2.4. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность :. Более обще, этот предел можно записать в виде, где- б.м. при.

Пусть дает неопределенность вида. Так как, тогде- б.м. при. Тогда===.

Пример. Вычислить .

 =.

Рассмотрим .прии.

Бесконечно малые величины ине являются эквивалентными и следовательно=.

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

50.. 51.. 52.. 53.. 54.. 55.. 56.. 57.. 58.. 59..

Ответы к задачам главы 2:

1. 3/4. 2. 0. 3. –2/5. 4. . 5. . 6. 0. 7.-1. 8. 0. 9. 1/4. 10. 1/4. 11. 3. 12. 2/3. 13. m/n. 14. 1/2, если ; -, если . 15., если; , если . 16.. 17. 0. 18. 2. 19.. 20. 0. 21.. 22. 2/3. 23. 3/4. 24. . 25. –1. 26. 1/2. 27. . 28. –3/2. 29. 1. 30. . 31. 2. 32. –2. 33. . 34. 1. 35. 3/2. 36. . 37. . 38. 1/2. 39. эквивалентная б.м. 40. 1. 41. 2/3. 42. 2. 43. a) ; ,б) . 44. а); б). 45. а)б). 46.a) ; б) . 47. а); б). 48. а), б). 49. а)б). 50. 1. 51.. 52.. 53. 0, если; , если . 54.. 55.a. 56. 1. 57. 1/e. 58. e.

Глава 3. Непрерывность функции

Число A называется пределом функции в точкесправа (слева) и пишут , если для любогосуществует числотакое, что из условияследует. Будем также предел справа (слева) обозначать.

Пусть т. из области определения функции. Функцияназывается непрерывной в т., если выполняется одно из следующих трех условий:

1); 2);

3).

Эти условия равносильные.

Все основные элементарные функции непрерывны на своей естественной области определения.

Сумма, разность, произведение, частное и композиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Функция называется непрерывной на множествеE , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Типы разрывов функции в точке. а) Пусть существуют конечные пределы и, причем=, но не равны, либоне определена. Тогданазывается точкойустранимого разрыва функции.

б) Пусть исуществуют, конечны, но не равны между собой. Тогда в т.у функции разрыв типаскачок. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Во всех остальных случаях точка есть точка разрывавторого рода, т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

 Точками возможного разрыва являются и. Вычислим односторонние пределы.

; .

Следовательно, в т. у функции разрыв устранимый, так как,

; .

Тогда и.

В точке имеет разрыв второго рода.

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график функции в окрестности точек разрыва.

1.. 2.и. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8..

9. Функция не определена в точке. Можно ли так доопределить функциюв точке, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.

10. Исследовать характер разрыва функции в точке. Можно ли так доопределитьпри, чтобы функция стала непрерывной при?

Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.

11. 12.13.

14.