lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” y2′ = −2C sin 2x + 2D cos 2x;

y2″ = −4C2cos x − 4D sin 2x;

−4C cos 2x − 4D sin 2x + C cos 2x + D sin 2x = −sin 2x;

−3C cos 2x −3D sin 2x = −sin 2x

	A = 0; B =	1	;
		3

Итого: y2 = 13 sin 2x;

Т.е. искомое частное решение имеет вид: y = y1 + y2 = 13 sin 2x + x;

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

y = 13 sin 2x + x + C1 cos x + C2 sin x;

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение y′′− 2y′+ y = 3ex .

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

k 2 − 2k +1−0;			k1 = k2 =1;
Общее решение однородного уравнения:			y = C ex + C				2	xex .
			1
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
	y = xr eαxQ(x)
α =1; r = 2; Q(x) = C;
	y = Cx2 ex .
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
y′ = 2Cxex +Cx2ex ;	y′′ = 2Cex		+ 2Cxex			+ 2Cxex + Cx2ex .
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
2Cex + 4Cxex + Cx2 ex − 4Cxex − 2Cx2ex						+Cx2ex = 3ex .
	2C = 3;	C =		3	.
			2

Частное решение имеет вид: y = 32 x2ex .

Общее решение линейного неоднородного уравнения: y = C1ex +C2 xex + 32 x2ex .

Пример. Решить уравнение y′′′− y′ = x2 −1.

Характеристическое уравнение: k 3 − k = 0; k(k 2 −1) = 0; k1 = 0; k2 =1; k3 = −1;

51

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Общее решение однородного уравнения: y = C + C		ex + C	e−x .
1	2	3
Частное решение неоднородного уравнения: y = xr eαxQ(x) .
α = 0; r =1; Q(x) = Ax2 + Bx + C.
y = Ax3 + Bx2	+ Cx

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: y′ = 3Ax2 + 2Bx + C; y′′ = 6Ax + 2B; y′′′ = 6A;

6A −3Ax2 − 2Bx −C = x2 −1;

−3A =1; − 2B = 0; 6A −C = −1;

	A = −	1	; B = 0; C = −1;
		3

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: y = C1 + C2ex + C3e−x − 13 x3 − x.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

F	(x, y , y		2	,..., y	n	, y′, y′		,..., y′ ) = 0
1	1					1	2	n
F2 (x, y1						′	′	′
		, y2 ,..., yn , y1					, y2	,..., yn ) = 0
......................................................
	(x, y1	, y2		,..., yn , y1′, y′2				,..., yn′ ) = 0
Fn

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется

нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

dy1

= f (x, y , y ,..., y

)

dx

1

1

2

n

dy2

= f2

(x, y1 , y2

,..., yn )

(1)

dx

........................................

dyn

= f

(x, y

, y

,..., y

)

n

2

n

1

dx

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции f1 (x, y1 , y2 ,..., yn ), f2 (x, y1 , y2 ,..., yn ), … fn (x, y1 , y2 ,..., yn )

52

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y1 , y2 ,..., yn , то для любой точки (x0 .y10 , y20 ,..., yn0 ) этой области существует единственное решение

y1 = ϕ1 (x), y2 = ϕ2 (x), ... yn = ϕn (x)

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям x0 .y10 , y20 ,..., yn0 .

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида

(1) будет совокупность функций y1 = ϕ1 (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) , y2 = ϕ2 (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) , … yn = ϕn (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных постоянными коэффициентами называется линейной однородной, записать в виде:

	dy			= a y + a z + a u
	dx
			11		12	13
	dz			= a21 y + a22 z + a23u
	dx
	du			= a31 y + a32 z + a33u
	dx

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

уравнений c если ее можно

(2)

1)Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2)Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде: y = αekx ; z = βekx ; u = γekx , α,β, γ, k = const

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

(a11 − k)α + a12β + a13 γ = 0a21α + (a22 − k)β + a23 γ = 0a31α + a32β + (a33 − k)γ = 0

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

53

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

	a11 − k	a12	a13
	a21	a22 − k	a23		= 0
	a31	a32	a33 − k

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы

(2):

y1 = α1ek1x , y2 = α2ek2 x , y3 = α3ek3x ,

z1 = β1ek1x , z2 = β2 ek2 x , z3 = β3ek3x ,

u1 = γ1ek1x , u2 = γ2ek2 x , u3 = γ3ek3x .

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

y = C1α1ek1x + C2α2 ek2 x + C3α3ek3x ; z = C1β1ek1x + C2β2ek2 x + C3β3ek3x ; u = C1γ1ek1x + C2 γ2ek2 x + C3 γ3ek3x .

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

x′ = 5x + 2yy′ = 2x + 2y

Составим характеристическое уравнение:

5 − k

2

= 0;

(5 − k)(2 − k) − 4 = 0;

10 −5k − 2k + k 2 − 4 = 0;

2

2 − k

k 2 − 7k + 6 = 0;

k1 =1;

k2 = 6;

Решим систему уравнений:

(a

− k)α + a β = 0

11

12

a21α + (a22 − k)β = 0

Для k1:

(5 −1)α

1

+ 2β

1

= 0

4α

1

+ 2β

1

= 0

2α1

+ (2 −1)β1 = 0

2α1 +β1 = 0

Полагая α1 =1(принимается любое значение), получаем: β1

= −2.

Для k2:

(5 − 6)α2 + 2β2 = 0

−1α2 + 2β2 = 0

+ (2

− 6)β2 = 0

− 4β2 = 0

2α2

2α2

Полагая α2 = 2 (принимается любое значение), получаем: β2

=1.

t

6t

x = C1e

+ 2C2e

Общее решение системы:

t

6t

+ C2e

y = −2C1e

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: x′′ = 5x′+ 2y′;

Подставим в это выражение производную у′=2x + 2y из второго уравнения.

x′′ = 5x′+ 4x + 4y;

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

54

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

x′′ = 5x′+ 4x + 2x′−10x x′′−7x′+ 6x = 0

k1 = 6;

k2

=1

x = Aet + Be6t ;

x′ = Aet + 6Be6t ;

2y = x′−5x = Aet + 6Be6t −5Aet −5Be6t ;

y = −2Aet +

1

Be6t ;

2

t

6t

1

x = C1e

+

2C2e

Обозначив

A = C1;

B = C2 , получаем решение системы:

2

t

+ C2e

6t

y = −2C1e

Пример. Найти решение системы уравнений

y′ = y + zz′ = y + z + x

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем: y′′ = y′+ z′.

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: y′′ = y′+ y + z + x . С учетом первого уравнения, получаем: y′′ = 2y′+ x.

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

y′′− 2y′ = x;	y′′− 2y′ = 0;	k 2 − 2k = 0; k1 = 0; k2 = 2.
Общее решение однородного уравнения:		y = C + C		e2 x .
		1	2

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по

формуле y = xr eαxQ(x); α = 0; r =1;			Q(x) = Ax + B;
y = Ax2 + Bx; y′ = 2Ax + B; y′′ = 2A;
2A − 4Ax − 2B = x;							A = −				1	; B = −			1	;
															4
Общее решение неоднородного уравнения:						4
		y = C + C			e2 x −			1		x(x +1).
		1		2		4
													, получаем:
Подставив полученное значение в первое уравнение системы
	z = −C + C			e2 x		+	1		(x2 − x −1).
	1		2			4

Пример. Найти решение системы уравнений:

y′ = z + wz′ = 3y + w

w′ = 3y + z

55

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Составим характеристическое уравнение:

− k

1

1

− k

1

3 1

3 − k

3 − k

1

= 0;

− k

−

+

= 0;

3

1

− k

1

− k

3

− k

3 1

− k(k 2 −1) + 3k + 3 +3 + 3k = 0;

k 3 − 7k − 6 = 0;

k1 = −1; k2 = −2; k3 = 3;

1)

k = -1.

α +β + γ = 0

α = 0; β = −γ;

3α +β + γ = 0;

3α +β + γ = 0

Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем:

y = 0;

z = −e−x ;

w = e−x ;

1

1

1

2)

k2 = -2.

2α +β+ γ = 0

α = −γ; β = γ;

3α + 2β + γ = 0;

3α +β + 2γ = 0

Если принять γ = 1, то получаем:

y

2

= −e−2 x ;

z

2

= e−2 x ;

w = e−2 x ;

2

3)

k3 = 3.

−3α +β + γ = 0

2

α =

γ;

β = γ;

3α −3β + γ = 0 ;

3

3α +β −3γ = 0

Если принять γ = 3, то получаем:

	y	3	= 2e3x ; z		3	= 3e3x ;			w = 3e3x ;
									3
Общее решение имеет вид:
			y = −C2 e−2 x + 2C3e3x
			z = −C1e−x + C2 e−2 x + 3C3e3x
			w = C e−x		+ C		e−2 x	+	3C	e3x
				1		2			3

Элементы теории устойчивости.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

56

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

dyi	= f	i	(t, y , y	2	,..., y	n	);	(i =1,2,..., n)	(1)
dt			1

и начальные условия: yi (t0 ) = yi0 .

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального

уравнения

dy

= f (t, y) непрерывна и по

dt

(

≤ N )

переменной у имеет ограниченную частную производную

f y′

на области

прямоугольника, ограниченного D = {t0

− a ≤ t ≤ t0 + a,

y0 −b ≤ y

≤

y0 + b}, то решение

y(t) = y(t,t0 , y0 ) ,

удовлетворяющее

начальным

условиям

y(t0 ) = y0 ,

непрерывно

зависит от начальных данных, т.е. для любого ε > 0

> 0 , при котором если

y0 − y0

< 0, то

y(t,t0 , y0 ) − y(t,t0 y0 )

< ε при условии, что

t0

−t

< T;

T < T0 ,

где

T0 = min a,

1

,

b

,

M = max

f (t, y)

.

N

M

(t, y) D

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову,

если

для

любого

ε > 0

> 0 ,

такое,

что

для

любого

решения

y(t) = {y1 (t), y2 (t),..., yn (t)}

той

же системы,

начальные

условия

которого

удовлетворяют неравенствам

yi (t0 ) − ϕi (t0 )

<

справедливы неравенства

i = (1, n

)

yi (t) − ϕi (t)

t [t0 ,∞)

< ε

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0.

Если

lim

yi (t) − ϕi (t)

) ,

то

решение

ϕ(t)

называется

= 0, i = (1, n

t→∞

асимптотически устойчивым.

Исследование на

устойчивость

по

Ляпунову

произвольного

решения

ϕ(t) = {ϕ (t),ϕ

2

(t),...,ϕ

n

(t)}

системы

dyi

= f

(t, y , y

2

,..., y

n

);

(i =1,2,..., n) можно

1

dt

i

1

свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

57

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Тогда:

xi (t) = yi (t) − ϕi (t),

i =1,..., n.

dyi

dxi

dϕi

=

+

dxi

dt

dt

dt

= f

[t, x

+ ϕ (t),..., x

n

+ ϕ

n

(t)]− f

[t,ϕ (t),...,ϕ

n

(t)],

i =1,..., n.

(2)

dt

i

1

1

i

1

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение xi (t) = 0.

Теорема.

Решение ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} системы

(1) устойчиво

по

Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой

покоя.

Определение.

Точка покоя

xi (t) = 0 системы (2) устойчива по Ляпунову, если

для любого ε > 0

(ε) > 0 такое, что из неравенства

следует

xi (t0 )

<

(ε)

(i =1,..., n)

xi (t)

(i =1,..., n)

t ≥ t0 .

< ε

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

dyi

= f

(t, y , y

2

,..., y

n

);

(i =1,2,..., n)

dt

i

1

имеющая тривиальное решение yi (t) = 0 .

Пусть существует дифференцируемая функция v( y1 ,..., yn ) , удовлетворяющая условиям:

1)v( y1 ,..., yn ) ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

2)Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

	dv		n	∂v		∂yi		n	∂v
		= ∑					= ∑			fi (t, yi ,..., yn ) ≤ 0	при t ≥ t0
				∂yi ∂t
	dt		i=1				i=1		∂yi
Тогда точка покоя yi			≡ 0,	i =1,..., n				устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой
окрестности начала координат (y12								+... + yn2 ≥ ) выполнялось условие
							∂v	≤ −β < 0, (t ≥ t0 ),
							∂t
где β - постоянная величина, то								точка покоя yi ≡ 0,			i =1,..., n асимптотически
устойчива.

Функция v называется функцией Ляпунова.

58

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dxdt = a11 x + a12 y

dy = a21 x + a22 ydt

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

	a11 − λ	a12		= 0
	a21	a22 − λ

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

λ1 < 0, λ2 < 0, λ1 ≠ λ2 .

Точка покоя x = y ≡ 0 будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

λ1 = 0, λ2 < 0 или λ1 = λ2 < 0 .

Вэтом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней λ1 ,λ2

положителен.

В этом случае точка покоя

x = y ≡ 0 неустойчива,

и

такую

точку

называют

неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны λ1 > 0,

λ2 > 0 .

В этом случае точка покоя

x = y ≡ 0 неустойчива,

и

такую

точку

называют

неустойчивым узлом.

λ1t

λ2t

x = C1α1e

+ C2β1e

системы исключить параметр t, то

Если полученного решения

λ1t

λ2t

+ C2β2e

y = C1α2e

полученная функция y = ϕ(t) дает траекторию движения в системе координат XOY. Возможны следующие случаи:

β

β

α α

Устойчивый узел.	Неустойчивый узел.	Седло.
5) Корни характеристического уравнения комплексные λ1 = p + iq,		λ2 = p −iq .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

59

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Такая точка покоя называется центром.

Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом. Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных

называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

∂u

∂u

∂u

∂k u

F x

, x

,..., x

,

,

,...,

,...,

= 0

∂x

∂x

∂x

∂xk1

...∂xkn

1

2

n

2

n

1

1

n

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция u = u(x1 , x2 ,..., xn ) , которая обращает уравнение в тождество.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции u = u(x1 , x2 ,..., xn ) можно в общем виде записать как

			∂u		∂u			∂u
F x1	, x2	,..., xn ,		,			,...,				= 0
			∂x		∂x	2		∂x
			1						n

Линейное уравнение в частных производных имеет вид:

X

(x

, x

,..., x

n

)

∂u

+ X

(x

, x

,..., x

n

)

∂u

+... + X

n

(x

, x

,..., x

n

)

∂u

= 0 , (1)

∂x

∂x

1

1

2

2

1

2

∂x

2

1

2

n

1

где Xi – некоторые заданные функции.

Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.

Рассмотрим систему уравнений:

dx1

=

dx2

= ... =

dxn

;

(2)

X 2

X1

X n

или

dx1

=

X1

;

dx2

=

X 2

; ...

dxn−1

=

X n−1

- такая система называется нормальной.

dxn

dxn

dxn

X n

X n

X n

Общее решение этой системы имеет вид:

x

= f

1

(x

n

,C

,C

2

,...,C

n−1

)

1

1

x2

= f2 (xn ,C1 ,C2 ,...,Cn−1 )

..........................................

x

n

−1

=

f

n−1

(x

n

,C ,C

2

,...,C

n−1

)

1

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

60