lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

∞	∞	∞
∑an xn ± ∑bn xn = ∑(an ± bn )xn
n=0	n=0	n=0

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

∞	∞	∞
∑an xn ∑bn xn = ∑сn xn
n=0	n=0	n=0

Коэффициенты сi находятся по формуле:

cn = a0bn + a1bn−1 +... + an−1b1 + anb0

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

∞

∑an xn

∞

∞

=

∑qn x

n

n=0

∑bn xn

n=0

Для

определения

n=0

qn

рассматриваем

произведение

коэффициентов

∞

∞

∞

∑qn xn ∑bn xn = ∑an xn , полученное

из

записанного выше равенства и решаем

n=0

n=0

n=0

систему уравнений:

a0 = q0b0

a

= q b

+ q b

0

1

0 1

1

= q0b2

+ q1b1 + q2b0

a2

....................................

= q b

+ q b

+... + q b

a

n

0 n

1

n−1

n 0

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию 1−1 x .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

81

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

1				1 - x
1 – x				1 + x + x2 + x3 + …
	x
	x – x2
	x2

x2 – x3 x3

……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2

+... +

f (n) (0)

xn + Rn (x) ,

1!

2!

1

n!

то получаем: f

′

f

′

− x)2 ;

(x) = (1

(0) =1;

f

′′

2

;

f

′′

(x) = (1− x)3

(0) = 2;

f

′′′

2 3

f

′′′

;

(x) = (1− x)4

(0) = 3!;

……………………………….

f (n) (x) =

n!

;

f (n) (0) = n!;

(1− x)n+1

Итого, получаем: f (x) =1+ x + x2

+... + xn

+...

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции df (x) = f ′(x)dx и интегрируем его в пределах от 0 до х.

∫x df (x) = ∫x		f ′(x)dx;	f (x)			x	= ∫x	f ′(x)dx;
				0
0	0						0
	f (x) = f (0) + ∫x			f ′(x)dx;
			0

Пример. Разложить в ряд функцию f (x) = ln(1+ x).

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше. (См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

	′					1
					1+ x получаем по приведенной выше формуле:
	При f (0) = 0, f (x) =
									ln(1+ x) = ∫x	1	dx
										1+ x
								0
	Разложение в ряд функции				1			может быть легко найдено способом алгебраического
		1		+ x

деления аналогично рассмотренному выше примеру.

82

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

1

=1− x + x2

− x3

+ x4

−... + (−1)n xn

+...

1+ x

x

1

x

∞

∞

x

∞

Тогда получаем: ln(1+ x) = ∫

dx =

∫∑(−1)n xn dx = ∑∫(−1)n xn dx = ∑(−1)n

1+ x

0

0 n=0

n=0 0

n=0

Окончательно получим:

ln(1+ x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+... + (−1)

n

xn+1

+...

2

3

4

n +1

Пример. Разложить в степенной ряд функцию arctgx . Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

	′	1	;
		1+ x2
	f (x) = arctgx; f (0) = 0; f (x) =

xn+1

n +1

arctgx = ∫x	1		dx
	1+ x	2
0

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

1		1 + x2
1 + x2		1 – x2 + x4- …

-x2

-x2 – x4 x4

x4 + x6

………….

1

=1− x2

+ x4

−... + (−1)n x2n +...

1+ x2

x

1

x ∞

∞ x

∞

x

2n+1

Тогда arctgx = ∫

dx = ∫∑(−1)n x2n dx = ∑∫(−1)n x2n dx = ∑(−1)n

1+ x

2

2n +1

0

0 n=0

n=0 0

n=0

arctgx = x −

x3

x5

n

x2n+1

Окончательно получаем:

+

−... + (−1)

+...

3

5

2n +1

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: y(n) + p1 (x) y(n−1) + p2 (x) y(n−2) +... + pn (x) y = f (x)

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

83

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 +...

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов.

Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения y′′− xy = 0 c начальными условиями y(0)=1,

y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде y = c0 + c1 x + c2 x2 +...

y′ = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 +...

y′′ = 2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

(2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...) − (c0 x + c1 x2 + c2 x3 + c3 x4 +...) = 0 2c2 + x(6c3 − c0 ) + x2 (12c4 −c1 ) + x3 (20c5 − c2 ) + x4 (30c6 −c3 ) +... = 0

Отсюда получаем: 2c2 = 0

6c3 −c0 = 0

12c4 −c1 = 0

20c5 − c2 = 0

30c6 −c3 = 0

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

c0

=1

c1

= 0

Окончательно получим: c

0

=1;

c = 0;

c

2

= 0; c

3

=

1

;

c

4

= 0;

c

5

= 0; c

6

=

1

; ...

1

6

180

Итого:

y =1+

x3

+

x6

+...

6

180

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем

искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. y = y(0) + y′1(!0) x + y′′2(!0) x2 + y′′3′(!0) x3 +...

84

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Если заданные начальные условия

y(0)=1,

y’(0)=0

подставить в исходное

дифференциальное уравнение, получим, что y

′′

(0) = 0.

виде y′′ = xy и будем

Далее запишем дифференциальное

уравнение в

последовательно дифференцировать его по х.

y

′′′

′

y

′′′

= y + xy

;

(0) = y(0) =1;

y

IV

= y

′

+ y

′

′′

y

IV

(0) = 0;

+ xy

;

y

V

= 2y

′′

+ y

′′

+ xy

′′′

y

V

(0)

= 0;

;

yVI

= 3y′′′+ y′′′+ xy IV ;

yVI (0) = 4;

..........................................................

После подстановки полученных значений получаем:

y =1+

x3

+

x6

+

...

6

180

Ряды Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

	a0	+ (a cos x + b sin x) + (a			2	cos 2x + b	sin 2x) +... + (a	n	cos nx + b sin nx) +...
2			1	1		2			n
			a0	∞
или, короче,				+ ∑(an cos nx +bn sin nx).
			2
				n=1

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического

ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2π, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2π.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

π	0,	m ≠ n, m = 0,1,2,..
∫cos mx cos nxdx =		m = n,	m, n =1,2,...
−π	π,
π	0,	m ≠ n,
∫sin mx sin nxdx =		m = n,	m, n =1,2,...
−π	π,

∫π cos mx sin nxdx =0, m = 0,1,2,..., n =1,2,...

−π

85

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-π; π], то существует интеграл

				π	a0	π	π ∞
				∫ f (x)dx =		∫dx + ∫∑(an cos nx + bn sin nx)dx = πa0
					2
				−π		−π	−π n=1
							π ∞
	Такой результат получается в результате того, что ∫∑(an cos nx + bn sin nx)dx = 0 .
							−π n=1
	Получаем:	a0 =	1	π∫ f (x)dx
			π
				−π

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -π до π.

	π				a0	π	π	∞
	∫ f (x) cos nxdx =					∫cos nxdx + ∫∑(an cos2 nx + bn cos nx sin nx)dx = πan
				2
	−π					−π	−π n=1
	Отсюда получаем: an =		1		∫π	f (x) cos nxdx;		n =1,2,...
			π
					−π

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -π до π.

Получаем: bn = 1 π∫ f (x)sin nxdx, n =1,2,...

π −π

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

an =	1		∫π		f (x) cos nxdx;		n = 0,1,2,...
	π
			−π
bn =		1			∫π	f (x)sin nxdx,	n =1,2,...
		π
				−π

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

86

она равна

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке [-π;π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-π;π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва

его сумма равна f (x − 0) + f (x + 0) , т.е. среднему арифметическому предельных

2

значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется

кусочно – монотонной на отрезке [-π;π].

Теорема. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-π;π] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва

f (x −0) + f (x + 0) . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно

2

на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-π;π].

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ≥ b-a , совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

y

f(x)

α - 2T

α a

b α+2T

α + 4T

x

87

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

0, f (x) − нечетная

1) ∫a f (x)dx = a

−a ∫ f (x)dx, f (x) −четная

0

2)Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3)Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

an =	1	∫π	f (x) cos nxdx =				2	∫π	f (x) cos nxdx		(n = 0,1,2,...)
	π						π
		−π				0
			bn =	1	∫π	f (x)sin nxdx = 0;				(n =1,2,...)
				π
					−π

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

					a0	∞
			f (x) =			+ ∑an cos nx
				2		n=1
	an =	2	∫π	f (x) cos nxdx			(n = 0,1,2,...)
		π
	0

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

			∞
			f (x) = ∑bn sin nx;
			n=1
bn =	2	∫π	f (x)sin nxdx;	(n =1,2,...)
	π
0

88

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) = x3 с периодом

T = 2π на отрезке [-π;π].

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

bn

=

2

∫π

f (x)sin nxdx;

(n =1,2,...)

π

0

= x

3

;

dv = sin nxdx;

2 π

3

u

2

x3 cos nx π

3 π

2

∫x sin nxdx =

−

+

∫x

=

bn =

2

cos nx

=

n

n

cos nxdx

π

0

du =

3x

dx; v

= −

;

π

0

0

n

= x

2

;

dv = cos nxdx;

u

2

π3 cos πn

3 x2 sin nx

π

π 2x sin nx

=

sin nx

=

π

−

n

+

n

n

− ∫

n

dx

=

du = 2xdx;

v =

n

;

0

0

2

π3 cos πn

6

π

u

= x;

dv = sin nxdx;

=

=

−

n

−

2

∫x sin nxdx =

cos nx

π

n

0

du = dx;

v = −

;

n

2

π3 cos πn

6

x cos nx

π

π cos nx

=

−

−

−

+ ∫

dx

π

n

n

2

n

n

=

0

0

2

π3

cos πn

6πcos

π

6

sin nx

π

2π2

cos πn

12cos πn

n

12

2π

2

=

−

+

3

−

3

= −

+

3

= (−1)

3

−

n

n

n

n

π

n

n

0

n

n

Получаем:

3

∞

∞

n

12

2π

2

x

= ∑bn sin nx = ∑

(−1)

−

3

n

sin nx .

n=1

n=1

n

Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.

			30
			20
			10
-3	-2	-1	1	2	3
			-10
			-20
			-30
			89

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Ряды Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

a

0

∞

πn

πn

f (x) =

+ ∑ an

cos

x + bn sin

x

2

l

l

n=1

a0 =

1 l

f (x)dx;

l −∫l

an =

1 l

f (x) cos

πn xdx,

n =1,2,...

l −∫l

l

b =

1

l

f (x)sin πn xdx,

n =1,2,...

n

l −∫l

l

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

a0

∞

πn x;

f (x) =

+ ∑an cos

2

n=1

l

a0

=

2

l

f (x)dx;

l

∫0

an

=

2

l

f (x) cos

πn xdx;

n =1,2,...

l

∫0

l

Для нечетной функции:

∞

f (x) = ∑bn sin πn x;

n=1

l

b

=

2

l

f (x)sin πn xdx;

n =1,2,...

n

l

∫0

l

Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Определение. Функции ϕ(х) и ψ(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

∫b ϕ(x)ψ(x)dx = 0

a

Определение. Последовательность функций ϕ1(x), ϕ2(x), …, ϕn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

∫b ϕi (x)ϕj (x)dx = 0;	i ≠ j
a

90