- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
5.2. Точки экстремума функций.
Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции
Точка называется точкойлокального максимума (локального минимума) функции , если- проколотая окрестность т.такая что. Точки локального максимума и локального минимума называются точкамиэкстремума функции.
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Пусть т. - точка экстремума функции. Тогда либолибоне существует.
Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть непрерывна в т.и дифференцируема в. Тогда, если выполняются следующие условия:
либо а) ,, либо б),, тоимеет экстремум в т., а именно: локальный минимум в случае а) и локальный максимум в случае б).
Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .
. Вычислим производную. = =. Экстремум может достигаться при,и, так как эти значения принадлежат области определенияиf (-1) не существует, f (1/2)=0, f (5)=0. Исследуем знаки первой производной на интервалах , (-1, 1/2), (1/2, 5),.
-
-1 1/2 5
Например, . По методу интервалов получаем остальные знаки. Тогдавозрастает на (-1, 1/2) и;убывает наи (1/2, 5). Точкии- локальные минимумы, а- точка локального максимума функции.
Пример. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность S.
Формула площади полной поверхности имеет вид . Так как, то выразивможно получить. ИсследуемS (R) на экстремум. . Экстремум возможен еслит.е.. Проверим смену знаков
знак
0
При S(R) имеет локальный минимум и подставляя получаем.
Пусть непрерывна наи точкитакие что,либо равна 0, либо не. Тогда наибольшее значениенаесть, а наименьшее -.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения на [0, 1]. Вычислим производную:
.
Заметим что, на [0, 1]. Экстремум возможен при. Тогдаfнаибольшее=,fнаименьшее=. Здесь наибольшее значение достигается в двух точках, а наименьшее – в одной.
Задачи для самостоятельного решения
1.Показать, что функция везде возрастает.
2. Показать, что функция везде убывает.
Найти интервалы монотонности функций.
3. . 4.. 5.. 6..
7. .
Найти экстремумы функций.
8. . 9.. 10..
11. . 12..
Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах.
13. . 14..
15. . 16..
17. .
18. Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим.
19. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
20. Бревно длиной в 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
21. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.