ГОС / 49

49. Статистика Бозе - Эйнштейна. Равновесное излучение. Формула Планка и сравнение ее с классическими законами излучения. Спонтанное и индуцированное излучение. Лазеры.

Частицы, имеющие целочисленный спин, называются бозе-частицами.

У бозе-частиц волновая функция симметрична относительно перестановки, то есть не меняет знак при перестановке.

Для бозе – частиц не действует принцип запрета – в одном квантовом состоянии может быть любое число бозе – частиц.

Получим функцию распределения Бозе – Эйнштейна. Для этого воспользуемся большим каноническим распределением для систем с переменным числом частиц.

(4.92)

n – число частиц в i – состоянии

Для бозе – частиц n – любые

- чтобы ряд (3.92) сходился q должно быть меньше 1.

, для сходимости (3.92) должно быть .

- сумма геометрической прогрессии

(4.93)

- функция распределения Бозе – Эйнштейна (4.94)

ε – энергия, μ – химический потенциал

Функция распределения нормирована условием

(4.95)

Считая, что (3.95) определяет число частиц в системе через температуру и химический потенциал, входящие в , определим зависимость химического потенциала от температуры для системы с постоянным числом бозе – частиц.

, отсюда

,

,

Поэтому (4.96)

С понижением температуры химический потенциал увеличивается

В озможно обращение в нуль химического потенциала при Т=Т₀. При дальнейшем понижении температуры химический потенциал остается равным нулю.

Рассмотрим поведение бозе – газа при температурах , когда химический потенциал μ обращается в нуль. При этом функция распределения имеет вид

условие нормировки: при Т=Т₀ число частиц равно N₀

(4.97)

Если T<T₀ и μ=0, то условие нормировки запишется

(4.98)

Сравним (4.97) и (4.98)

, откуда , поэтому

Число частиц, участвующих в тепловом движении, с понижением температуры уменьшается. Часть частиц «выбывает» из теплового движения, оседает на нулевой энергетический уровень и образует бозе – конденсат.

С понижением температуры доля частиц, находящихся в бозе –конденсате, увеличивается. Частицы, находящиеся в бозе – конденсате, сохраняют свои свойства сколь угодно долго, не обмениваются энергией и импульсом с окружающими частицами.

Свойства бозе – конденсата.

1. Сверхтекучесть

Сверхтекучесть обнаружил в 30^-е годы ХХ века П. Капица. При низких температурах гелий обладает свойством сверхтекучести. Атом гелия является

бозе – частицей, ядро имеет нулевой спин и в электронной оболочке два электрона с полным спином, равным нулю. При протекании жидкого гелия через капилляры при T<T₀ исчезает сила вязкого трения. Причина трения состоит в передаче импульса частицами движущейся жидкости стенкам капилляра (сосуда). Частицы, находящиеся в конденсате, не могут получать и отдавать энергию и импульс, поэтому движутся без сопротивления.

2. Сверхпроводимость

Два электрона на поверхности Ферми с противоположными спинами и импульсами взаимодействуют посредством обмена фононами и образуют куперовскую пару (связанное состояние). У куперовской пары нулевой спин,

с ледовательно – это бозе – частица. Возможна бозе – конденсация при T<T₀ и сверхтекучесть. Поскольку пары обладают удвоенным зарядом их сверхтекучесть приводит к сверхпроводимости, то есть к возможности сколь угодно длительного существования электрического тока в замкнутом проводнике без внешней ЭДС (без внешнего источника).

Рассмотрим равновесное излучение, находящееся в замкнутой полости при некоторой температуре Т. В квантовой теории поле электромагнитного излучения квантуется, кванты электромагнитного поля – фотоны, имеющие спин равный единице, поэтому фотоны являются бозе – частицами.

Количество фотонов в системе не является постоянным, одни фотоны возникают, другие исчезают. Это приводит к тому, что химический потенциал газа фотонов необходимо положить равным нулю. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Система фотонов находится при постоянном объёме и температуре

Равновесное состояние при фиксированных V и T параметрах характеризуется экстремальным значением свободной энергии

(4.99)

- среднее число фотонов в ячейке Больцмана с энергией ε.

Вычислим среднюю энергию фотонного газа, находящегося в объеме dV при температуре Т. Учтем, что в ячейке Больцмана могут находиться два фотона с перпендикулярным направлением поляризации.

- число ячеек в dГ

- среднее число частиц (фотонов) в ячейках Больцмана, принадлежащих dГ.

- средняя энергия частиц, находящихся в dГ

Перейдем к сферическим координатам

- плотность энергии излучения с частотами от ω до ω+dω. - спектральная плотность равновесного излучения

- формула Планка (4.100)

ρ – плотность энергии равновесного излучения, приходящаяся на единичный интервал частот вблизи ω.

1.

Получим закон Рэлея-Джинса

(4.101)

2. ~

- формула Вина

Закон смещения Вина

Н айдем ω_max - частоту, соответствующую максимуму спектральной плотности излучения.

Обозначим

х₀ = 2,8 – решение этого уравнения. Тогда и получим закон смещения Вина в виде (4.102) или

Закон Стефана – Больцмана

Определим плотность равновесного излучения

Заменяя , получим закон Стефана –Больцмана

(4.103)

Плотность энергии равновесного излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.