lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Криволинейные интегралы.
Определение. Кривая rG(t) = ϕ(t)i + ψ(t) j + γ(t)k	( a ≤ t ≤ b ) называется

непрерывной кусочно – гладкой, если функции ϕ, ψ и γ непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции ϕ, ψ и γ имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно.

Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной кривой. Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают.

r (a) = r (b)

Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция f (x, y, z) .

Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.

f (xi , yi , zi ) si

Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую

интегральнуюсумму функции f(x, y, z).

n

∑ f (xi , yi , zi ) si

i=1

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется

криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

∫ f (x, y, z)ds

AB

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1)Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3)Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4)Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x, y, z)ds + ∫ f (x, y, z)ds

AB AC CB

5) Если в точках кривой АВ

f1 (x, y, z) ≤ f2 (x, y, z)

то

111

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

∫ f1 (x, y, z)ds ≤ ∫ f2 (x, y, z)ds

AB AB

6)Справедливо неравенство:

∫f (x, y, z)ds ≤ ∫ f (x, y, z ds

AB

AB

7) Если f(x, y, z) = 1, то

	n
∫ds = limλ→0	∑ si = S;
AB	i=1
S – длина дуги кривой, λ - наибольшая из всех частичных дуг, на которые
разбивается дуга АВ.

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что

∫ f (x, y, z)ds = f (x1 , y1 , z1 ) S

AB

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),

α ≤ t ≤ β, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = α, а точке В соответствует t = β. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле (См. Вычисление длины дуги кривой.):

t

s = s(t) = ∫ x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

α

Длина всей кривой АВ равна:

β

S = ∫ x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

α

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

β

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

AB α

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

Пример.	Вычислить	интеграл ∫(x2 + y2 + z 2 )ds по одному витку винтовой
		AB
линии x = cost;	y = sin t;	z = t; 0 ≤ t ≤ 2π.

112

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

∫(x2	+ y2 + z 2 )ds =	2∫π(cos2 t + sin 2 t + t 2 ) (−sin t)2 + cos2 t +1dt =	2	2∫π(1+t 2 )dt =
AB		0		0

=2 2π 1+ 4π2 .

3

Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b, то получаем:

b

∫ f (x, y)ds = ∫ f (x,ϕ(x)) 1+ ϕ′2 (x)dx

AB a

Криволинейные интегралы второго рода.

Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками M (xi , yi , zi ) на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму

произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

n

∑P(α,β, γ) xi ; M (α,β, γ) xi

i=1

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется

криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

	n
∫P(x, y, z)dx = limλ→0	∑P(α,β, γ) xi
AB	i=1

Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).

Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.

	n
∫Q(x, y, z)dx = limλ→0	∑Q(α,β, γ)	yi
AB	i=1
	n
∫R(x, y, z)dx = limλ→0	∑R(α,β, γ)	zi
AB	i=1

Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.

∫P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB

113

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

∫P(x, y, z)dx = − ∫P(x, y, z)dx

			AB	BA
2)	∫kP(x, y, z)dx = k ∫P(x, y, z)dx;
	AB		AB
3)	∫(P1 (x, y, z) + P2 (x, y, z))dx = ∫P1 (x, y, z)dx + ∫P2 (x, y, z)dz
	AB		AB	AB
4)	∫P(x, y, z)dx = ∫P(x, y, z)dx + ∫P(x, y, z)dx
	AB	AC	CA

5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

∫P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

L

Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

∫P(x, y, z)dx = 0.

AB

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у

и z.

Теорема. Если кривая АВ – кусочногладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы

∫P(x, y, z)dx;	∫Q(x, y, z)dy;	∫R(x, y, z)dz;
AB	AB	AB

∫P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB

существуют.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

	β
	′
∫P(x, y, z)dx = ∫P(x(t), y(t), z(t))x (t)dt
AB	α
	β
	′
∫Q(x, y, z)dy = ∫Q(x(t), y(t), z(t)) y (t)dt
AB	α
	β
	′
∫R(x, y, z)dx = ∫R(x(t), y(t), z(t))z (t)dt
AB	α
	β
∫Pdx +Qdy + Rdz = ∫[Px′(t) + Qy′(t) + Rz′(t)]dt
AB	α

114

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то

xB

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫[P(x, f (x) + Q(x, f (x)) f ′(x)]dx

AB xA

	Пример.			Вычислить														криволинейный интеграл																				∫x2 ydx + x3dy .			L –		контур,
																																						L
ограниченный				параболами																	y2			= x;							x2 = y .					Направление обхода							контура
положительное.
								1
								0.8
								0.6
								0.4
								0.2
																		0.2						0.4							0.6							0.8	1
	Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и L2 =																																									x
∫x2 ydx + x3dy = ∫x2 ydx + ∫x3dy + ∫x2 ydx + ∫x3dy = ∫1																																						x4 dx + ∫1	x3 2xdx + ∫0			x2	xdx +
L							L1									L1								L2									L2			0		0			1
+ ∫0	x3		x5						2x5									3						3
		dx =					1 +									1 +	2x		2				0 +		x	2				0 =		3	−	3	=	6	;
1 2 x				5			0	5								0		7					1	7						1	5 7 35

115

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Формула Остроградского – Грина.

(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик, академик Петерб. А.Н.)

(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y2(x)

D

A

C

B

y= y1(x)

0

x1

x2

x

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

∫P(x, y)dx = ∫ + ∫ + ∫ + ∫

			L	AB		BC CD	DA
			∫		= ∫	= 0
			AB		CD
	x2		x1			x2		x2
∫P(x, y)dx = ∫P(x, y1 (x))dx + ∫P(x, y2 (x))dx = ∫P(x, y1 (x))dx − ∫P(x, y2 (x))dx
L	x1		x2			x1		x1
			x2
	∫P(x, y)dx = −∫(P(x, y2 (x)) − P(x, y1 (x)))dx
	L		x1
	P(x, y		y2 ( x)					= y2 ∂P dy
		2	(x)) − P(x, y (x)) = P(x, y)
			1			y	( x)	∫ ∂y
						1		y
								1
			x	y	∂P dydx = −∫∫∂P dydx
	∫P(x, y)dx = −∫2			∫2
	L		x	y	∂y		∂y
			1	1

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

∫	P(x, y)dx +Q(x, y)dy =		∂Q	− ∂P
					dydx
		∫∫	∂x	∂y
L

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров

116

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

	интегрируется в таком направлении, чтобы область																все время оставалась по левую
	сторону линии обхода.
	Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой
	Остроградского – Грина.																				5
																1				1
	∫x2 ydx + x3dy = ∫∫(3x2											− x2 )dydx = ∫∫2x2 dydx = ∫2x2 y							x	dx = ∫2(x		− x4 )dx =
																					2
																		x2
	L															0				0
		2	7			x5			1	2			1		6
	= 2		x 2 −							= 2		−		=		.
		7								7			5		35
						5 0

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.

Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.

Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.

∂∂Py = ∂∂Qx

Поверхностные интегралы первого рода. z

Si

0 y

x

Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.

Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей.

Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (α, β, γ) на площадь частичного участка Si, содержащего эту точку.

F(α,β, γ) Si

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения λ поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется

поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади

поверхности.
		n
	∫∫F(x, y, z)dS = limλ→0	∑F(αi ,βi , γi ) Si
	S	i=1

117

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами:

1) ∫∫dS = S S – площадь поверхности.

S

2) ∫∫kF(x, y, z)dS = k ∫∫F(x, y, z)dS; k = const

S S

3) ∫∫[F1 (x, y, z) + F2 (x, y, z)]dS = ∫∫F1 (x, y, z)dS + ∫∫F2 (x, y, z)dS

S S S

4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то

∫∫F(x, y, z)dS = ∫∫F(x, y, z)dS + ∫∫F(x, y, z)dS

S

S1

S2

5)Если F1 (x, y, z) ≤ F2 (x, y, z) , то

∫∫F1 (x, y, z)dS ≤ ∫∫F2 (x, y, z)dS

S S

6) ∫∫F(x, y, z)dS ≤ ∫∫ F(x, y, z) dS

S

S

7) Теорема о среднем.

Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (α, β, γ) такая, что

∫∫F(x, y, z)dS = F(α,β, γ) S

S

S – площадь поверхности.

Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади

проекции поверхности на плоскость XOY.

∫∫F(x, y, z)dS = ∫∫F(x, y, f (x, y)) 1+ f x′2 (x, y) + f y′2 (x, y)dxdy

S

Поверхностные интегралы второго рода.

Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

118

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

	n
∫∫R(x, y, z)dxdy = limλ→0	∑R(αi ,βi , γi )(	Si )xy
S	i=1
	n
∫∫P(x, y, z)dydz = limλ→0	∑P(αi ,βi , γi )(	Si ) yz
S	i=1
	n
∫∫Q(x, y, z)dzdx = limλ→0	∑Q(αi ,βi , γi )(	Si )zx
S	i=1

∫∫P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy

S

- поверхностный интеграл второго рода.

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то ∫∫R(x, y, z)dxdy = 0 . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX

S

и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.

Пример. Вычислить интеграл ∫∫(z − R)2 dxdy по верхней стороне полусферы

S

x2 + y2 + z 2 = 2Rz, R ≤ z ≤ 2R.

Преобразуем уравнение поверхности к виду: x2 + y2 + (z − R)2 − R2 = 0 z = R + R2 − x2 − y2

119

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

10

8

4

6

2

0

-4

-2

-2

0

2

-4

4

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

x2 + y2 ≤ R2

∫∫(z − R)2 dxdy = ∫∫(R2 − x2 − y2 )dxdy

S

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам: (См. Двойной интеграл в полярных координатах.)

		∫∫(R2 − x2	− y2 )dxdy = ∫∫ f (ρ,ϕ)ρdρdϕ,												ρ =		x2 + y2
							τ
		2π	R				2π	R	2	ρ	2		ρ	4 R				R	4	2π	πR	4
	2			2		2
∫∫(z − R)		dxdy = ∫dϕ∫(R			−ρ		)ρdρ = ∫					−					dϕ =			∫dϕ =
									2				4					4			2
S		0	0				0								0					0

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(P cosα +Q cosβ+ R cos γ)dS

S S

В этой формуле cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

Формула Гаусса – Остроградского.

Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

120