Задания для самостоятельной работы

1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:

а) ;

б) .

3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:

а) ;

б) .

4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

§ 30. Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не содержащей точку.

Точка называетсяфокусом параболы, а прямая  директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называетсяфокальным параметром параболы и обозначается через :

.

Коротко определение параболы можно записать так:

.

Пусть на плоскости дана прямаяи точка. Проведем из точкиперпендикулярк прямой. Выберем прямоугольную декартову систему координаттак, чтобы точкабыла серединой отрезка, а(рис. 95).

Выведем уравнение параболы с фокусоми директрисойв системе координат.

Найдем координаты точки и прямойв системе:.

Пусть . Тогда по определению параболы. Учитывая, что, получим:

.

Преобразуем это уравнение:

;

. (42)

Итак, если точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).

Пусть, обратно, координаты точки удовлетворяют уравнению (42), т.е.

.

Тогда ; а . Следовательно,, т.е.(по определению параболы).

Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы с фокусоми директрисой. Уравнение (42) называетсяканоническим уравнением параболы.

Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем геометрические свойства параболы.

Свойства параболы

1. Так как и, то из уравнения (42) следует, что, т.е. все точки параболы принадлежат полуплоскости.

2. Выясним, симметрична ли парабола относительно начала координат и осей координат.

Пусть , т.е. парабола симметрична относительно оси. Ось симметрии параболы называетсяосью параболы.

Заметим, что и, следовательно,и, т.е. парабола не симметрична относительно начала координат и оси.

3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

Таким образом, парабола имеет одну вершину.

4. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.

Чем больше фокальный параметр , тем сильнее парабола вытягивается вдоль оси.

5. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.

.

Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; строим точки; проводим через точкиипараболу; строим фокуси директрису(рис. 96).

Эксцентриситетом параболы называется число единица.

Из определения параболы следует, что, т.е. для параболы также имеет место директориальное свойство.

Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.

Если построить параболы ив той же канонической системе координат, то они будут расположены так (рис. 97):

Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает та переменная, которая стоит в первой степени.