Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
82.
.
83.
.
84.
.
85.
.
86.
.
87.
.
88.
.
89.
.
90.
.
91.
.
92.
.
93.
.
4.8. Формула Тейлора
Пусть
функция
раз дифференцируема в некоторой
окрестности т.
.Тогда
в данной окрестности имеет местоформула
Тейлора
(порядка n)
,
где
называетсяостаточным
членом формулы Тейлора.
При
имеем:
.
Эта формула называется
формулой
Маклорена. Остаточный
член формулы Тейлора может быть записан
в различных видах. В частности
,
где
лежит междуx
и
,
называется остаточным членом вформе
Лагранжа.
- “o
– малое” –
остаточный член в
форме Пеано.
Если
- многочлен степениn,
то формула Тейлора принимает вид:
,
т.к.
.
Основные представления по формуле Маклорена с остаточным членом
в форме Пеано
,
,
,
,
.
Рассмотрим на примерах типы задач, которые решаются с использованием формулы Тейлора.
Пример.
Представить функцию
по формуле Тейлора в окрестности т.
.
Выделим в аргументе
логарифма
.
Имеем
=
(можно
воспользоваться представлением
по формуле Маклорена)
.
Пример.
Вычислить
с точностью до 0.001.
Применяя формулу
Маклорена к функции
, получим
,
где
,
- остаточный член в форме Лагранжа.
Найдем наименьшее значениеn,
при котором
.
Имеем
.
Наименьшееn,
при котором
равно 3. Следовательно
.
Пример.
Вычислить
.
Применяя
формулу Тейлора, находим:
;
Подставим полученные представления в числитель, получим
.
Задачи для самостоятельного решения
97.Разложить многочлен
по степеням двучлена
.
98. Функцию
разложить по степенямx,
пользуясь формулой Тейлора.
99.Написать формулу
Тейлора n-го
порядка для функции
при
.
100. Написать формулу
Тейлора (2n)
порядка для функции
при
.
101. Вычислить поведение
функции
в точке
.
Пользуясь формулой Тейлора вычислить пределы.
102.
.
103.
.
104.
.
105.
.
106. Вычислить с
точностью до 0,001 приближенные значения
следующих чисел, используя формулу
Маклорена а) sin
1, б)
,
в)ln
1,05.
Ответы к задачам главы 4:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
40. –1. 41.
.
42.
.
43. 360. 44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
48.
.
49.
.
50.
.
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55. (1,1); (-1,-1). 56. Приx
= 0 и при
.
57. Касательная
;
нормаль
.
58.
.
59.
.
60.y
= 2. 61.
.
62.
и
.
63. Кривые пересекаются в двух точках
под углами
.
64. 4v
и 2av.
65.
.
66.
.
67.
.
68.
.69.
.
70.
.
71.
.
72.
.
73. а) 0,05; б) 0, 805; в) 0,2. 74. 0,355.
75. а)
,
б)
,
в)
.
78.
.
80.
.82.
0.
83.
.
84. 2. 85. 2. 86. 1/2. 87. 1/2. 88.cos
3. 89. –2. 90. a.
91. –1.
92. 0. 93. 1. 94.
.
95. 1/e.
96.
.
97.
.
98.
.
99.
.
100.
где
.
101. Функция возрастает. (0, 0) – точка
перегиба. 102. 1/4.
103. 1/60. 104. 1/2. 105. 1. 106. а) 0,842; б) 1,648; в) 0,049.
Глава 5. Исследование функций с помощью производных
5.1. Возрастание и убывание функций
Функция f
(x)
называется возрастающей (неубывающей)
на интервале (a,b),
если
таких, что
выполняется
.
Функция f
(x)
называется убывающей (невозрастающей)
на интервале (a,b),
если
таких,
что
,
.
Теорема 1.
Пусть f
(x)
дифференцируема на (a,b).
Тогда если
,
тоf
(x)
возрастающая (убывающая) на (a,b).
Замечание 1.
Условие
является необходимым и достаточным для
неубывания (невозрастания)f
(x)
на (a,b).
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.