- •Формулы сокращенного умножения
- •2. Действия с дробями
- •3. Проценты
- •4. Линейная функция и ее график
- •5. Системы линейных уравнений
- •6. Квадратное уравнение
- •7. Квадратная функция и ее график
- •8. Действия со степенями
- •9. Иррациональные уравнения
- •10. Показательная функция
- •11. Методы решения показательных уравнений
- •12. Логарифмы
- •13. Логарифмическая функция
- •14. Методы решения логарифмических уравнений
- •15. Тригонометрические функции
- •16. Тригонометрические уравнения (простейшие)
- •17. Неравенства
- •18. Прогрессии
- •19. Дифференцирование
- •20. Планиметрия Основные формулы
- •Разбор вариантов экзаменационных билетов (прошлых лет) на заочное отделение Решение варианта инженерных специальностей (2005 год)
- •Решение варианта экономических специальностей (2005 год)
- •Решение варианта инженерных специальностей (2004 год)
- •Варианты билетов вступительных экзаменов
- •Билет 5 (2003 год)
- •Билет 16 (2007 год)
- •Билет 17 (2009 год)
- •Билет 18 (2009 год)
- •Билет 19 (2009 год)
Решение варианта экономических специальностей (2005 год)
1. Найти 2,4% площади прямоугольного треугольника, катеты которого 18 мм и 0,035м.
Решение: 1м=100 см 0,035 м=35 см
1 см=10 мм 18 мм=1,8 см
Площадь прямоугольного треугольника: , гдеa, b – катеты треугольника; тогда (см2).
Составим пропорцию:
см2 или 7,56 мм2.
Ответ: 7,56 мм2.
2. Решить уравнение .
Решение: Применим свойства логарифмов
и учитывая область допустимых значений для логарифмической функции, имеем следующую систему неравенств и уравнения
0,5 0,5 4 5 х
Видим, что пересечению принадлежит только один из корней: х1=0,5.
Ответ: х=0,5.
3. При каких значениях х график производной функции лежит не выше прямойу=2х.
Решение: Найдем производную , используя формулы
По условию график лежит не выше прямойу2=2х, значит, значения , тогда получаем неравенство:
.
Решаем его: .
Сначала находим корни квадратного трехчлена: .
Затем методом интервалов
+ +
1 2 х
Таким образом, получаем . Это можно проверить на графике. Построим параболуи прямуюу=2х.
у
2
1
0 1 2 х
Ответ: .
4. Вычислить: , если.
Решение: Преобразуем заданное тригонометрическое выражение, заменив по основному тригонометрическому тождеству :
.
По условию ,, тогда поделим числитель и знаменатель полученного выражения на, получим выражение
.
Ответ: =1,2.
5. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в 1,75 раза больше суммы кубов всех ее членов. Найти знаменатель этой прогрессии, если ее первый член равен 1.
Решение: Обозначим знаменатель искомой геометрической прогрессии q. Так как член ее равен 1, то прогрессия имеет вид: 1; . Сумму ее находят по формулеили. Тогда сумма кубов всех членов прогрессии равна. По условию, то получаем уравнение и решаем его:
Поскольку геометрическая прогрессия убывающая, выбираем для ответа .
Ответ: .
Решение варианта инженерных специальностей (2004 год)
Решите уравнение: .
Решение:
Приведем обе части уравнения к одному основанию: ,
.
Используя свойство степени , получаем
,
откуда .
Решить систему неравенств:
Решение:
Умножим обе части заданных неравенств на 6 (6>0 знаки неравенств сохраняются).
Построим решения на числовой прямой и укажем их пересечение.
2 х
Ответ: .
При каком значении параметра а прямая проходит через точкуМ(1;2). Найти угловой коэффициент найденной прямой и построить ее график.
Решение:
Прямая проходит через точку М, то координаты точки М подставим в уравнение прямой:
.
Тогда уравнение прямой имеет вид:
или .
Очевидно, что угловой коэффициент k=2. Для построения графика прямой:
х |
0 |
1 |
у |
0 |
2 |
2
1 х
Решить уравнение и найти его корни, принадлежащие промежутку.
Решение:
Применим формулу для уравнения:
.
Тогда получаем , отсюда.
Если .
Если .
Если .
Ответ: Корни уравнения из промежутка будут.
Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше скорости велосипедиста, поэтому на путь 30 км мотоциклист затратил на 1 ч меньше, чем велосипедист. Сколько на этот путь тратит времени велосипедист?
Решение:
Обозначим
|
t |
S |
V |
|
велосипедист |
x ч |
30 км |
. | |
мотоциклист |
(x–1) ч |
30 км |
Решаем уравнение, умножая обе его части на получим
Ответ: велосипедист затратит 1,5 часа.