

... b1

d

1

b0

d

0

b 1 d

1

... bm d

m

bk d

k

,

k m

(9)

(10)

где — искомые цифры -ичной системы ( ). При этом можно ограничиться случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нужного знака.

При переводе чисел из -ичной системы счисления в -ичную ( ) нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, т.е. в какой системе счисления ( - ичной или -ичной) должны быть выполнены все необходимые для перевода действия.

Пусть перевод должен осуществляться средствами -ичной арифметики. В этом случае перевод произвольного числа , заданного в системе счисления с основанием , в систему счисления с основанием выполняется по правилу замещения, предусматривающему вычисление полинома (9) в новой системе счисления. То есть для получения -ичного изображения выражения (9) необходимо все цифры и число заменить -ичными изображениями и выполнить арифметические операции в -ичной системе счисления.

Правило замещения чаще всего используется для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную. Правило перевода для этого случая можно конкретизировать.

	Перевод в десятичную систему числа	, записанного в -ичной системе счисления в виде
(	) сводится	к вычислению значения многочлена
		средствами десятичной арифметики.

При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах, причём под точностью понимается значение единицы самого младшего (правого) разряда, используемого в записи числа в той или иной системе счисления.

50

Пусть теперь перевод должен осуществляться средствами -ичной арифметики. В этом случае для перевода любого числа используют правило деления — для перевода целой части числа, и правило умножения — для перевода его дробной части.

Перевод целых чисел. Выражения (9) и (10) для целых чисел будут иметь следующий вид со-

ответственно:
				,
				,	(11)
где	— цифры	-ичной системы (	) и	— искомые цифры	-ичной системы
(	).
	Так как	, то можно записать:
				,	(12)

где — искомые цифры в d-ичной системе счисления.

Для определения

разделим обе части равенства (12) на число , причём в левой части

произведём деление, пользуясь правилами

-ичной арифметики (так как запись числа

в -ичной

системе счисления известна). Выделим в частном [

] целую и дробную части:

[

]

[

]

[

]

,

где [

] — целая часть частного — неполное частное; [

]

[

] — дробная часть частного,

остаток — остаток от деления на .

Правую часть перепишем в виде:

[

]

.

(13)

Учитывая, что , приравняем между собой полученные целые и дробные части равенства (13):

[		]									,
[								]			.
Таким образом, младший коэффициент							в разложении (11) определяется соотношением:
[									]		,
т.е. является остатком от деления на . Положим:
[				]							.

51

Тогда будет целым числом и к нему можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициента и т.д.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока неполное частное не станет равным нулю:

[		]	.
Поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием				, то в этой же си-
стеме будут получены искомые коэффициенты			(поэтому их необходимо записать	-ичной цифрой.

Правило деления чаще всего используется для преобразования целых чисел из десятичной в любую другую систему счисления.

Таким образом,	правило перевода целых чисел из -ичной системы счисления в		-ичную
средствами -ичной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.
Для перевода целого числа		из -ичной системы счисления в систему счисления с основа-
нием необходимо	разделить с остатком («нацело») на число , записанное в той же		-ичной

системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением

числа	в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображённых								-
ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.
	Перевод правильных дробей. Выражения (9) и (10) для правильной дроби будут иметь сле-
дующий вид соответственно:
							,
							,
где	— цифры -ичной	системы	(	)	и	— искомые цифры -ичной		системы
(	).
	При этом:
							,	(14)
	Для определения	умножим обе части равенства (14)					на число , причём в левой части
произведём умножение, пользуясь правилами				-ичной арифметики (так как запись числа				в	-
ичной системе счисления известна). Выделим в произведении [							] целую и дробную части:
		[	] [	]	[	]	,
где [	] — целая часть произведения; [			] — дробная часть произведения.
	Правую часть перепишем в виде:
	[	]					,	(15)
	Учитывая, что	, приравняем между собой полученные целые и дробные части ра-

венства (15):

52

		[	]	,
	[	]		.
Таким образом, младший коэффициент				в разложении (14) определяется соотношением:
			[	] .
Положим:
	[	]		.
Тогда	будет правильной дробью и к нему можно применить ту же самую процедуру для
определения следующего коэффициента			и т.д.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной

нулю:

[ ] ,

или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

При переводе приближённых дробей из одной системы счисления в другую необходимо придерживаться следующего правила.

Если единица младшего разряда числа	, заданного в -ичной системе счисления, есть			,
то в его -ичной записи следует сохранить разрядов после запятой, где удовлетворяет условию:
		( ),
округляя последнюю оставляемую цифру обычным способом.
Поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием			, то в этой же си-
стеме будут получены искомые коэффициенты	, поэтому их необходимо записать		-ичной цифрой.

Правило умножения чаще всего используется для преобразования правильных дробей из десятичной в любую другую систему счисления.

Таким образом, правило перевода правильных дробей из -ичной системы счисления в - ичную средствами -ичной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.

Для перевода правильной дроби		из -ичной системы счисления в систему счисления с ос-
нованием необходимо	умножить на	, записанное в той же -ичной системе, затем дробную

часть полученного произведения снова умножить на и т.д. до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа в -ичной системе. Представлением дробной части числа в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их полу-

чения и изображённых -ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа			составляет
(		)
знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется			.
53