bekbaev_energetikadagy_umk_kz_2012

Үзілісті сызықсыз сипаттамасы төменде келтірілген төрт сипаттамалардың əртүрлі комбинациясына келтіруге болады:

1.6 - сурет. Сезімсіздік аймағы бар релелік сипаттама

1.7 – сурет. «Люфт» сипаттама типі

1.8- сурет. Екі позициялы сезімсіздік аймағы бар релелік сипаттама

1.9- сурет. Сезімсіздік аймақтары бар үш позициялы релелік сипаттама

сезімсіздік (1.3 сурет):

	y = 0			õ	< à;áî ëãàí äà ü
	ó = k (x-a	)				ï	(1.2)
			õ > à; áî ëãàí äà
						ý
	ó = k (x-a	)	õ < -à; áî ëãàí äà			ï
						þ

шектелген (1.4 сурет):

11

	y = kx		õ	< b/k; áî ëãàí äà ü
					ï	(1.3)
	y = b	õ > b/k; áî ëãàí äà
					ý
	y = -b		x < -b/k;áî ëãàí äà		ï
					þ

Тамаша релелiк сипаттама (1.5 сурет):

y = b	õ > 0; áî ëãàí äà ü	(1.4)
	ý
y = -b x < 0; áî ëãàí äà þ

Сезімсіздік аймағы бар релелік сипаттама (1.6 сурет):

	y = 0	õ	< à;áî ëãàí äà ü
				ï	(1.5)
	ó = b	õ > à; áî ëãàí äà
				ý
	ó = -b õ < -à;áî ëãàí äà			ï
				þ

Бірмағынасыз емес сызықты емес статикалық мiнездемелер. Кең таралғанды бiр үлгiдегi жарылатын мiнездемелер төменде келтiрiлген:

люфт (1.7 сурет):

y = k (x-a )

dx / dt > 0; áî ëãàí äà

ü

ó = k (x + a )

dx / dt < 0; áî ëãàí äà

ï

(1.6)

ý

dy / dx = 0

y/k

-

x

< a; áî ëãàí äà

ï

þ

екіпозициялы

сезімсіздік

аймағы

бар

релелік

сипаттама

(1.8 сурет):

y = b áî ëãàí äà õ > à; ü

> 0;

ü

y = -b

áî ëãàí äà õ <

ý åãåð dx/dt

ï

à;þ

ï

(1.7)

y = b áî ëãàí äà õ > -à; ü

ý

åãåð dx/dt < 0;

ï

ý

y = -b

áî ëãàí äà õ < -à;þ

ï

þ

сезімсіздік аймақтары бар үшпозициялы релелік сипаттама (1.9 сурет):

y = b x > a2 ;áî ëãàí äà

ü

ü

y = -b

õ < -à1; áî ëãàí äà

ï

ï

ý

åãåð dx/dt > 0;ï

y = 0

-a1 < õ < à2 , áî ëãàí äà

ï

ï

þ

ï

(1.8)

y = b x > a1; áî ëãàí äà

ü

ý

ï

y = -b õ < -à1; áî ëãàí äà

ï

åãåð dx/dt < 0.ï

ý

y = 0

-à

< õ

< à , áî ëãàí äà

ï

ï

2

ï

1

þ

þ

12

Негізгі əдебиеттер: 4 [599-610]. Қосымша əдебиеттер: 1 [365-414]. Бақылау сұрақтары:

1.Сызықты емес жүйелер жəне элементтер?

2.Релелік түрдің буыны?

3.Үзiктi-сызықты сипаттамасының буыны.

4.Сызықты емес жүйенің сыныбы.

5.Бірмағынасыз бейсызықтылықтың пара-пар схемасы

6.Сызықты емес жүйелердiң сыныбы.

7.Қандай автоматты реттеу жүйелерi сызықты емес деп аталады?

8.Сiзге сызықты емес элементтерiнiң қандай түрлерi белгiлi?

Дəрістің тақырыбы 2. Қатарластыру жолымен сызықты емес

сипаттамаларды сызықтау

Дəріс конспектісі. Сызықты емес жүйелерді зерттеудің белгілі əдістері іс жүзінде тек жоғары дəрежелі емес сызықты емес дифференциал теңдеулермен өрнектелетін жүйелерге бағытталған, сондықтан инженерлік есептеулерде оны

тікелей пайдалану көптеген қиындықтар	туғызады. Инженерлік практикада
кіріс жəне шығыс айнымалылары арасындағы сызықты емес		тəуелділікті оған
жуықтатылған сызықты тəуелділікпен	алмастыру жиі	қолданылады. Бұл

əдіспен сызықтатуды жүргізген кезде жүйедегі сызықты емес буынның сипаттамаларын міндетті түрде еске алып отырған жөн, яғни сызықталынған элементтер үшін суперпозиция принципі орындалмауы керек.

Сызықты емес сипаттамаларды сызықтауды қатарластырубұл əдіс бойынша сызықты емес сипаттаманы Тейлор қатарына түзеді де, оның алғашқы

екі мүшелерін	ғана	алып, y = f ( x) сипаттамасын		оған жуық	келетін сызықты
тəуелділікпен	алмастырады.		Сызықты	емес y = f ( x)	сипаттамасы
дифференцияланады		жəне x(t)	кіріс сигналы	шамасының	өзінің	əлдебірx
						0
орташа мəнінен айырмашылығы аса емес				делік, олай болса y(t)		өрнегін
жуықтатылған
		y = f (x0 )+ f ' (x0 )(x - x0 ),				(2.1)
түрінде көрсетуге болады. Сызықты емес y = f ( x)				тəуелділігін (2.1) сызықты
өрнекпен алмастыру, геометриялық тұрғыдан қарастырғанда y = f ( x)						қисығын
оның x0 нүктесінде жүргізілген жанамамен алмастырумен бірдей.
АРЖ-ға	берілетін сыртқы		қосымша қоздыру əсерлерін, математикалық
			o

күтуі mx жəне центрленген кездейсоқ бөлігі x(t)	болатын станционар кездейсоқ
x(t) фукциясы түрінде қарастыруға болады:
0	(2.2)
x(t )= mx + x(t )
	o

Бұл жағдайда сызықты емес сипаттаманы сызықтаудыx(t) центрленген кездейсоқ кіріс сигналына сəйкес жүргізу ыңғайлы, яғни (2.1) теңдеудегі x0

13

мəнін жіктеу центрі ретінде x(t) кіріс сигналының mx математикалық күтуін алады. Нəтижесінде өрнегі алынады.

	0	)	(2.3)
y(t )» f (mx )+ f ' (mx )x t(
Сонымен, жуықтатылған (2.3)	тəуелділік тек		o
			кіріс сигналдыңx(t)
кездейсоқ құрамына ғана сəйкес	сызықты	жəmне	математикалық күтуге
		x

сəйкес сызықты емес болады. Осы себептен бұл жерде суперпозиция принципі қолданылмайды.

Негізгі əдебиеттер: 4 [600-620]. Қосымша əдебиеттер: 1 [365-414]. Бақылау сұрақтары:

1.Припасовывания əдiсімен есептiң шешiмiн табу.

2.Табылған автотербелiстердiң амплитудасы қалай анықталады?

Дəрістің тақырыбы 3. Сызықты емес сипаттамаларын сызықтау.

Гармониялық сызықтау əдiсі

Дəріс конспектісі. Көп жағдайда сызықты емес буынның кірісіне гармоникалық тербелістер берілетін есепті қарастыруға тура келеді

				x(t) = Asinwt = Asiny ;			y = wt	(3.1)
Бұл	кезде	сызықты		емес буынның шығыс сигналы гармоникалық емес
периодты	болады.		Мысал	ретінде 3.1-суретте кірісіне гармоникалық				сигнал
берілгендегі		əр	түрлі		сызықты	емес	сипаттамасы	бар	буында
шығысындағы y(t)			сигналдар графиктері келтірілген:

	у		У(t)
	в			p	2p	в	y =w×t
						в
-в	в	x
	у		У(t)
a	a	в				в	y =w×t
в	в		p		2p
		в				в
-в
		x
			arctg a
	у		У(t)		A
a	a	в	p	2p		в	y =w×t
в		в
						в
-в		x

	a)	arctg	a		б)
			A

3.1-сурет. Сипаттамасы (а) сызықты емес буынның шығысындағы сигнал (б)

14

Гармоникалық сызықтау идеясы у(t) шығыс периодты сигналды Фурье қатарына түзіп, əрі қарай зерттеуде сол қатардың тек алғашқы бір мүшесін ғана қарастырумен шектеледі. Олай болғанда сызықты емес y = f ( x ) = f ( A sin y ) тəуелділігі оған жуықтатылған мəнімен алмастырылады.

y = a0 + a sinw ×t + b cosw ×t = a0 + q1 x + q2						x	(3.2)
мұндағы						w
a		=	1		2p f (Asiny )dy ;		(3.3)
0			2p		ò0
		1		2p			(3.4)
q1 =				ò f (Asiny )sinydy ;
		pA
		0
	1		2p				(3.5)
q2 =			ò f (Asiny )cosydy ;
	pA
		0
q1 мен q2 коэффициенттерін сызықты емес буынның							гармоникалық

күшейту коэффициенттері немесе эквивалентті күшейту коэффициенттері деп атайды.

Олардың мəндері кірістегі х сигналының амплитудасына	тəуелді, яғни
айнымалы х кіріс сигналының əр түрліА амплитудалары үшін	бұл тұрақты
коэффициенттердің мəндері де əр түрлі болады: q1 = q1 ( A) ; q2 = q2 ( A) .
Типті бейсызықты сипаттамалар үшін3.1-кестеде q1 (A)	жəне q2 ( A)

коэффициенттерін есептейтін формулалар келтірілген. Тақ сипаттамалары үшін а0 = 0 , бірмағыналы сипаттамалар үшін q2 ( A) = 0 .

Əрi тақ сызықты емес сипаттамалар қарастырылады (2.1 ) өрнекті

	y(t) = cAsin( wt +q ),						(3.6)
мұндағы
		+ q 2					(3.7)
c = q 2			;	0 = arctg(q	2	/ q ).
1		2				1

Көп жағдайда x кіріс сигналын комплексті түрде қарастырған ыңғайлы:

		x(t) = Ae jwt ,		(3.8)
олай болса	шығыс сигналдың бірінші		гармоникасын	түрінде кескіндеуге
болады.
		y(t) = cAe j (wt +q ) .		(3.9)
Сызықты	емес	буынның	комплекстік	гармоникалық	күше
коэффициенті деген ұғым енгізейік

15

WH (A) = ce jq ,			(3.10)
онда	y(t) = WH ( A)x(t).		(3.11)
(3.11) өрнектерді пайдалана отыра WH ( A) үшін формуласын алуға болады.
	WH ( A) = q1 (A) + jq2 ( A).		(3.12)
Сонымен, алынған	теңдеуінен WH ( A)	коэффициентінің	кірістегі

тербелістің жиілігіне тəуелсіз екендігін көреміз. Ол тек қана бұл тербелістің А амплитудасына тəуелді, міне сызықты емес инерциясыз буынның сызықты инерциялы буыннан айырмашылығы да осында.

3.1- кесте

Типтік сызықты емес сипаттамалардың гармоникалық сызықтау коэффициенттері

Статикалық сипаттама

q1 ( A)

q2 ( A)

Сезімсіздік

2k

æ

a

a

ö

a 2

(1.3 - сурет)

k -

çarcsin

+

1

-

÷

0

p

A

A2

ç

A

÷

è

ø

болғанда

A

>

a

Шектеулік

2k

æ

b

b

ö

b 2

(1.4-сурет)

çarcsin

+

1 -

÷

0

p

kA

kA

k

2 A2

ç

÷

è

ø

болғанда

A

>

b

k

Идеал

4b

(1.6-сурет)

0

pA

Сезімсіздік

аймағы

бар

4b

1 -

a

2

болғанда

A

>

a

релелі (1.6 - сурет)

0

pA

A

2

Люфт (1.7 - сурет)

é

ù

4ka

æ

a ö

k

p

æ

2a ö

æ

2a

ö

a æ

a ö

-

ç1 -

÷

ê

+ arcsinç1

-

÷

+ 2ç1

-

÷

´

ç1

-

÷ú

pA

è

A ø

p ê 2

è

A ø

è

A ø

A è

A øú

болғанда

ë

болғанда

А

>

a2

û

A

>

a

Сезімсіздік

аймағы

бар

- 4ab

4b

1 -

a2

болғанда

A

>

a

екі

позициялы

релелі

pA2

pA

A2

(1.8-сурет)

болғанда

A

>

a

Сезімсіздік аймағы бар

é

ù

æ

a1

ö

2

2

2b

a

2

a

2a2b

ç

÷

үш позициялы релелі

ê

1 -

+

1 -

1

ú

-

2

ç1

-

÷

(1.9-сурет)

pA ê

A2

A2

ú

pA

è

a2 ø

ë

û

болғанда

болғанда

A

>

a2

A

>

a2

16

Негізгі əдебиеттер: 4 [702-712].

Қосымша əдебиеттер: 1 [301-322]; 2 [285-360].

Бақылау сұрақтар:

1.Гармоникалық сызықтау əдісінің мəні неде ?

2.Гармониялық сызықтау əдiсін қолдануының шектеулерi қандай?

3.Не жақын берiлiс функциямен жəне сызықты емес элементтiң баламалы кешендi күшейту коэффициентi деп аталады?

4.Не сызықтық бөлiктiң кешендi күшейту коэффициентi деп аталады?

Дəрістің	тақырыбы 4.	Статистикалық сызықтаудың сызықты емес
сипаттамасын сызықтандыру
Дəріс конспектісі.		Сызықты	тəуелдiлiктердiң баламалы ықтимал
мағыналардағы	сызықты	емес	сипаттамасын	жақын	алмастыру	əд
статистикалық сызықтау əдiсі деп аталады. Мұндай сызықтаулар нəтижесінде
y = f (x) сызықты емес тəуелдiлiгі жақындатылғанмен ауыстырылады.
			o		(4.1)
		y(t) » k0 mx + k1 x(t),
мұнда mx = const - сызықты емес элементтiң тұрақты кездейсоқ кiру сигналының
математикалық	күтiмi; x(t) - x(t) -кіріс		сигналының	центрленген	кездейсоқ

бөлігі.

Шығыстағы кездейсоқ стационар функцияны төмендегі түрдегідей жорамалдайды

y(t) = my + y(t),	(4.2)
o
мұндағы my - y(t) – ның математикалық күтуі; y(t) - y(t) – ның	центрленген
кездейсоқ бөлігі.
Коэффициент	(4.3)
k0 = my / mx

буынның математикалық күтуі арқылы алынған статистикалық күшейту

коэффициенті деп аталады.
Коэффициент
	k1 = ±s y /s x ,		(4.4)
сызықты емес буынның центрленген кездейсоқ бөлігі			арқылы	алынған
статистикалық күшейту коэффициенті деп аталынады, мұндағы s y2			жəне s x2 –
y(t) мен x(t)	функцияларының дисперсиялары(шашыраулары).
АРЖ -	да сызықты емес	буындардың сызықты буындармен		бірге
болатынын жəне олар үшін кездейсоқ сигналдардың түрлендіру заңдарының
бұл сигналдардың дисперсиясымен емес, корреляциялық функциясымен
анықталатындығын еске ала отырып,		статистикалық сызықтауды қолданғанда,

17

шығыс

сигнал

корреляциялық

функциясын

шындық

мəнге

жақындат

мақсатында, оның дисперсиясында біраздаған қателіктерді арнайы жіберуге

болады. Бұл жағдайда k1

– ді мына өрнек арқылы есептеген дұрыс:

o

k1 = M [ y х] / s x2

(4.5)

мұндағы

M - математикалық күтудің символы.

Егер j(x) - x(t) – ның

ықтималдылық

үлестірімді

тығыздығының

бір

өлшемді функциясы болса, онда:

¥

(4.6)

my = òf(x) f (x)dx;

-¥

k (1)

= ±

1

{f 2 (x)f(x)dx - m2}0.5

;

(4.7)

1

s x

y

k (2)

=

1

¥

(x - m ) f (x)f(x)dx;

(4.8)

s 2

ò

1

x

x

-¥

мұндағы k1

коэффициентіндегі (1) мен (2) деген белгілер, ол коэффициенттің

(4.4) жəне (4.5) формулалары

арқылы

бірінші

жəне

екінші

əдіспен

есептелгендігін білдіреді.

Бірінші жəне екінші

əдістері

бойынша k1

коэффициентін

есептегенде

шығыстағы сигналдың корреляциялық функциясында қарама– қарсы таңбалы

бір бағытты қателіктер пайда болады, сол себептен

k1

үшін:

k1 = [k1(1)

+ k1(2) ]/ 2.

(4.9)

Бiрлескен гармониялық жəне статистикалық сызықтау. Сызықты

емес буынның z(t)

кіріс сигналын жиі синусоида сигналының сумасы жəне

x(t) функциясының кездейсоқ суммасы ретінде қарайды:

o

(4.10)

z(t) = Asin wt + x(t) = Asin wt +m x + х(t).

Осы

жағдайда

бiрлескен

гармониялық

жəне

статисти

сызықтауларды, яғни

y(t) = f [z(t)] сызықты емес буын сипаттамасы

o

(4.11)

y(t) » f0 +h1 A cos wt +h2 A cos wt +h х(t),

жақындатқан кездейсоқ құрайтын кiріс сигнал ортаға келтiрiлген синусоида туралы сызықты қолданады.

Тақ сипаттама барысында y = f ( z)

18

			f0 = h0mx .				(4.12)
h0 ,h1,h2 жəне h			мəндерін пайдалы сигналдың			сызықты емес буынмен
берiлуiн дұрыс есепке алу шарттарымен, бiрiншi гармоника жəне кiретiн
сигналдың флюктуациясының деңгейiмен анықтауға болады.
m	жəне s 2	өте	баяу өзгереді	жəне тым болмағанда бір			синусоидалды
x	x
кіріс сигналының шегінде тұрақты деп есептеуге болады .дейікЖоғарыда
аталған əдіс бойынша статистикалық тізбектеу жүргізіп нəтижесінде аламыз.
			y(t) » f * + k		o		(4.13)
					х(t).
			0	1
Кіріс	сигналының		математикалық		күтімінде	периодтық	құраушысының
болуына байланысты f * жəне k мəндері уақыттың периодты функциясы болып
		0	1

қалады, демек оған гармоникалық тізбектеуін жүргізуге болады.

f0* = f0* (mx + Asin wt ,s x ) » f0 ( A, mxs x ) +h1( A, mx ,s x ) Asin wt +h2 ( A, mx ,s x ) Acos wt ,

мұнда

f0 ( A, mx ,s x ) =

1

2p f0* (mx

+ Asiny ,s x )dy

2p

ò0

h ( A, m

,s

x

) =

1

2p f

* (m

x

+ Asiny ,s

)sinydy

1

x

pA

ò0

0

x

h

( A, m

,s

) =

1

2p f *

(m + Asiny ,s

) cosydy

2

x

x

pA

ò0

0

x

x

k

= h( A, m

,s

x

)

»

1

2pk

(m

x

+ Asiny ,s

x

)dy

1

x

2p ò0

1

y = wt

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

Егер f(x) - ықтималдықтың таралу тығыздығының бірөлшемді функциясы

белгілі болса статистикалық тізбектеу туралы өткен бөлімдерге сүйеніп мыналарды аламыз

¥

f0* = ò f (x + Asiny )f(x)dx;

-¥

1

[k1(1) +k1(2) ]=

1

ì

é

¥

ù0.5

1

¥

k1

=

íï±sx-1

ê

ò f 2 (mx

+ Аsiny)f(x)dx-( f0*)2

ú

+

ò(x

2

2

2

ï

ë

û

s

î

-¥

у

-¥

Негізгі əдебиеттер: 1 [210 - 220]. Қосымша əдебиеттер: 1 [365 - 414].

(4.19)

ü

-mx ) f (x + Asiny)f(x)dxïý (4.20)

ï

þ

19

Бақылау сұрақтары:
1.	Гармоникалық баланыс əдісі.
2.	Кейбiр	сызықты		емес	элементтердiң	берiлуiнiң	гармони
коэффициенттерi.
3.	Сызықты емес элементтiң кiретiн шамасының өзгерiсi
	Дəрістің тақырыбы 5.			Сызықты емес жүйені зерттеу. Гармоникалық
баланыс жəне статикалық сызықтау əдісі
	Дəріс конспектісі.		Гармониялық баланс əдiсi сызықты емес жүйелердiң
орнықтылығын		бағалап,		амплитуданы	жəне автотербелiстердiң		жиiлiгiн
анықтап, сонымен бiрге сызықты емес жүйелердiң берілген сипаттамаларын
қамтамасыз ететiн түзетуші буындарды таңдауға мүмкiндiк бередi. Тұрақты
жүйелерге бұл əдiiстқолдану мүмкiндiгі гармониялық жүйеге периодты
қозғалыстың жақындығымен анықталады. Бұл шарттар əдетте							жүйенiң
сызықтық бөлiгi		аласа	жиiлiктердiң сүзгiлерi болып табылғанда, яғни				биiк

гармоникаларды жақсы фильтрлегенде қанағаттанады.

Сызықты емес жүйе Wë ( jw) кешенді жиілік функциялы сызықты бөліктен жəне Wí ( A) кешенді гармоникалық күшейткішті инерциясыз тізбекті буыннан

тұрады деп алайық. Осы жүйеде жиілігі wa , амплитудасы									Aa автотербелістер
пайда болсын, сонда Найквист критериіне сай
		Wл ( jw)Wн ( A) = -1,							(5.1)
немесе		M л ( jw) = Wн-1 ( A),							(5.2)
деп белгілеп автотербелістердің пайда болу шарттарын мына түрде жазамыз
		M л ( jw) = -Wн ( jw).							(5.3)
Автотербелістердің wа		жиілігі мен		Аа амплитудасын анықтау үшін есепті
(5.3) графикалық түрде жүргізген тиімді. Ол үшін кешенді жазықтықта(5.3 а
сурет) Wл ( jw)	жəне - M н (A) құрамыз. Егер					олар			қиылысса	жүйеде
автотербелістер	болуы	мүмкін, егер			қиылыспаса				болмайды. wa	жəне
А автотербелістердің параметрлері w			W		( jw) и А	по - M	н	(A) бойынша W		( jw)
а		а		л	а				л
жəне - M н (A) қиылысу нүктесімен анықталады.
Егер Wл ( jw)	жəне - M н (A) 5.2 - б суреттегідей бірнеше нүктеде қиылысса
жүйеде түрлі (w жəне A) параметрлі автотербеліс болуы мүмкін.
Автотербеліс орнықтылығын анықтау келесі ереже бойынша жүргізіледі:
егер Wл ( jw) w 0 -	ден ¥ -ке өзгергенде ампитуда					үлкеюіне сай- M н (A) -тің бір

бөлігін қамтыса тұрақсыз, кері жағдайда тұрақты болады.

20