lect3

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

ϕ

1

(x , x

2

,..., x

n

)

= C

1

1

ϕ

2 (x1 , x2 ,..., xn ) = C2

.................................

ϕ

n

−1

(x , x

2

,..., x

n

) = C

n−1

1

Каждая из функций ϕ является интегралом системы (2).

Теорема. Если ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) - интеграл системы (2), то функция u = ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) - решение уравнения (1).

Классификация основных типов уравнений математической физики.

1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.

	∂2u	= a	2 ∂2u
	∂t 2		∂x2

2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.

∂u = a2 ∂2u ∂t ∂x2

3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.

	∂2u	+	∂2u	= 0
	∂x2		∂y2

В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:

1)

Волновое уравнение:

∂2u

= a

2

∂2u

+ a

2 ∂2u

;

∂t

2

∂x2

∂y2

2)

Уравнение теплопроводности:

∂u

= a

2 ∂2u

+ a

2

∂2u

;

∂t

∂x2

∂y2

3)

Уравнение Лапласа:

∂2u

+

∂2u

+

∂

2u

= 0

∂x2

∂y2

∂z 2

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.

Уравнение колебаний струны.

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

61

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

	u = u(x,t)	a ≤ x ≤ b, t ≥ 0
	u
				C
	A	B		α
	D
0	a x	x+		x	b		x
На произвольный элемент длины нити (х, х +					х) действуют две силы натяжения

AD и BC . При этом:

					∂u(x + x,t)
AD	=	BC	= T;	tgα =		;
					∂x

Если считать колебания малыми, то можно принять: tgα ≈ sin α

Тогда проекция силы BC на ось u:

T sin α ≈ T	∂u(x + x,t)
	∂x

Проекция силы AD на ось u:

−T ∂u(x,t)

∂x

Находим сумму этих проекций:

	T	∂u(x + x,t)	−T	∂u(x,t)	= T	∂2u(x,t)
		∂x		∂x		∂x2

Выражение, стоящее в правой части равенства применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) слева.

x.
получено в	результате
к выражению,	стоящему

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

	ρ x	∂2u(x,t)	,
		∂t 2

где ρ - плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

ρ

x

∂2u

= T

∂2u

x

∂t

2

∂x2

Или

∂2u

= a

2

∂2u

,

a

2

=

T

;

∂t

2

∂x2

ρ

62

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

u(x,0) = f (x),	∂u(x,0)	= F(x),
	∂t

и краевых условиях

u(0,t) = u(l,t) = 0 .

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции f(x) и F(x) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l

Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)

Решение уравнения

	∂2u	= a	2 ∂2u
	∂t 2		∂x2

будем искать в виде u(x,t) = X (x)T (t) при граничных условиях:

X (0)T (t) = 0

t > 0

Тогда X(0) = X(l) = 0.

X (l)T (t) = 0

;

Подставим решение в исходное уравнение:

XT

′′

= a

2

′′

X T;

1

T ′′

=

X ′′

;

a2

T

X

Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:

X k (x) = sin

kxπ

;

k =1,2,...

l

T

(t) = A cos

aktπ

+ B

k

sin

aktπ

; k =1,2,...

k

k

l

l

Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:

aktπ

aktπ

kxπ

u

(x,t) = A

cos

+ B

sin

sin

; k =1,2,...

l

l

l

k

k

k

Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:

	∞		akπ		akπ		kπ
	u(x,t) = ∑ Ak cos			t + Bk sin		t sin		x,
			l		l		l
	k =1

63

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

где Ak

Bk

	=	2		∫l	f	(x)sin	kπ		xdx;
			l	0			l
		2			l			kπ
	=				∫F(x)sin					xdx.
		akπ			0				l

Решение задачи Коши методом Даламбера.

( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)

В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение

	∂2u	= a	2 ∂2u
	∂t 2		∂x2
	решается только при начальных условиях:
	u(x,0) = f (x)

ut′(x,0) = F(x)

Для нахождения решения введем новые переменные:

α = x − at;		β = x + at.
Тогда исходное уравнение принимает вид:
	∂2u	= 0.
	∂α∂β

Решением этого уравнения будет функция u = ϕ(α) + ψ(β) , где ϕ и ψ - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.

Получаем: u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at).

Если продифференцировать полученный ответ, получим: u′x = ϕ′(x − at) + ψ′(x + at) ut′ = −aϕ′(x − at) + aψ′(x + at) u′xx′ = ϕ′′(x − at) + ψ′′(x + at) utt′′ = a2ϕ′′(x − at) + a2ψ′′(x + at)

Т.е. a2u′xx′ = utt′′.

Далее с использованием начальных условий находим функции ϕ и ψ.

ϕ(x) + ψ(x) = f (x)

− aϕ′(x) + aψ′(x) = F(x)

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

						1	x
	− ϕ(x) + ψ(x) =						∫F( y)dy + C;					C = const.
						a
							0
	Тогда:
	ϕ(x) =	1			f (x) −			1			∫x F( y)dy −		C		;
								2a
		2									0	2
	ψ(x) =	1			f (x) +			1			∫x F( y)dy +			C		.
									2a
		2									0	2

Решение задачи Коши получаем в виде:

64

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

				1		1	x−at				1			1	x+at
	u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at) =				f (x − at) −		∫F( y)dy +					f (x + at) +			∫F( y)dy
				2		2a					2			2a
							0								0
			f (x − at) + f (x + at)						1	x+at
		u(x,t) =						+		∫F( y)dy.
					2				2a x−at

Эта формула называется формулой Даламбера.

Уравнение теплопроводности.

Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

u = u(x, y, z)

Составим дифференциальное уравнение:

∂u

2

∂2u

∂2u

∂2u

= a

2 +

2 +

2

∂t

∂x

∂y

∂z

∂2

∂2

∂2

+

+

называется оператором Лапласа.

2

2

2

Выражение =

∂x

∂y

∂z

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

∂dtu = a2 u

и называется уравнением теплопроводности в пространстве.

В качестве частных случаев рассматривают:

∂u	= a	2	∂2u	- уравнение теплопроводности в стержне,
∂t			∂x2
∂u	= a	2	∂2u	+ a	2	∂2u	- уравнение теплопроводности на плоскости.
∂t			∂x2			∂y2

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию u(x,0) = f (x) 0 ≤ x ≤ πи граничным условиям

u(0,t) = u(π,t) = 0, t ≥ 0 .

В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

			∞
u(x,t) = ∑bk e−a2k 2t sin kx;
			k =1
bk =	2	∫π	f (t)sin ktdt.
	π
0

Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.

65

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Уравнение Лапласа.

Определение. Функция u(x, y, z) называется гармонической на области σ, если

она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области σ и удовлетворяет условию

где	- оператор Лапласа.								u = 0 ,
	Уравнение		u =	∂2u	+	∂2u	+	∂2u	= 0 называется уравнением Лапласа.
				∂x2		∂y2		∂z 2
	Если на	некоторой			границе Г тела поддерживать постоянную температуру
uГ	= f (x, y, z) ,	где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная

постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может быть доказан математически.

Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик)

Решение задачи Дирихле для круга.

Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(ϕ), где ϕ - полярный угол.

Требуется найти функцию u(r,ϕ) , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

	∂2u	+	∂2u	= 0
	∂x2		∂y2

и при r = R u = f (ϕ).

Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

∂

2u

+

1 ∂u

+

1

∂2u

∂r 2

r

∂r

r 2

∂ϕ2

r

2 ∂2u

+ r

∂u

+

∂2u

∂r

2

∂r

∂ϕ2

=0

=0

Полагаем u = Φ(ϕ)R(r). Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем: r 2Φ(ϕ)R′′(r) + rΦ(ϕ)R′(r) + Φ′′(ϕ)R(r) = 0

Φ′′(ϕ) = − r 2 R′′(r) + rR′(r) = −k 2

Φ(ϕ) R(r)

Таким образом, имеем два уравнения:

Φ′′(ϕ) + k 2 Φ(ϕ) = 0

r 2 R′′(r) + rR′(r) − k 2 R(r) = 0

Общее решение первого уравнения имеет вид: Φ = Acos kϕ+ B sin kϕ

Решение второго уравнения ищем в виде: R = r m . При подстановке получим: r 2 m(m −1)r m−2 + rmr m−1 − k 2 r m = 0

m2 − k 2 = 0

Общее решение второго уравнения имеет вид: R = Cr k + Dr −k .

Подставляя полученные решения в уравнение u = Φ(ϕ)R(r) , получим:

66

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

uk = (Ak cos kϕ+ Bk sin kϕ)(Ck r k + Dk r −k )

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ≠ 0.

Если k = 0, то Φ′′ = 0; rR′′+ R′ = 0 следовательно u0 = (A0 + B0ϕ)(C0 + D0 ln r) .

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2π. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.

Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.

							A0	∞
	Окончательно получаем:					u(r,ϕ) =		+ ∑(An cos nϕ+ Bn sin nϕ)r n
							2
								n=1
		1			π
	При этом: An =				∫ f (t) cos ntdt
			n
		πR			−π
			1		π
	Bn =				−π∫ f (t)sin ntdt
			πRn

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

	1	π			R2 − r 2
u(r,ϕ) =		∫ f (t)					dt
	2π		R	2	− 2rR cos(t − ϕ) + r	2
		−π

67

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Ряды.

Основные определения.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 ,u2 ,...,un ,... называется числовым рядом.

∞

u1 + u2 + ... + un +... = ∑un

n =1

При этом числа u1 ,u2 ,... будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

n
Определение. Суммы Sn = u1 + u2 +... + un = ∑uk ,	n = 1, 2, … называются
k =1

частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

∞

Определение. Ряд u1 + u2 + ... + un +... = ∑un называется сходящимся, если

n =1

сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

	∞
lim Sn = S,	S = ∑un .
	n=1

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов.

1)Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2)Рассмотрим два ряда ∑un и ∑Cun , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд ∑un сходится и его сумма равна S, то ряд ∑Cun тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ≠ 0)

3) Рассмотрим два ряда ∑un и ∑vn . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд ∑(un ± vn ) , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды ∑un и ∑vn сходятся и их суммы равны соответственно S и σ, то ряд ∑(un ± vn ) тоже сходится и его сумма равна S + σ.

∑(un + vn ) = ∑un + ∑vn = S + σ

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

68

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся,

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

an+ p − an < ε.

Доказательство. (необходимость)

Пусть an → a , тогда для любого числа ε > 0 найдется номер N такой, что неравенство a − an < 2ε выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также

неравенство

a − an+ p

<

ε

. Учитывая оба неравенства, получаем:

2

ε

ε

an+ p − an

(an+ p − a) + (a − an )

an+ p − a

a − an

=

≤

+

<

+

= ε

2

2

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем. Сформулируем критерий Коши для ряда.

∞

Для того, чтобы ряд u1 + u2 + ... + un +... = ∑un был сходящимся необходимо и

n =1

достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд ∑un сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к

нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так

∞

называемый гармонический ряд ∑

1

является расходящимся, хотя его общий член и

стремится к нулю.

n=1 n

Пример. Исследовать сходимость ряда

1

+

2

+

3

+... +

n

+...

5

3n −1

n

1

1

2

8

Найдем lim

= lim

=

≠ 0

- необходимый признак сходимости не

3n −1

1

3

n→∞

n→∞

3

−

n

выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным.

69

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

0, при четных n Sn = 1, при нечетных n

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. Sn < 2 при любом n.

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда ∑un с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда ∑un	и ∑vn при un, vn ≥ 0.
Теорема. Если un	≤ vn при любом n, то из сходимости ряда ∑vn следует

сходимость ряда ∑un , а из расходимости ряда ∑un следует расходимость ряда ∑vn .

Доказательство. Обозначим через Sn и σn частные суммы рядов ∑un и ∑vn . Т.к. по условию теоремы ряд ∑vn сходится, то его частные суммы ограничены, т.е.

при всех n σn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un ≤ vn, то Sn ≤ σn то частные суммы ряда ∑un тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

1

+

1

+... +

1

+...

ln 2

ln 3

1

1

1

ln n

1

Т.к.

>

, а гармонический ряд ∑

расходится, то расходится и ряд ∑

.

ln n

n

n

ln n

∞

1

Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n

1

1

1

n=1 n2

Т.к.

<

, а ряд ∑

сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то

n

n

n

n2

1

2

2

∞

ряд ∑

тоже сходится.

n

n=1 n2

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если un > 0, vn > 0 и существует предел lim un = h , где h – число,

n→∞ vn

отличное от нуля, то ряды ∑un и ∑vn ведут одинаково в смысле сходимости.

70