- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
Задачи для самостоятельного решения
Выяснить, какие из нижеследующих функций будут периодическими, и определить период.
43. , 44., 45., 46.,
47. , 48., 49..
50. Построить график периодической функции с периодом , которая на промежуткезадана формулой: а), б).
51. Доказать методом полной индукции: если T- период функции , то, где.
1.3. Обратная функция
Пусть двум любым различным элементам множества D соответствуют по закону f два различных элемента множества E. Тогда говорят, что между D и E установлено взаимно однозначное соответствие. Отображение называется обратной функцией по отношению ки обозначаетсяили. Если учесть, что традиционно функцию обозначаютy а аргумент x, то обратной функцией к будет.
Пусть даны непустые множества ии функциии, при этом функцияf двум разным значениям иизX ставит в соответствие разные значения иизY.
Функцию g будем называть обратной к функции f , если для всякого
выполняется
и для всякого выполняется
Функция g, обратная к f, обозначается . Если учесть, что традиционно функцию обозначаютy а аргумент x, то обратной функцией к будет.
Теорема 1.2. Если функция f строго монотонна в области X и имеет область значений Y, то для нее существует однозначная обратная функция , определенная наY и с областью значений X.
Если непрерывная функция не является строго монотонной во всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых функция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедлива теорема 1.2.
Для функций, заданных аналитически , обратную функцию можно получить, выразивx через y, затем, следуя традиции, условимся менять x и y местами.
Пример. Найти обратную функцию для функции .
Если областью определения функции считать всю числовую ось, то на ней функция не является строго монотонной: нафункция убывает, на- возрастает, и однозначно определенной обратной функции нет. Но на интервалах монотонного изменения функцииобратная функция существует:
а) т.е. обратная функция;
б) , т.е. обратная функция.
Взаимно обратными функциями являются, например,
а);
б),;
в),;
г),;
д).
Задачи для самостоятельного решения
Найти функцию, обратную данной.
52. , 53., 54., 55.,
56. , 57., 58., 59..
Ответы к задачам главы 1:
1.. 2.. 3.. 4..
5. . 6.. 7.пустое множество. 8.. 9.. 10.. 11.. 12.. 13.. 14.,. 15.а). б). 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. 21.. 22.а), б), в), г). д). 23..
24.. 25.. 26..
27..
28. не ограничена. 29.ограничена. 30.ограничена снизу. 31.ограничена снизу.
32.не ограничена. 33.ограничена сверху. 34. Монотонно возрастающая. 35.Монотонно возрастающая. 36.Монотонно возрастающая. 37.Монотонно убывающая. 38.Монотонно возрастает при , монотонно убывает при. 39.а),в),е),ж) – четные, д),з),и) – нечетные, б),г) – ни четные, ни нечетные. 40.. 41..
43.Периодическая, T=. 44.Не периодическая. 45.Не периодическая. 46. Периодическая, . 47. Периодическая,T – любое число. 48.Периодическая, .
49.Не периодическая.
50.
-
a)
б)
52.. 53.,. 54..
55.. 56.. 57..
58.. 59..