Пешат И.В.

- 17-

Тема. Элементы линейной алгебры

1. Вступление.

2. Матрицы.

3. Определители.

4. Системы линейных уравнений.

5. Примеры для самостоятельного решения.

6. Компьютерное практическое занятие №1.

7. Индивидуальные задания по теме “Элементы линейной алгебры”.

8. Литература.

1. Вступление.

Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике.

Историческая справка.

Впервые матрица как математическое понятие появилась в работах Уильямса Гамильтона (Hamilton William Rowan, 4.8.1805, Дублин – 2.9.1865, Даисинк, ирландский математик и астроном); Артура Кэли (Cayley Arthur, 16.8.1821, Ричмонд – 26.1.1895, английский математик) и Джеймса Сильвестра (Sylvester James Joseph, 3.9.1814, Лондон – 15.3.1897, Лондон, английский математик в середине 19в.)

Основы Теории Матриц созданы К. Вейерштрассом и Г. Фробениусом во 2-й половине 19в и начале 20в.

Современные обозначения – две вертикальные черточки – ввел А. Кэли (1841).

2. Матрицы.

2.1. Основные определения (часть первая)

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица M, образованная из элементов некоторого множества, и состоящая из m-строк и n‑столбцов;

m x n- размерность матрицы.

(1),

или сокращенная запись

Определение 2. Если в матрице М, количество строк m равно количеству столбцов n, то такая матрица называется квадратной, и n-порядок матрицы.

(2)

или сокращенная запись.

Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей ‑ строкой,

или вектор ‑ строкой.

(3)

Определение 4. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей ‑ столбцом, или вектор ‑ столбцом.

(4)

Определение 5. Матрица называется равной матрице ,

если они одинакового размера и .

2.2. Операции над матрицами.

Определение 1. Алгебраической суммой прямоугольных матриц и,

одного размера m x n, называется матрица , такого же размера

m x n, для которой выполняется условие.

Пример №1. Дано:

Найти: С = A + B.

Решение

Ответ: .

Определение 2. Произведением матрицы на число k называется матрица D такого же размера m x n, для которой выполняется условие

d = ka_ij .

• Пример №2.

Дано:

Вычислить: D = k A .

Решение.

Определение 3. Произведением матрицы , размерностиmxn и

размерности n x s на называется матрица , размера m x s,

такая что .

Правило умножения матриц называют правилом умножения

строки на столбец.

Пример №3

Д

- размерность матрица А: (3x4)

ано:

- размерность матрица B: (4x5)

Количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В, следовательно,

эти матрицы можно перемножить. Полученная матрица С будет размерностью (3x5).

Найти С = AB

Ответ:

2.3. Свойства операций над матрицами.

Операции сложения (вычитания) матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. A + B = B + A;

2. (A + B) + C = A + (B + C);

3. k(A +B) = kA + kB;

4. (k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A;

5. k₁(k₂A) = (k₁k₂)A = k₂(k₁A)

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. (AB)C = A(BC);

2. (A+B)C = AC+BC или A(B+C) = AB+AC;

3. k(AB) = A(kB) = (kA)B.

но: AB  BA, т.е. произведение матриц не коммутативно.

Определение. Если для матриц ивыполняется условиеAB = BA,

то матрицы A и B называются перестановочными.

2.4. Основные определения (часть вторая)

Определение 6. Матрица A^T называется транспонированной, если она получена из

матрицы А путем замены строк столбцами.

; (5)

Операция транспонирования обладает свойствами:

1. (A+B)^T = A^T +B^T 4. (AB)^T = B^T A^T;

2. (k A)^T = k A^T 5. Det A^T = det A.

3. (A^T)^T = A;

Определение 7. Квадратная матрица , у которой все элементы, расположенные

вне главной диагонали, равны 0, называется диагональной

и обозначается .

Определение 8. Если в диагональной матрице, все элементы, стоящие на главной диагонали,

равны 1, то такая матрица называется единичной иобозначается

. (6)

Для единичной матрицы справедливо следующее свойство:

Пусть матрица А имеет размерность m x n. Тогда AE_n  =  A и E_mA  =  A.