- •Передмова
- •1. Перестановки та підстановки
- •1, 2, …, N.
- •2. Визначники
- •2.1. Матриці. Загальні відомості
- •2.2. Визначники другого та третього порядків
- •2.3. Визначники n-го порядку
- •2.4. Властивості визначників
- •2.5. Мінори та їх алгебраїчні доповнення
- •2.6. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця
- •2.7. Знаходження визначника зведенням до трикутного виду
- •3. Алгебра матриць
- •3.1. Додавання матриць і множення матриці на число
2.1. Матриці. Загальні відомості
Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими математич-ними об’єктами (символами). Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то говорять, що вона має розмір k n. Елементи матриці позначатимемо однією буквою з двома індексами, які вказують на місце елемента в матриці: перший індекс означає номер рядка, в якому знаходиться даний елемент, а другий індекс вказує місце елемента в рядку, тобто номер стовпця, в якому міститься даний елемент. Матриця розміру k n з елементами записується в такій формі:
, або .
Для позначення матриці A розміру k n з елементами також використовують скорочений запис
.
Далі ми будемо розглядати матриці з елементами з множини R дійсних чисел.
Дві матриці і називаються рівними, якщо для кожної пари індексівi, j (1 i k, 1 j n). Інакше кажучи, рівні матриці мають однакові розміри, а їх елементи, що стоять на тих самих місцях, мають збігатись.
Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків ( або стовпців ) називається порядком квадратної матриці.
Наприклад,
квадратна матриця другого порядку.
Зокрема, квадратна матриця порядку 1 – це просто один елемент.
Для квадратної матриці вводяться поняття головної та бічної діагоналей. Будемо називати головною діагоналлю матриці упорядковану сукупність елементів , що йдуть із лівого верхнього кута цієї матриці до правого нижнього її кута.Бічною діагоналлю матриці називається упорядкована сукупність елементів , які йдуть із лівого нижнього кута матриці до правого верхнього її кута.
Слідом квадратної матриці називається сума елементів її головної діагоналі. Слід матриці А позначається через trA. Отже, якщо , то .
Наприклад, якщо
,
то .
Числова квадратна матриця називається верхньою трикутною, якщо дляi > j.
Так,
верхні трикутні матриці порядку 3.
Числова квадратна матриця називається нижньою трикутною, якщо дляi j.
Прикладом нижньої трикутної матриці другого порядку є матриця
.
Числова квадратна матриця називається діагональною, якщо дляi j (1 i, j n).
Наприклад,
діагональна матриця порядку 2.
Діагональна матриця D з елементами на головній діагоналі позначається.
Так,
.
Діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої однакові, називається скалярною. Наприклад,
–скалярна матриця другого порядку.
Нехай . Транспонуванням матриці А називається перехід до матриці , де . Інакше кажучи, рядки матриці– це стовпці матриці А з відповідними номерами, а стовпці матриці– це рядки матриціА і якщо A має розмір k n, то –n k. Матриця називається матрицею, транспонованою до А.
Наприклад, якщо
, ,
то
, .
2.2. Визначники другого та третього порядків
Розглянемо довільну квадратну матрицю n-го порядку:
.
З кожною такою матрицею можна пов’язати цілком визначену численну характеристику, яка називається визначником, відповідним цій матриці. Визначник матриці A позначається detA або |A|.
Також для визначника матриці використовується запис .
Якщо A – матриця першого порядку, тобто A складається з одного елемента, то визначником першого порядку, відповідним цій матриці, називається величина цього елемента.
Отже, коли , то
.
Якщо порядок матриці A дорівнює двом, тобто
,
то визначником другого порядку, відповідним A, називається число, яке дорівнює , отже,
.
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку
.
Визначником (детермінантом) третього порядку, відповідним до матриці A називається число, яке добувається з виразу
. (1)
Отже,
=
= .
Цю формулу можна запам’ятати за допомогою правила трикутника. Перші три члени, що входять до правої частини виразу (1) із знаком «+» є відповідно добуток елементів головної діагоналі і добутки елементів, розташованих у вершинах трикутників, основи яких паралельні цій діагоналі. Четвертий, п’ятий та шостий члени, які входять до виразу із знаком «–» є добуток елементів бічної діагоналі і добутки елементів, які є вершинами трикутників з основами, паралельними бічній діагоналі. Це правило можна зобразити схемою
= ++–––.
Приклад 2.1. Знайдемо такі визначники:
, ,,.
;
;
;
.
Задача 2.1. Обчислити визначники:
а) ;б) ;в) ;г) ;д) ;е) ;
є) ;ж) ;з) ;і) ;
к) ;л) ;м);н) ; о) .