bekbaev_energetikadagy_umk_kz_2012
.pdfЕнді |
жалпы |
жағдайдағы |
процесстердің |
абсолютті |
орнықтылық |
||||||
критериінің |
геометриялық |
интерпретациясын |
беруге |
болады: шектеулі |
|||||||
əсерлер |
кезінде сызықтық |
емес |
процесстер |
абсолютті |
тұрақты болуы |
||||||
үшін, e |
- қандай да болмасын кіші |
мəн болатынdF / dx |
сызықтық |
емес |
|||||||
элементінің сипаттамасының туындысы (r + e , K - e ) жолында жатуы үшін |
|||||||||||
жəне KW ( jw) ажыратылған сызықтық жүйенеің жиіліктік сипаттамасы |
|||||||||||
тиісті |
А-шеңберінің (10.3- |
сурет)сыртында |
болуы, |
|
яғни |
Найквист |
|||||
белгісіне |
сай |
болуы |
үшін, немесе W ( jw) |
сипаттамасы -1/ K - |
жə не |
-1/ r |
|||||
(10.4- сурет) нүктелерінде абцисса осьтерін қиятындай шеңбер сыртында жатуы үшін .
Негізгі əдебиеттер: 3 [324-348]. Қосымша əдебиеттер: 1 [365-414]. Бақылау сұрақтар:
1.Сызықты емес АРЖ процесстерiнiң орнықтылығы.
2.Сызықты емес жүйедегi мəжбүр процесстiң абсолюттi орнықтылығының шарты.
3.Найквист критеринің белгiсi.
Дəрістің тақырыбы: 11 Фазалық жазықтық туралы негiзгi ұғымдар |
|
|||||||
Дəріс конспектісі. |
Фазалық |
кеңістікте, фазалық жазықтықта |
өтпелі |
|
||||
процесстердi |
бейнелеу |
əдістері |
|
реттеу |
теориясына |
акад |
||
Л.Л.Андроновпен енгiзiлдi. Ол |
реттеу |
теориясының |
бірқатар |
есептерiн |
|
|||
шешті, соның iшiнде |
реттеуiштегi құрғақ |
үикелу |
есепке |
алынған |
||||
Вышнеградскийдiң есебi де бар. |
|
|
|
|
|
|
||
Əдіс сызықтық емес элементтері бар екінші реттік жүйелерде еркін тербелістің кез-келген бастапқы шарттарында барлық өтпелі процесстер
жинағының нақты бейнесін алуға мүмкіндік береді. А. А. Андронов үшінші |
|
|||||||||
қатар теңдеулерінің бір |
есебін |
шешті. Əр түрлi сызықты |
емес жүйелердiң |
|
||||||
«фазалық портреттерiн» құрастырудың көптеген есептері В. В. Казакевич, В. |
|
|||||||||
В. Петров жəне Г.М.Уланов жəне басқа авторлармен шешілген. |
|
|
||||||||
Реттеу |
теориясы |
|
үшін |
екінші |
қатар |
жүйелерін |
зерттеу |
үл |
||
қызығушылық тудырмағанымен, фазалық жазықтық əдісімен танысу өте |
||||||||||
пайдалы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазалық жазықтық деген координаттар осьімен жүйедегі өтпелі |
||||||||||
процесстерді |
сипаттайтын |
қандай да |
бір |
екі |
ауыспалы қойылатын |
|||||
жазықтық. Осындай ауыспалылар ретінде реттелетін х мəнінің ауытқуы мен |
|
|||||||||
оның уақыт бойынша өзгеруін қабылдайды |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
= y |
|
|
|
|
(11.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Процесстерді фазалық кеңістікте бейнелегенде екінші |
ретті |
теңдеуді |
екі |
|||||||
бірінші ретті теңдеуге келтірген ыңғайлы: |
|
|
|
|
|
|||||
41
dx |
|
= f1 |
(x, y ,)ïü |
|
|
|
|
||||
dt |
|
ï |
(11.2) |
||
dy |
|
|
ý |
||
= f |
2 |
(x, y ,)ïï |
|
||
|
|
||||
dt |
|
þ |
|
||
мұнда, f1 жəне f2 - жалпы жағдайда координаттардың сызықтық емес функциялары. Фазалық жазықтықта өтпелі процессті көрсету үшін(11.2) теңдеуінен уақытты алып тастаймыз, ол үшін екінші теңдеуді біріншіге бөлеміз:
dy |
= |
f 2 |
(x, y) |
. |
(11.3) |
dx |
f 2 |
|
|||
|
(x, y ) |
|
|||
Біз шешімінің жалпы əдістері жоқ сызықтық емес дифференциалды теңдеу алдық, жəне əр есепте оның жеке шығарылу жолын іздеуге тура келеді. (11.3) теңдеуінің шешімі мына функция болады:
|
y = F (x), |
(11.4) |
оның фазалық жазықтықтағы графикалық бейнесіфазалық траектория деп |
||
аталады. |
x0 , y0 бастапқы шарттарының əр жиынының өз шешімі мен өз |
|
фазалық |
траекториясы болады. Əр теңдеу үшін фазалық |
жазықтық |
көптеген фазалық траекториялармен жабылады. Бірақ бұл көптіктің өте пайдалы қасиеті бар: егер f1 жəне f2 функциялары бірмəнді болса жазықтықтағы əр (х, у) нүктесіне dy/dx туындысының тек бір мəні сəйкес келеді. Бұл фазалық жазықтықтың əр нүктесі арқылы(кейбір ерекше нүктелерден басқа) тек бір ғана фазалық траектория жүреді жəне олар бір бірімен қиылыспайды. Бұл жағдай зерттелетін жүйенің«фазалық портреттерін» алуға мүмкіндік береді. Онда магнитті күштік сызықтар көмегімен магниттік өріс туралы мағлұмат алатынымыздай мүмкін болатын қозғалыстар анық көрсетіледі.
Бірақ көптеген |
тізбексіздіктер |
координаттар өскенде, яғни |
× |
||||
x f 0 |
|||||||
болғанда қозғалыс қисықтың бір тармағымен, ал |
азайғанда, |
яғни |
× |
||||
x p 0 |
|||||||
болғанда басқа |
тармағымен жүреді. Сонда элемент сипаттамасы бірмəнді |
||||||
болмайтынына |
қарамастан |
фазалық |
жазықтықта |
фазалық |
траекториялар |
||
қиылыспайды. |
Себебі |
× |
× |
|
× |
|
|
x f 0 |
жəне x p 0 |
облыстары y = x = 0 абциссасының |
|||||
осьімен шектелген. Оны ауысу сызығы деп те атауға болады, себебі бұл
осьте басқа теңдеумен суреттелетін траекторияға |
фазалық траекторияның |
өтуі іске асады. |
|
Тек бірмəнсіздік күрделі болған жағдайда ғана фазалық жазықтықтың |
|
кей облыстарының нүктелерінде бірнеше фазалық |
траектория қиылысады. |
Бұл жағдайда көп пластты фазалық жазықтықтар түсінігіне жүгінуге тура келеді.
42
Берілген |
нүкте арқылы |
өтетін |
фазалық |
траекториялардың бірмəнділігі |
|||||
«ерекше нүктелерде» орын алмауы мүмкіндігін айттық. Бұл ерекше нүктелер |
|||||||||
f 1 жəне |
f2 функциялары |
бір |
уақытта нөлге |
айналатын нүктелер болып |
|||||
табылады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 (x |
0 |
, y |
0 |
)= 0, |
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ï |
(11.6) |
|||
|
|
f 2 (x |
|
|
|
|
ý |
||
|
|
0 |
, y |
0 |
|
ï |
|
||
|
|
|
|
)= 0.þ |
|
||||
(11.2) негізінде dx/dt жəне dy/dt ерекше нүктелерде нөлге айналады, яғни жүйе қозғалысы тоқтайды. Бұл ерекше нүктелер жүйе тепе-теңдігінің нүктелері екенін білдіреді. Бұл нүктелер орнықты жəне орнықсыз да болуы мүмкін екенін айта кеткен жөн.
Біз у координатасын х координатасының жылдамдығының өзгеруі деп қабылдайтынымызды айттық. Сонда (11.2) теңдеуі мына түрге келеді
dx |
|
= y, |
ü |
|
|
|
ï |
|
|
dt |
|
|||
|
|
ï |
(11.6) |
|
dy |
|
|
ý |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
= f (x, y .) |
|
|
dt |
|
|
ï |
|
|
|
þ |
|
|
Фазалық траекториялар бұл кезде бірқатар қасиеттерге ие болады. Ең
алдымен (11.6) теңдеуден |
шығатыны х |
əрқашан |
жоғары |
жарты |
||
жазықтықта өседі (мұнда y f 0 ), яғни t |
өсімінде |
фазалық траектория |
||||
бойынша қозғалыс солдан оңға қарай жүреді. |
х координатасы қозғалыс |
|||||
оңнан солға қарай жүретін төменгі |
жарты(мұнда |
y p 0 ) |
жазықтықта |
|||
азаяды. |
|
|
|
|
|
|
Келесі қызық қасиет (11.3) теңдеуінен шығады, бұл жағдайда ол мына
түрде болады: |
|
dy |
|
f |
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
(11.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
y |
|
|
|||
|
у=0 болғанда dy/dx мəні f(х, у) = 0 болатын тепе-теңдік нүктелерінен |
||||||||
басқа |
барлық |
фазалық |
кеңістікте |
шексіз . |
Бұлболады фазалық |
||||
траекторияларға |
қатысты х |
осьті фазалық траекторияларды қиятынх |
|||||||
остьеріне перпендикуляр екенін көрсетеді. |
|
|
|||||||
|
Фазалық траекториялар |
əдісі сықықтық емес |
жүйелерге қатысты |
||||||
жасалғанына қарамастан алдымен екінші ретті тербелмелі сызықтық буынның фазалық траекторияларын қарастыру қызығушылық тудырады. Себебі онда фазалық траекториялар мен маңызды типті ерекше нүктелердің алынуын көруге болады.
Фазалық кеңістік
Күрделі сызықтық емес реттеу процестері туралы мағлұматтар алу үшін келесі түрдегі фазалық кеңістік ұғымына жүгінуге тура келеді. n- қатардағы
43
тұйық реттеу жүйесінің дифференциалды теңдеуін дифференциалды теңдеулер n жүйесіне түрлендіруге болады
dx1 |
|
= F |
1 |
(x |
, x |
2 |
,..., x |
n |
, |
f , g ) ü |
|||||||
|
|||||||||||||||||
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ï |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
= F |
2 |
(x |
|
, x |
2 |
,..., x |
n |
, |
f , g )ï |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ý |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
............................................. ï |
||||||||
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
= F |
n |
(x , x |
2 |
,..., x |
n |
, |
f , g ) |
|
||||||||
dt |
|
1 |
|
|
ï |
|||
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
бірінші қатардағы
(11.8)
бастапқы шарттары
t = 0 болғанда x1 = x10 , x2 = x20 ,..., xn = xn0
мұнда x1 , x2 ,..., xn - ізделінетін уақыт функциясы болатын ауыспалылар, xi реттелетін мəнді білдіруі мүмкін,
11.1 - сурет. Үшөлшемді жүйе
ал x2 ,..., xn - көмекші ауыспалылар; f жəне g ауытқушы жəне беруші əсерлер. Мысалы, (11.8) теңдеуінде п=3 болсын (үшінші қатар жүйесі). x 1 , х 2 , х 3 ауыспалыларының кез келген физикалық мəні болуы мүмкін. Бірақ шартты түрде оларды бір М нүктесінің (11.1-сурет, а) тік бұрышты координаттары
деп елестетуге болады.
Шынайы |
реттеу процесінде |
əр уақыт моментіндеx 1 , |
х 2 , х 3 мəндері |
|
нақты мəнге ие болады. Бұл кеңістіктегі М нүктесінің (11.1-сурет, а) нақты |
||||
орнына сай келеді. |
|
|
|
|
Шынайы процессте уақыт ағымыменx 1 , х 2 |
, х 3 мəндері өзгереді. Бұл |
|||
кеңістікте М |
нүктесінің белгілі |
траектория |
бойынша |
жылжуына алып |
келеді. Тиісінше, М нүктесінің жылжу траекториясы реттеу процесінде жүйенің динамикалық көрінісінің геометриялық бейнесі бола алады.
44
|
М |
нүктесі бейнелеуші |
нүкте |
деп |
аталады, оның |
траекториясы |
|
|||||||||||
фазалық траектория, ал кеңістігі ( x1 , x2 , x3 ) фазалық кеңістік деп аталады. |
|
|||||||||||||||||
|
Нүкте |
координаттарынан |
уақыт |
бойынша |
|
туындысы u |
оның |
|||||||||||
жылдамдығының |
проекциясын |
көрсететіндіктен(11.8) |
формасындағы |
|
||||||||||||||
жүйенің |
дифференциалды |
теңдеулеріu |
жылдамдығының |
проекциясы |
үшін |
|||||||||||||
мəн болады. Тиісінше теңдеулердің оң жағының(11.8) мəндері бойынша əр |
|
|||||||||||||||||
уақыт |
моментінде М |
бейнелеуіш |
нүктесінің қозғалыс бағытын көруге, |
|||||||||||||||
сонымен бірге реттеу жүйесіндегі нақты |
жүйенің |
жағдайын |
бақылауға |
|||||||||||||||
болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x10 , x20 , x30 ) реттеу |
процесінің |
бастапқы шарттарыM 0 |
(11.1-сурет, а) |
|
|||||||||||||
фазалық |
|
траекториясының |
бастапқы |
нүктесінің |
|
координаттары |
||||||||||||
анықтайды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Егер (11.8) теңдеулерде екі x1 жəне x2 (екінші ретті жүйе) ауыспалы |
|
||||||||||||||||
ғана |
болса |
бейнелеуші |
нүкте |
кеңістікте |
емес |
жазықтықта |
|
жылжиды |
||||||||||
(фазалық кеңістік). |
|
|
|
|
|
|
(п-ші ретті жүйе) фазалық |
|
||||||||||
|
Егер ауыспалылар |
саны |
көп |
болсаn f 3 |
|
|||||||||||||
кеңістік үш өлшемді емес |
n - өлшемді болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Сонымен, фазалық кеңістік пен фазалық траекториялар жүйеде болатын |
|||||||||||||||||
динамикалық процесстердің тек геометриялық бейнесі ретінде ғана болады. Бұл |
|
|||||||||||||||||
геометриялық көріністе координаталар болады да уақыт болмайды. Фазалық |
|
|||||||||||||||||
траектория |
жүйе |
сипаты |
туралы |
ғана |
сипаттама |
.берКезді |
келген |
|
уақыт |
|||||||||
моментінде бейнелеуші нүктенің санын анықтау үшін(11.8) дифференциалды |
|
|||||||||||||||||
теңдеулердің уақыт ішіндегі шешімін табу керек. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Егер (11.1) теңдеулер орныққан жағдайдан ауытқыған түрде құрылған |
|
||||||||||||||||
болса онда соңғысыx1 |
= x2 = .... = xn |
= 0 |
мəндерімен |
сипатталады. Демек, |
|
|||||||||||||
фазалық кеңістік координаттарының басы жүйенің орныққан жағдайының |
|
|||||||||||||||||
бейнесі болып табылады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Бұдан орныққан сызықтық жүйенің фазалық траекториялары уақыт |
|||||||||||||||||
шексіз өскенде координаттар басына асимптотикалық түрде жақындайды. |
|
|||||||||||||||||
Орнықсыз |
сызықтық |
жүйенің |
фазалық |
траекториялары |
координаттар |
|||||||||||||
басынан шексіз алыстай береді. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Сызықтық |
емес |
|
жүйе |
үшін |
жоғарыда |
аталған |
|
процесстерді |
|||||||||
ерекшеліктеріне |
байланысты |
фазалық |
траекториялар |
түрлі |
кейіпке |
ене |
||||||||||||
алады. Егер бастапқы шарттардың шекті шеңберлері үшін асимптотикалық |
|
|||||||||||||||||
орнықтылық болса фазалық кеңістің координаттар басын қоршайтын (11.1- |
|
|||||||||||||||||
сурет, б) нақты h |
облысының |
|
ішінен |
басталатын |
барлық |
фазалық |
||||||||||||
траекториялар координаттар басына асимптотикалық түрде жақындай береді. |
|
|||||||||||||||||
Егер |
орнықтылық |
асимптотикалық |
болмаса |
белгіліh |
облысының |
ішінде |
||||||||||||
басталатын фазалық траекториялар кез келген түрде болуы мүмкін, бірақ |
|
|||||||||||||||||
координаттар басын қоршап |
жатқан(11.1-сурет, б) белгілі |
e |
облыстың |
|
||||||||||||||
сыртына шыға алмайды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ляпунов бойынша орнықтылық түсінігінің формулировкасы. Егер |
|
||||||||||||||||
қандай да болмасын берілгенe облыста қандай да |
болмасынt |
уақыт |
|
|||||||||||||||
мөлшерінде |
бейнелеуші |
нүкте e облысы |
сыртына шықпайтын, осы |
облыс |
|
|||||||||||||
45
ішінде орналасқан ауытқымалы қозғалысы табылса ауытқымайтын қозғалыс орнықты деп аталады.
Аналитикалық жазбада Ляпунов бойынша орнықтылық түсінігінің формулировкасы мына түрде болады. Ауытқусыз қозғалыс (орныққан
процесс) егер кандай да болмасын оң e |
мəнінде бастапқы шарттарда болатын |
|||
оң h саны табылса ауытқымалы қозғалыстың |
||||
|
xi 0 |
|
p h (i = 1,2,...,n) |
(11.9) |
|
|
|||
дифференциалды теңдеулерінің шешімі қандай да болмасын(өтпелі процес) t кезінде мына теңсіздікті қанағаттандырады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
p e (i = 1,2,...,n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Осы аналитикалық |
|
|
жазба |
үшін |
фазалық |
кеңістіктегі |
геометриялық |
|||||||||||||||||
бейнені |
елестетейік. Демек, |
əр |
|
координат |
бойынша(11.9) теңсіздіктерімен |
|
||||||||||||||||||||
бастапқы |
шарттарды |
|
|
шектегенде |
ішіндеМ |
( x |
, x |
20 |
,..., x |
n0 |
) |
фазалық |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
||
траекториясының |
бастапқы |
нүктесі |
жататынn-өлшемді |
2h |
жақты |
куб |
пайда |
|
||||||||||||||||||
болады. (п = 2) фазалық жазықтығында ол квадратқа |
айналады. Сол сияқты |
|
||||||||||||||||||||||||
екiншi жазылған теңсiздiктерден геометриялық фазалық траекториялар 2e |
клуб |
|
||||||||||||||||||||||||
жақтан шығуы керек болатынын бiлдiредi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Ляпунов |
тұжырымдамасында |
көрсетілген |
облыстардың |
қандай |
да |
|||||||||||||||||||
болмасын талабы болады. Бірақ бұл анықтама Ляпунов теоремасы сияқты осы |
|
|||||||||||||||||||||||||
облыстардың нақты соңғы өлшемдері болғанда ғана қолданылады. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Қарапайым сызықтық жүйелер үшін фазалық траекториялар. Өтпелі |
|
|||||||||||||||||||||||
процесс белгілі деңгейде екінші қатарлы теңдеумен анықталатын болсын |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
+ a1 |
dx |
+ a2 x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
(11.10) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
dx |
|
реттелетін |
мəннің |
ауытқуының |
өзгеру |
жылдамдығының |
белгісін |
|
|||||||||||||||||
dt |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
енгіземіз. Сонда (11.10) жүйесінің теңдеулері мына түрге енеді: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
= -a y - a |
x,ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
2 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.11) |
|
||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= y. |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.10) |
теңдеулерінен |
біріншісін |
екіншісіне(болғанда |
х |
жəне |
|
||||||||||||||||||||
y ¹ 0 ) бөліп t |
уақытын алып тастаймыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
46
|
|
dy |
= -a1 - a2 |
x |
. |
|
|
(11.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx |
y |
|
|
|
|
||
Бір тұрақты туындысы бар бұл дифференциалды |
теңдеудіңy = j(x) |
||||||||
шешімі |
(х, у) фазалық жазықтығындағы интегралды |
қисықтар |
тобын |
||||||
анықтайды. Олардың əрқайсысы нақты тұрақты туынды мəніне сəйкес келеді. |
|
||||||||
Барлық интегралдық қисықтар жиыны барлық мүмкін болатын фазалық |
|||||||||
траекторияларды көрсетеді, демек осы автоматты реттеу |
жүйесіндегі |
кез |
|||||||
келген |
бастапқы шарттардағы барлық |
|
мүмкін |
болатын |
өтпелі |
процесс |
|||
түрлерін де көрсетеді. |
|
|
|
|
|
|
|||
Жекелеген жағдайларды қарастырамыз. (11.10) |
теңдеуіне |
сипаттық |
|||||||
теңдуінің түбірі сəйкес келеді жəне |
|
|
|
|
|
|
|||
|
p |
= - |
a1 |
± |
|
|
|||
|
1, 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
мұнда алты жағдай болуы мүмкін: |
|
|
|
|
1) a1 = 0 , a2 f 0 |
болғандағы |
|||
орнықтылық шекарасы); |
|
|
|
|
a12 - a2 ,
4
түбірлер(сызықтық жүйенеің
2) Кешенді |
түбірлер |
жəнеa 2 |
p 4a |
2 |
, |
a f 0 , |
a |
2 |
f 0 |
болғанда |
теріс |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
бөлшектері болады (орныққан сызықтық жүйе);
3)Кешенді түбірлер жəне a12 p 4a2 , a1 p 0 , a2 f 0 болғанда оң бөлшектері болады (орнықсыз сызықтық жүйе);
4)a12 f 4a2 , a1 f 0 , a2 f 0 болғандағы теріс түбірлер (орныққан сызықты
жүйе);
5)a12 f 4a2 , a1 p 0 , a2 f 0 болғандағы оң түбірлер(орнықсыз сызықтық
жүйе);
6) a2 f 0 |
болғанда түрлі |
таңбалары болатын түбірлер(орнықсыз |
сызықтық жүйе); a2 = 0 болғанда бір түбір нөлге тең болады(сызықтық жүйенің орнықтылық шекарасы).
Негізгі əдебиеттер: 3 [324-348]. Қосымша əдебиеттер: 1 [365-414]. Бақылау сұрақтар:
1.Фазалық жазықтық туралы негiзгi ұғымдар. 2.Фазалық жазықтық деген не?
3.Фазалық траектория деген не? 4.Фазалық кеңiстiк деген не?
47
Дəріс тақырыбы 12 Сызықты емес жүйелердiң фазалық портреттерi
Дəріс конспектісі. Тепе-теңдік жағдайы. Сызықтық жүйелердің фазалық
кеңістігінде тепе-теңдіктің |
орнықты не орнықсыз нүктесі болатын ерекше |
нүктесі болады (жоғарыда |
қабылданған есептеу жүйесінде– координаттар |
басы).
Сызықтық емес жүйелерде бірнеше ерекше нүкте болуы мүмкін, олардың бір бөлігі орнықты, екіншісі орнықсыз тепе-теңдік нүктелеріне жатуы мүмкін. Сонымен қатар фазалық кеңістіктерде шексіз тепе-теңдік нүктелері– тыныштық кесінділері мен тыныштық облыстары болуы мүмкін.
Фазалық кеңістіктердің топологиялық құрылымының біртексіздігі.
Сызықтық жүйелердiң фазалық кеңiстiктерiнiң топологиялық құрылымы ерекше нүкте олардың итеруiн орталықпен немесе кеңістік туралы барлық толтыратын тұйықталған траектория қоршаған бейтарап орталықпен де барлық фазалық траектоларды тартудың ортасымен немесе орталық болып табылған
мағынадада |
бiркелкi. Бiрiншi |
жағдайда |
барлық |
фазалық |
кеңiстiк |
||||
орнықтылықтың |
облысы |
болып табылады, екiншi жағдайда - ол барлық |
|||||||
орнықсыздықтың облысы болады. Орнықтылықтардың шектелген облыстары |
|||||||||
немесе фазалық кеңiстiктердегi орнықсыздықтарда сызықты жүйе жоқ. |
|
||||||||
Фазалық |
кеңiстiктiң сызықты емес жүйелерiнде облыстар |
қатарына |
|||||||
бөлінген бола алады. Кейбір фазалық траекторияларда ерекше нүктеге немесе |
|||||||||
облыстарға оралатын |
бұл |
облыстардың |
бір бөлігін орнықтылықтар |
облысы |
|||||
ретiнде қарастыруға болады. Біз |
көргендей, фазалық траекториялар сонымен |
||||||||
бiрге |
тұйықталған |
қисықтарға |
ұмтыла |
алады- |
орнықты |
шектi циклдерге |
|||
аумалы |
орала |
өседі. |
Жоғарыда |
қарастырылған |
мысалдада |
бiр шектi |
цикл |
||
болды, бiрақ олар бірнеше бола алады.
12.1- сурет тебетейiлген иллюстрация ретiнде екi фазалық портреттердi қарап шығамыз.
|
|
|
12.1 - сурет |
|
|
|
12.1- суретке координаталар басы орнықсыз,ал шекті цикл орнықты. |
|
|||||
Бұлжүйеде тепе теңдік күйі бола алмайды. Бiз флуктуациялардың азғантай |
|
|||||
ықпалымен |
координаталардан |
шектi циклге шығамыз: осы |
жүйеде |
|
||
автотербелiстер əдейi қосымша тiркелген сыртқы əрекетсіз қыздырмалайды. |
|
|||||
Мұндай |
фазалық |
портретке |
автотербелiстердiң |
жұмсақ |
қоздыруы |
ба |
генераторлар ие болады. Сезбеушiлiк белдемi бар релелiк жүйе мысал бола |
|
|||||
алады, егер белгілі параметрлерді таңдағанда жəнеаумалы реледе жүйе |
|
|||||
орнықсыз болса. |
|
|
|
|
|
|
48
12.1- |
сурет, тепе-теңдiктiң |
орнықты |
нүктесiне |
iекшектi циклдермен |
||||
қоршалған: iшкi |
цикл |
орнықсыз, |
сыртқы |
- орнықты. |
Егер |
жүйеге |
мұндай |
|
шаманың |
əлсiз |
түрткiiс басылса, |
x0 бастапқы мəнi жəне x0¢ |
аумалы |
шектi |
|||
циклданың |
iшкi |
облыстары шектен шықпайды, біз |
координаталар |
басына |
||||
оралатын |
кеңістікке |
тап боламыз. Жүйе |
тербелмелi |
тəртiпке өтеді, |
бiрақ |
|||
тербелiстер баяулайды. Егер сыртқы түрткi iшкi орнықсыз циклдың шектерiнде бастапқы нүктенi шығарылу үшiн жеткiлiктi болса, онда бiз сыртқы орнықты цикл өсiретiн траекторияға тап боламыз жəне жүйеде автотербелістер пайда
болады. Мұндай фазалық портреттер берлiстердiң қатты қоздыруы бар генераторлар ие болады. Нақтылы параметрлерін таңдап алуда тербелiстер пайда болады, мысалы, сезбеушiлiк белдемдерiмен релелiк жүйеде, егер алшақ салынған жүйеде реле орнықты болса. Ұқсас генераторлардың мысалы əлсiз түрткiден бастап жүрмейтін немесе сөйлеушiнiң қатты дауыстарын көтеруіен қыздырылатын, репродукторы бар, жөнге салынған микрофон болып маятнигi
бар қабырғаның сағаттары қызмет көрсете алады.
Ерекше траектариилар. Əр түрлi топологиялық құрылымды
облыстарыға фазалық жазықтықта сызықтармен, сонымен бiрге фазалық траекториялар болып табылатын жəне ерекше фазалық траекториялармен шек қойылады. Ерекше су айырық фазалық траекториялар болып, iз көргендей, шектi циклдер болуы мүмкін. Бiрақ айырғыш траекториялар тұйықталмаған бола алады. Осы жағдайда олар сепаратрисалар деп аталады. 12.2-шi суретте сөнiп бара жатқан тербелiстердiң айырғыш облысы жəнеiлеспе қозғаушының
синхронизмынан түсiп қалуы |
мүмкін сепаратрисаның үлгісі көрсетілген ол |
||||||
келесі теңдулермен сипатталады. |
|
|
|
|
|||
|
dy |
= |
- 2hy - k sin x + M |
, |
dx |
= y, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
y |
dt |
||||
мұндағы М = const , h жəне k -пропорционалдық коэффиценті.
12.2 - сурет
Фазалық кеңiстiкте қисықтар ендi əр түрлi топологиялық құрылымды облыстары бар шекара бола алмайды. Соңғысы бiржола - ерекше фазалық траекториялардан тұратын беттермен сепаратриснымилар шектеледі.
Негізгі əдебиеттер: 3 [324-348].
49
Қосымша əдебиеттер: 1 [365-414]. Бақылау сұрақтар: 1.Тепе-теңдiктiң нүктесi.
2.Фазалық кеңiстiктердiң топологиялық құрылымының бiртектi еместiгi. 3.Фазалық жазықтықтың ерекше траектариилары.
Дəріс |
тақырыбы 13 Дискретті жəне |
импульсті |
автоматты |
реттеу |
||||||||||
жүйелері. Дискретті функциялар. Дискреттi АРЖ құрылымы |
|
|
|
|
||||||||||
Дəріс конспектісі. |
Негізгі ұғымдар мен анықтамалар |
|
|
|
|
|
||||||||
Дискреттi деп |
деңгей |
бойынша |
немесе |
əр |
|
уақытта |
квантталға |
|||||||
сигналдардың |
берiлу |
жəне өрнектеуi iске асатын жүйе аталады. Деңгей |
|
|||||||||||
бойынша кванттау кез келген уақытта оның дискреттi мəнiн уақыт, квантталу |
|
|||||||||||||
деңгейлерiнiң |
еселi бүтiн |
|
саны |
өзгертiлетiн |
сигналдың |
нақты |
мəнiн |
|||||||
алмастыруға |
сəйкес |
келедi. |
Кванттау |
оның |
мəндер сигналының үздiксiз |
|||||||||
уақыттасының алмастыруына дискреттi тең қашықтықта орналасқан уақыт əр |
|
|||||||||||||
уақытта сəйкес келедi. Квантталудың түрлеріне байланысты келесi дискреттi |
|
|||||||||||||
АРЖ-лері ажыратылады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) Релелік, квантталу деңгей бойынша болады. Бұл ереже бойынша |
|
|||||||||||||
сызықты емес жүйелер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) импульстік, квантталу уақыт бойынша болады. Бұл жүйелер қазіргі |
|
|||||||||||||
бөлімде қарастырылған. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) сандық, квантталу |
|
уақыт жəне деңгей |
бойынша |
болады; деңгей |
|
|||||||||
бойынша |
квантталуды |
айтарлықтай бiлiнгенде квантталатын |
сигналдың |
аз |
||||||||||
мəндерiнде цифрларға |
жүйе |
релелiкке |
апарады; квантталатын |
сигнал |
үлкен |
|
||||||||
мəндерiнде, деңгей бойынша дискреттiкпен қарамауға болғанда, цифрларға |
|
|||||||||||||
жүйе импульстыға қосылады. Импульсты жүйелерде уақыт бойынша квантталу |
|
|||||||||||||
шығыс шамасы импульстердiң модульделген тiзбегiн көрсететін(13.1- сурет) |
|
|||||||||||||
импульсты |
элементпен iске |
асады. |
Импульсты |
модуляцияның |
келесi түрлерi |
|
||||||||
ажыратылады (13.2- сурет): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) амплитудалық-импульсты модуляция (АИМ ), А шығыс импульстерiнiң |
|
|||||||||||||
амплитудасы Т кiріс |
шамасының мəндерiнiң дискреттi |
тең |
қашықтықта |
|
||||||||||
орналасқан шамаларына байланысты өзгередi; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) ендiк-импульстiк модуляция(ЕИМ), кiріс мəндер шамасының дискреттi |
|
|||||||||||||
тең қашықтықта орналасқан уақытына тəуелді g Т импульстiң енi өзгередi. |
|
|
||||||||||||
в) уақыт-импульсты |
модуляция (УИМ), |
қай кiретiн шаманың мəнiне |
|
|||||||||||
байланысты дискреттi равноотстояшиелерде тұрақты форманың импульсiнiң |
|
|||||||||||||
нақтылы уақытшаeТ жылжуы уақыт сəйкес келедi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Модуляцияның əрбiр түрi ИЭ-ның мiнездемесiнiң тiктiгiмен бейнеленедi: |
|
|||||||||||||
|
|
kАИМ = А / x ; kÅÈ Ì = gT / x ; kÓÈÌ |
= eT / x . |
|
|
|
(13.1) |
|
||||||
Егер k шама оң болса жəне x тəуелдi болмаса, онда импульстік элемент сызықты, егер үзілмейтін бөлшек те сызықты болса (13.1- сурет), онда жүйе сызықты импульстік деп аталады.
50