lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса –

Остроградского:

∫∫	Pdydz +Qdzdx + Rdxdy =			∂P(x, y, z)	+ ∂Q(x, y, z)	+ ∂R(x, y, z)
							dxdydz
		∫∫∫		∂x	∂y	∂z
S		V

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Тиеют место формулы:

V = ∫∫xdydz = ∫∫ydxdz = ∫∫zdxdy = ∫∫∫dxdydz

S S S V

Пример. Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид: x2 + y2 + z 2 = R2 . Найти объем шара можно по формуле:

V = ∫R

2

2

R2 −x2 −y2

2

2

R ∫−x

∫dzdydx = 8∫R dx

R ∫−x

R2

− x2 − y2 dy =

−R− R2 −x2 − R2 −x2 −y2

0

− R2 −x2

R y R2

− x2 − y2

R2 − x2

y

R2 −x2

R

R2 − x2

π

2

x3

R

=

8

∫

+

arcsin

dx

= 8

∫

dx = 2π

R

x −

=

2

2

2

2

3

R

2

− x

2

0

0

0

0

=

4πR3

.

3

Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. (См. Сферическая система координат.) Это значительно упростит интегрирование.

π	π	R	π	π	R	3		2	π	4πR	3
V = ∫dθ2∫dϕ∫ρ2 sin ϕdρ = 2∫dθ∫							sin ϕdϕ =		∫2R3dθ =			.
					3			3		3
0	0	0	0	0					0

121

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Элементы теории поля.

Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M).

Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор F , то задается векторное поле F (М).

Пусть в пространстве М задана поверхность . Будем считать, что в каждой точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором n(P) .

В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой точке точке пространства вектор, определенный координатами:

F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки i и составить сумму ∑(F(Pi )nG(Pi )) i , где FnG - скалярное произведение, то предел этой

i

суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет поверхностным интегралом.

∫∫FnGd
Определение. Поверхностный интеграл ∫∫FnGd	называется потоком
векторного поля F через поверхность .

Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности.

Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то

получаем соотношение:

GG

= ∫∫[P cos α +Q cosβ + R cos γ]d

= ∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy

∫∫Fnd

Если на

области

существует

функция

f(x, y, z), имеющая непрерывные

частные производные, для которых выполняются свойства:

∂f = P;

∂f

= Q;

∂f

= R;

∂x

∂y

∂z

то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F .

Тогда вектор F является градиентом функции f.

G

=

∂f

G

∂f

G

+

∂f

G

F = gradf

∂x

i +

∂y

j

∂z

k

Потенциал может быть найден по формуле:

x	y	z
f (x, y, z) = ∫P(x, y0 , z0 )dx + ∫Q(x, y, z0 )dy + ∫R(x, y, z)dz
x0	y0	z0

122

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В качестве такой точки удобно брать начало координат.

Теорема. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой области, имело потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

1)Интеграл от вектора F по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему области, равен нулю.

2)Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две любые точки поля не зависит, от пути интегрирования.

Формула Стокса.

(Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик)

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный

кусочно – гладкий контур поверхности S.
z	S

L

y

l

x

Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

β

′

′

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ∫[P(x(t), y(t), z(t))x (t) +Q(x(t), y(t), z(t))y (t) +

L

α

β

∂z

∂z

′

∫

′

′

′

′

+ R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt =

[Px (t) +Qy (t) + R

∂x

x (t) +

∂y

y

(t) ]dt

=

α

β

∂z

∂z

∂z

∂z

= ∫ P + R

x′(t)

+ Q + R

y′(t) dt =

∫ P + R

dx + Q

+ R

dy

α

∂x

∂y

L

∂x

∂y

Введем обозначения:

p =

∂z

; q =

∂z

;

∂x

∂y

123

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

∫

Pdx + Qdy +

Rdz =

∫∫

∂R ∂Q

∂P ∂R

∂Q

∂P

−

−

−

dydz +

dzdx +

dxdy

L

S

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

эта формула и называется формула Стокса.

Определение. Вектор BG , компоненты которого равны соответственно равны

B

x

=

∂R

−

∂Q

;

B

y

=

∂P

−

∂R

;

B

z

=

∂Q

−

∂P

;

∂x

∂y

∂z

∂z

∂x

∂y

называется вихрем или ротором вектора F = Pi + Qj + Rk

и обозначается:

rotF

Определение.

G

∂

∂

∂

G

∂

G

∂

G

∂

Символический

вектор

=

,

,

= i

+ j

+ k

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

∂z

называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ - “набла”.

С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F .

G	G G		iG		Gj		k
			∂		∂		∂
rotF	= × F	=
			∂x		∂y		∂z
			P		Q		R

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторногоG поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от

вектора F по ориентированной кривой L.

∫FGdsG = ∫Pdx + Qdy + Rdz

L L

Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля F вдоль контура L.

Ц = ∫FdsG = ∫Pdx + Qdy + Rdz

LL

Ввекторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:

Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.

124

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

∫FdsG = ∫∫nGrotFd

λ

Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса.

Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Определение. Выражение ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz называется дивергенцией вектора

(дивергенцией векторной функции) F = Pi + Qj + Rk и обозначается

divFG = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz

Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:

∫∫	(P cos α +Q cosβ+ R cos γ)dS =			∂P	+ ∂Q	+ ∂R
							dxdydz
		∫∫∫		∂x	∂y	∂z
S		V

или

∫∫∫divFdv = ∫∫FnGdS

V S

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом.

ОпределениеG . Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым),

если div F =0 .

C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом:

gradf = f ; divF = F; rotF = × F;

Как было сказано выше (См. Уравнение Лапласа.), выражение

	=	∂2	+	∂2	+	∂2
		∂x2		∂y2		∂z 2

называется оператором Лапласа.

Справедливы следующие соотношения:

div(gradf ) = f ; f = f

Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой. Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.

125

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Пример. Найти rot(r a) r , если rG = xi + yj + zk;

aG = i + j + k.

Найдем скалярное произведение: r a = x + y + z;

Найдем скалярное произведение:

(r a) r ={P,Q, R} ={x2 + xy + xz, yx + y2 + yx, xz + yz + z 2 }

i

j

k

G

∂R

∂Q

G ∂R

∂P

G

∂Q

∂P

G G G

∂

∂

∂

rot(r a) r

=

= i

−

− j

−

+ k

−

=

∂x ∂y ∂z

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

P

Q

R

= i (z − y) − j(z − x) + k ( y − x)

Пример. Найти поток векторного поля F = ( y − x)i треугольника S, вырезанного из плоскости x + плоскостями.

z

+ (x + y) j + yk через сторону y + z −1 = 0 координатными

													x = 1 – z											z = 1 - y
																						y = 1 - x																									x
										y
					G	G																												1			1−y
			П = ∫∫F nds = ∫∫( y − x)dydz + (x + y)dxdz + ydxdy = ∫dy ∫( y + y + z −1)dz +
					S			S																										0			0
			1		1−z					1			1−x			1							z		2						1−y				1						1−z						1			y	2		1−x
		+ ∫dz ∫(x +1− z − x)dx + ∫dx ∫ydy = ∫																2yz			+							− z						+ ∫[x − zx]											+ ∫										=
			0		0					0		0				0					2											0			0					0							0			2		0
			=	1	2y − 2y2 +			1	− y +		y2	−1			+ y dy			+ 1 [1			− z − z + z 2 ]dz +																1			1	− x +					x2				dx =
																																					∫
				∫			2			2								∫																						2							2
				0														0																			0
	1		3y	2		1							z	3	1				x	2				x		3				1					y	3						y					1									1
=		−			+ 2y −		dy +			z − z 2 +						+	x	−				+									=	−						+ y2 −										+1				−1+					+
	∫0		2			2						3			0	2 2									6				0						2					2					0											3

126

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

+ 12 − 12 + 16 = − 12 +1− 12 + 63 = 12 .

Пример. Найти div(grad u), если u = ex+y+z .

gradu = ∂∂ux iG + ∂∂uy Gj + ∂∂uz kG = ex+y+z [iG + Hj + kG] P = Q = R = ex+y+z ;

div(gradu) = 3ex+y+z = 3u.

Пример. Определить является ли векторное поле

F = (5x + 6yz; 5y + 6xz; 5z + 6xy)

и найти его потенциал.

gradu = ∂u , ∂u , ∂u

∂x ∂y ∂z

P =	∂u	= 5x + 6yz; Q =	∂u	= 5y + 6xz; R =	∂u	= 5z + 6xy;
	∂x		∂y		∂z

Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:

1)	∂P				=	∂Q				; 6z = 6z;
		∂y					∂x
2)		∂Q			=			∂R		; 6x = 6x;
		∂z						∂y
3)		∂P			=		∂R			; 6y = 6y;
		∂z					∂x

Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля.справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.

Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:

	x	y	z	5			5			5
	u = ∫5xdx + ∫5ydy + ∫(5z + 6xy)dz =				x2	+		y2	+		z 2	+ 6xyz;
				2			2			2
	0	0	0

127