lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.

Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

b			0,	i ≠ j
∫
	ϕi (x)ϕj (x)dx =			i = j
a			1,
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ϕ1(x), ϕ2(x),
…,ϕn(x) называется ряд вида:		∞
	∑an ϕn (x)
	n=1
коэффициенты которого определяются по формуле:
	an =	∫b	f (x)ϕn (x)dx
		a			,
			∫b [ϕn (x)]2 dx
			a
∞
где f(x) = ∑an ϕn (x) - сумма	равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по
n=1

ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются: an = ∫b f (x)ϕn (x)dx

a

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

91

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Интеграл Фурье.

Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл

∞∫

f (x)

dx

−∞

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

a

0

∞

πn

πn

f (x) =

+ ∑ an

cos

x + bn sin

x

2

l

l

n=1

an =

1 l

f (t) cos

πn tdt,

n = 0,1,2,...

l −∫l

l

b =

1

l

f (t)sin πn tdt,

n =1,2,...

n

l −∫l

l

Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:

1 l

1

∞ l

πn

πn

l

πn

πn

f (x) =

∫ f (t)dt +

∫ f (t) cos

tdt cos

x

+ ∫ f (t)sin

tdt sin

=

2l

l

∑

l

l

l

l

x

−l

n=1

−l

−l

1

l

1

∞

l

πn

=

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos

(t − x)dt

2l

l

l

−l

n=1 −l

Переходя к пределу при l→∞, можно доказать, что liml→∞

1

∫l

f (t)dt = 0 и

2l

−l

1

∞

l

πn (t − x)dt

f (x) = liml→∞

∑∫ f (t) cos

l

n=1 −l

l

Обозначим un =

πn

;

un

= un+1 −un

= π;

1

=

un

;

l

π

l

l

При l→∞ un →0.

l

1

∞

f (x) =

liml→∞

∑ un ∫ f (t) cosun (t − x)dt

π

n=1

−l

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

					∞∫du	∞∫ f (t) cosu(t − x)dt
					0	−∞
	Тогда	f (x) =	1	∞∫du ∞∫ f (t) cosu(t − x)dt - двойной интеграл Фурье.
			π
				0	−∞

92

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Окончательно получаем:

f (x) = ∞∫[a(u) cosux + b(u)sin ux]du

		0
a(u) =		1	∞∫ f (t) cosutdt
		π
			−∞
b(u) =		1	∞∫ f (t)sin utdt
		π
			−∞

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

f (x) =	1	∞∫du ∞∫ f (t)eiu( x−t ) dt
	2π −∞ −∞

Преобразование Фурье.

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

F(u) = ∞∫ f (x)e−iux dx

−∞

называется преобразованием Фурье функции f(x).

Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).

Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

∞

		f (x) =	1	∫F(u)eiux du
			2π
				−∞
Это равенство называется обратным преобразованием Фурье
Интегралы F(u) =	2	∞∫ f (x) cosuxdx		и F(u) =	2	∞∫ f (x)sin uxdx называются
	π				π
		0				0

соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.

Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.

Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

93

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Элементы теории функций комплексного переменного.

Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

w = f(z)

Множество D называется областью определения, множество G – областью

значений функции.

Комплексную функцию можно записать в виде: w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y)

u(x, y) = Re f (z)

v(x, y) = Im f (z) u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому z D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной.

Определение. Функция		w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0,
равный числу А = a + ib, если		lim				f (z) − A		= 0
	z−z0			→0
						lim f (z) = A.
						z→z0

Свойства функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства:

1)	lim	[f (z) ± g(z)]= lim f (z) ± lim g(z)
	z→z0					z→z0		z→z0
2)	lim	[f (z) g(z)]= lim f (z) lim g(z)
	z→z0					z→z0		z→z0
			f (z)		lim f (z)
3)	lim			=	z→z0		;	lim g(z) ≠ 0.
			g(z)		lim g(z)
	z→z0							z→z0
					z→z0

Определение. Функция w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство

zlimz f (z) = f (z0 )

→ 0

Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

94

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

e

z

=1

+

z

+

z 2

+... +

z n

+...

1!

2!

n!

z 2n+1

sin z =

z

−

z3

+

z5

−... + (−1)n

+...

(2n +1)!

1!

3!

5!

cos z =1−

z 2

+

z 4

−... + (−1)n

z 2n

+...

4!

(2n)!

2!

См. Представление функций по формуле Тейлора.

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

e−iz = cos z +i sin z

Также справедливы равенства:

cos z =

eiz + e−iz

2

sin z =

eiz − e−iz

2i

ez = ex+iy

= ex eiy

= ex (cos y + i sin y)

ez1 +z2 = ez1 ez2 ;

(ez )m = ezm ;

ez+2πi = ez ;

tgz =

sin z

=

eiz

− e−iz

;

cos z

i(eiz

+ e−iz )

ctgz =

cos z

=

i(eiz + e−iz

)

;

sin z

eiz − e−iz

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

sh z =

ez −e−z

;

ch z =

ez + e−z

;

th z =

sh z

=

ez −e−z

; cth z =

ch z

=

ez + e−z

;

2

2

ch z

ez + e−z

sh z

ez − e−z

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

sh z = −i sin iz;	ch z = cosiz;
th z = −itg iz;	cth z = ictg iz;

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2πi, а функции th z и cth z – период πi.

95

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Пример. Найти sin(1+2i).

2i) =

ei−2

− e2−i

e−2 ei

− e

2e−i

e−2 (cos1

+ i sin1) − e2 (cos1

−i sin1)

sin(1+

=

=

=

2i

2i

2i

=

cos1(e−2

− e2 ) + i sin1(e2

+ e−2 )

=

e2

+ e−2

sin1+ i

e2 − e−2

cos1 = ch2sin1+ sh2cos1.

2i

2

2

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента

определяется как функция, обратная показательной.

ew = z;

w = Lnz.

Если w = u + iv, то

ew

= eu

и Arg ew = arg z + 2πk = v.

Тогда eu =

z

;

u = ln

z

.

Итого:

w = Lnz = ln

z

+ i arg z + 2πik;

k = 0,±1,±2,...

Для комплексного числа z = a + ib

arg z = arctg

b

;

a

Определение.

Выражение

ln z = ln

z

+ i arg z

называется главным значением

логарифма.

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1) ln(z1 z2 ) = ln z1 + ln z2 ;

2) ln zz1 = ln z1 −ln z2 ;

2

3)ln(z)n = n ln z;

4)ln n z = 1n ln z;

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют

вид:

2

2

1

2

Arc cos z = −i ln

z

±

z

−1

+ i[arg(z

±

z

−1) +

2πk

]

=

Ln(z

+

z

−1)

i

2

2

1

2

Arc sin z = −i ln

iz

±

1

− z

+ i[arg(iz

±

1− z

) +

2πk

]

=

Ln(iz

+

1− z

)

+ zi

i

i − z

+ zi

1

1

2πk

1

Ln

Arctgz = −i ln

+ i arg

+

=

1

− zi

1

− zi

2i

i + z

z 2

+1

+ i[arg(z ±

z 2

+1) + 2πk]= Ln(z ±

z 2

+1)

Arshz = ln

z ±

z 2

+i[arg(z ±

z 2

−1) + 2πk]= Ln(z ±

z 2

−1)

Archz = ln

z ±

−1

Arcthz =

1

Ln

1+ z

2

1− z

96

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Производная функций комплексного переменного.

Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

		w		f (z + z) − f (z)		′	dw
	lim		= lim		= f	(z) =
		z		z			dz
	z→0		z→0

Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.

Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.

Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам:

(shz)′ = chz;

(chz)′ = shz;

(thz)′ = ch12 z ;

Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

Условия Коши – Римана.

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

Рассмотрим функцию комплексной переменной w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) ,

определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

					f	′	w
						(z) = lim	z
						z→0
Стремление к нулю z→0 может осуществляться в следующих случаях:
1) z = x + i0 = x;			x → 0;
2) z = 0 +i y;	y → 0;
В первом случае:
′		w		u(x +		x, y) −u(x, y)			v(x + x, y) −v(x, y)
f (z) = lim			= lim					+i			=
		z				x			x
	z→0		x→0

= lim	u(x +	x, y) −u(x, y)	+i lim	v(x +	x, y) −v(x, y)	=	∂u	+i	∂v .
		x			x		∂x
x→0			x→0						∂x

Во втором случае:

97

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

′

w

u(x, y + y) −u(x, y)

v(x, y +

y) −v(x, y)

f (z) = lim

= lim

+i

=

z

i y

y

z→0

y→0

= −i lim

u(x, y +

y) −u(x, y)

+ lim

v(x, y +

y) − v(x, y)

= −i

∂u

+

∂v .

y

y

∂y

y→0

y→0

∂y

Тогда должны выполняться равенства:

∂u	=	∂v	;	∂u	= −	∂v	;
∂x		∂y		∂y		∂x

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема. Если функция w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

Теорема. Для того, чтобы функция w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была

аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Пусть w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) - непрерывная функция комплексного

переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

		у
		L	В
		А		х
Кривая L задана уравнением z = z(t) = x(t) +iy(t);				α ≤ t ≤ β
Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется
следующим образом:
∫ f (z)dz = ∫(u +iv)(dx + idy) = ∫(udx − vdy) +i∫(vdx + udy) =
L	L	L		L
β			β	′	′
′		′
= ∫[u(x(t), y(t))x (t) −v(x(t), y(t)) y (t)]dt + i			∫[v(x(t), y(t))x (t) +u(x(t), y(t))y (t)]dt
α			α

98

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

′	′	′	u(x(t), y(t)) = u(z(t)) , то
Если учесть, что z (t) = x (t) + iy (t);
	∫	β	′
		f (z)dz = ∫ f [z(t)]z (t)dt
	L	α

Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.

∫ f (z)dz = 0

L

Интегральная формула Коши.

Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.

D

ρ

z0

Тогда справедлива формула Коши:

f (z0 ) =	1		f (z)	dz
	2πi ∫L z − z0

где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Эта формула также называется интегралом Коши.

Ряды Тейлора и Лорана.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

Функция f(z), аналитическая в круге z − z0 < R , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

ck	=	f (k ) (z	0	)	=	1		f (z)dz	;	k = 0,1,2,...
		k!				2πi ∫L (z − z0 )k +1

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

99

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце r < z − z0 < R . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

∞			∞		∞		c−n
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n = ∑cn (z − z0 )n + ∑
						(z	− z	0 )	n
n=−∞			n=0		n=1
cn =	1		f (t)dt	;	n = 0,±1,±2,...
	2πi ∫γ (t − z0 )n+1

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

	∞	∞	c−n
f (z) = f1 (z) + f2 (z);	f1 (z) = ∑cn (z − z0 )n ;	f2 (z) = ∑				;
			(z − z	0 )	n
	n=0	n=1

Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.

Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге 0 < z − z0 < R за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.

Рассмотрим следующие частные случаи:

∞

1) Функция f(x) имеет вид: f (z) = f1 (z) = ∑ck (z − z0 )k . Т.к. степенной ряд

k =0

сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае ∫ f (z)dz = 0 для любого контура L, содержащего точку z0 и

L

принадлежащего к кругу z − z0 < R .

m	c−k		∞
2) Функция f(x) имеет вид: f (z) = f1 (z) + ∑			= ∑ck (z − z0 )k .
	(z − z0 )	k
k =1			k =−m

Вэтом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

zlim(z z − z0 )m f (z) = c ≠ 0

→ 0

z0 – полюс порядка т.

100