- •Линии второго порядка Лекция 14 Эллипс. Гипербола. Парабола
- •§ 28. Эллипс
- •Свойства эллипса
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 29. Гипербола
- •Свойства гиперболы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 30. Парабола
- •Свойства параболы
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:
а) ; |
г) ; |
б) ; |
д) ; |
в) ; |
е) . |
2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:
а) ; |
в) ; |
б) ; |
г) . |
3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:
а) ; |
в) ; |
б) ; |
г) . |
Лекция 15
Понятие о классификации линий второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго
порядка к каноническому виду
§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка
Уравнение
, (43)
где не равны нулю одновременно, называетсяобщим уравнением линии второго порядка.
Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.
Справедлива
Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.
В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:
Название линии второго порядка |
Каноническое уравнение |
|
или или
или или или |
Задания для самостоятельной работы
1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:
а) ; г);
б) ; д);
в) ; е).
2. Определите тип линии второго порядка:
а) ; г);
б) ; д);
в) ; е).
3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:
а) ; в);
б) ; г).
4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:
а) ; г);
б) ; д);
в) ; е).
§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат, в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.
Итак, пусть линия второго порядка задана в системеобщим уравнением.
Если , то приведение общего уравнения линиик каноническому виду происходит в два этапа:
I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворотанаходят следующим образом:
Тогда координаты координатных векторов ив системебудут находиться так:
. (44)
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
(45)
Подставляем ииз формул (45) в общее уравнение линии. После преобразований исчезает член. Получаем уравнение линиив промежуточной системе координат.
II этап. Выделяем полные квадраты при ии совершаем перенос началав точкупо формулам
(46)
Координаты точкивычислены в системе.
Подставляем из формул (46) в уравнение линиив системе. После преобразований получаем каноническое уравнение линиив новой системеи определяем ее вид.
Строим старую систему координат , промежуточную, новуюи линиюпо ее каноническому уравнению в системе.
Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:
1.Уравнение содержит переменные иво второй степени. Тогда выделяются полные квадраты прии. В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.
2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.
3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.
Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу соII этапа.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача. Привести общее уравнение линиик каноническому виду, определить вид линиии построить ее изображение.
Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим.
Найдем угол поворота координатных осей:
Находим координаты координатных векторов ив системе координат:
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
Подставляем ииз полученных формул в общее уравнение линии:
После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат:
.
II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и:
Положим
тогда получаем формулы переноса начала:
При этом точка переходит в точку, координаты которой найдены в системе.
Линия в системебудет иметь уравнение
.
Приведем это уравнение к каноническому виду:
.
Следовательно, - гипербола с мнимой осью.
Последовательность построения изображения гиперболы такова:
а) Строим старую систему координат .
б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторовина угол, построим сначала вспомогательные векторыи, которые будут коллинеарны векторамисоответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатамии(рис. 98). Тогда единичные векторыибудут сонаправлены с векторамии, а оси координатипройдут через точкуи точкиисоответственно (рис. 98).
в) Строим новую систему координат .
г) Строим линиюпо ее каноническому уравнению в системе координат(рис. 99).