- •Линии второго порядка Лекция 14 Эллипс. Гипербола. Парабола
- •§ 28. Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 29. Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 30. Парабола
- •Свойства параболы
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду:
-
а) ;
в) ;
б) ;
г) .
2. Дано каноническое уравнение эллипса. Найдите большую и малую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:
-
а) ;
б) .
3. Постройте изображение эллипса, его фокусов и директрис:
-
а) ;
б) .
§ 29. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек иравно длине данного отрезка, где.
Коротко можно записать определение гиперболы так:
. (39)
Точки иназываютсяфокусами гиперболы, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.
Если точка данной гиперболы, то отрезки и(а также их длины) называютсяфокальными радиусами точки .
Пусть на плоскости даны две различные точкии. Обозначим черезсередину отрезка. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, где(рис. 90).
Выведем уравнение гиперболы с фокусамиив системе координат.
Пусть .
Замечание. Так как , то для гиперболы всегда, т.е.
.
Пусть . Так какв, то
.
По определению гиперболы . Преобразуем это уравнение:
;
;
;
;
;
.
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
;
;
.
Разделим обе части этого уравнения на :
.
Так как для гиперболы , то. Положим. Тогда
, где . (40)
Итак, доказано, что если , то координаты точкиудовлетворяют уравнению (40).
Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (40), то она принадлежит гиперболе.
Пусть , где , координаты точки .
Найдем . Выразимиз уравнения:
.
Найдем
.
Аналогично .
при
при
Тогда .
Из условия (39) следует, что .
Итак, уравнение (40) есть уравнение гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Пользуясь каноническим уравнением гиперболы, докажем геометрические свойства гиперболы, которые понадобятся для построения изображения гиперболы.
Свойства гиперболы
1. Из уравнения (40) следует, что или. Следовательно, все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямымии(рис. 91).
2. Симметрия относительно начала координат и осей координат.
Пусть и . Из первого тождества следует, что, из второго – что, из третьего – что, а это означает, что гиперболасимметрична относительно начала координат, осии осисоответственно. Таким образом, точкаявляетсяцентром симметрии, оси и осями симметрии гиперболы .
Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы.
3. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии.
Чтобы найти точки пересечения гиперболы с осью, надо решить систему их уравнений:
Решая систему, получаем: .
Аналогично находим, что .
Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины.
Отрезки иназываются соответственнодействительной и мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа и действительной и мнимой «полуосями» гиперболы.
4. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой .
Для этого решим систему
Получаем уравнение . Корни это абсциссы точки пересечения прямой с. Рассмотрим три случая:
Если , т.е., тоиимеют две общие точки;
Если , т.е., то;
Если, т.е., то.
Следовательно, все точки гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92). Гипербола имеет две ветви.
Случаю 3) соответствуют две прямые ис угловыми коэффи-
циентами и. Эти прямые (и) называютсяасимптотами гиперболы.
При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки гиперболы точканеограниченно приближается к асимптоте.
Учитывая свойства 1- 4, построим изображение гиперболы (рис. 93):
Число называетсяэксцентриситетом гиперболы. Так как для гиперболы , то. Чем больше, тем больше гипербола «вытянута» вдоль мнимой оси.
Гипербола, у которой , называетсяравносторонней. Ее каноническое уравнение . Уравнения ее асимптот.
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии .
Уравнения директрис:
или ;
или (рис. 94).
Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния отдо фокуса к расстоянию отдо соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.
(рис. 94).
Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой.
Гипербола называетсясопряженной к гиперболе . Ее мнимой осью является ось(на рис. 94 она изображена пунктиром).