3. Определители.

Определение 1. Каждой квадратной матрице соответствует число, называемое

определителем или детерминантом матрицы, и которое вычисляется

по следующему правилу:

(7)

Свойства определителей:

1. Равноправность строк и столбцов: det A  = det A^T;

2. Антисимметрия: при перестановке местами 2-х строк (или 2-х столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3. det A  = 0, если элементы 2-х строк (или 2-х столбцов) соответственно пропорциональны.

4. Общий множитель всех элементов любой строки (любого столбца) можно вынести за знак определителя.

Определение 2. Минором k-го порядка называется определитель матрицы, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении произвольно выделенных ее k-строк и k-столбцов с сохранением их порядка.

Определение 3. Алгебраическим дополнением, адъюнкта, элемента a_ij называется число ,гдеM_ij – дополнительный минор к элементу a_ij.

Определение 4. Матрица А для которой det A  0 называется невырожденной.

Определение 5. Обратной к невырожденной матрице А называется матрица А^-1,

такая что АА^-1 = А^-1А = Е.

Правило нахождения обратной матрицы:

1. Вычислить det A.

2. Составить союзную матрицу , где,

M_ij –минор к элементу a_ij.

3. Составить присоединенную матрицу .

4.Составить обратную матрицу .

Пример №4. Составление обратной матрицы (в числовой и символьной формах).

Определение 6. Ранг матрицы – это наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от 0.

Пример №5. Определение ранга матрицы

4. Системы линейных уравнений.

Определение 7. Линейным уравнением называется уравнение вида

a x = b (8)

Определение 8. Системой 2-линейных уравнений с 2 неизвестным называется

система вида

(9)

Определение 9. Системой n-линейных уравнений с n-неизвестными называется

система вида

(10)

Система Линейных Уравнений может иметь одно решение – определенная система; может иметь несколько решений (и даже бесконечное множество) – неопределенная система; может не иметь ни одного решения – несовместная система.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений (10), т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений решается сравнением ранга матрицы и.

Теорема Кронекера – Капелли:

Теорема содержится в лекциях, читавшихся Л. Кронекером в 1883-91.

Сформулирована - А. Капелли (1892), который впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг матрицы»

Для того чтобы система (10) имела хотя бы одно решение (т.е. была совместна), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы.

Определение 10. Основной матрицей системы (10) называется матрица М₁, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных x_ij.

(10)

Определение 11. Расширенной матрицей системы (10) называется матрица М₂, полученная из матрицы М₁ добавлением столбца свободных членов b_i.

(11)