- •Передмова
- •1. Перестановки та підстановки
- •1, 2, …, N.
- •2. Визначники
- •2.1. Матриці. Загальні відомості
- •2.2. Визначники другого та третього порядків
- •2.3. Визначники n-го порядку
- •2.4. Властивості визначників
- •2.5. Мінори та їх алгебраїчні доповнення
- •2.6. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця
- •2.7. Знаходження визначника зведенням до трикутного виду
- •3. Алгебра матриць
- •3.1. Додавання матриць і множення матриці на число
1, 2, …, N.
Тоді парність підстановки визначається парністю перестановки
,
яка розміщена в другому рядку таблиці.
Отже, підстановка
є парною тоді і тільки тоді, коли парною є перестановка .
Серед підстановок n-го степеня половина – парних, половина – непарних.
Приклад 1.4. Знайдемо парність підстановки
.
Запишемо у вигляді (2):
.
Парність підстановки визначається парністю перестановки 5, 2, 6, 1 ,4, 3. Випишемо всі пари елементів, що утворюють інверсію відносно:
(5, 2), (5, 1), (5, 4), (5, 3), (2, 1), (6, 1), (6, 4), (6, 3), (4, 3).
Кількість цих пар дорівнює непарному числу 9, отже, є непарною.
Приклад 1.5. З’ясуємо, якою є парність підстановки
степеня 100.
Визначимо парність перестановки 2, 1, 4, 3, , 100, 99. Інверсію відносно цієї перестановки утворюють 50 пар елементів:
(1, 2), (3, 4), , (99, 100),
а, значить, підстановка є парною.
Приклад 1.6. Розглянемо підстановку
n-го степеня і визначимо її парність.
Кожен елемент перестановки n, n1, , 2, 1 утворює інверсію з усіма елементами, що розміщені правіше його. Отже, інверсію відносно цієї перестановки утворюють такі пари елементів:
(n, n–1), (n, n–2), , (n, 2), (n, 1), (n1, n–2), , (n1, 2), (n1, 1),,(2, 1).
Кількість цих пар дорівнює числу
.
Звідси виходить, що підстановка є парною, якщо парним є число, і непарною у протилежному випадку.
Задача 1.9. Які з поданих підстановок є парними?
а) ;б) ;в) ;г) ;
д) ;е) ;є) ;
ж) ;з) .
Задача 1.10. Навести приклад непарної підстановки десятого степеня.
Задача 1.11. Визначити парність підстановки
степеня 2n (n є N).
Задача 1.12. Визначити парність підстановки степеня 3n (n є N):
а) ;
б) .
Задача 1.13. Визначити парність підстановки степеня 4n (n є N):
а) ;
б) .
Нехай і– підстановки степеняn. Добутком підстановокі називається підстановка n-го степеня, яка є результатом послідовного виконання спочатку підстановки , а потім, тобто
.
Множення визначене лише для підстановок однакового степеня.
Приклад 1.7. Знайдемо добутки і підстановок
і .
Оскільки
, ,,,
то
.
Розмірковуючи аналогічно, отримаємо:
.
Множення підстановок n-го степеня при n 3 некомутативне, тобто в загальному випадку .
Задача 1.14. Знайти добутки і поданих підстановок.
а) ,;б) ,;
в) ,;
г) ,;
д) ,.
Якщо – тотожня підстановкаn-го степеня, то для будь-якої підстановки n-го степеня
.
Нехай – підстановкаn-го степеня. Підстановка того ж степеняn називається оберненою підстановкою до , якщо
.
Підстановка, обернена до , позначається.
Легко бачити, що до підстановки
оберненою є підстановка
.
Приклад 1.8. До підстановки
знайдемо обернену.
.
Задача 1.15. До підстановки знайти обернену:
а) ;б) ;в) ;
г) ; д) .
Задача 1.16. Яка підстановка є оберненою до тотожньої підстановки ?
Задача 1.17. До підстановки
степеня 2n (n є N) знайти обернену.
Задача 1.18. До підстановки
степеня 4n (n є N) знайти обернену.
Задача 1.19. Навести приклад підстановки степеня 20, такої, щоі.
Із означення парної (непарної) підстановки випливає, що підстановки імають однакові парності.