2.5. Мінори та їх алгебраїчні доповнення

Нехай задано визначник d порядку n і нехай k – натуральне число, k  n – 1. У визначнику d виберемо k довільних рядків і k довільних стовпців. Елементи, які стоять на перетині вибраних рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю порядку k. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядку визначника d.

Наприклад, розглянемо визначник

.

Якщо в цьому визначнику ми виберемо перший та третій рядки і другий та четвертий стовпці, то отримаємо мінор другого порядку

.

визначника d.

А якщо, наприклад, у цьому ж визначнику вибрати другий рядок і третій стовпець, то отримаємо мінор першого порядку

.

Нехай у визначнику d порядку n вибрано мінор k-го порядку. Позначимо його M. Якщо викреслити ті рядки та стовпці, на перетині яких знаходиться M, то залишиться матриця (n – k)-го порядку. Визначник M' цієї матриці називається доповняльним мінором для мінору M.

Наприклад, у визначнику

виділимо перший рядок і третій стовпець. Отримаємо мінор

першого порядку. Доповняльним мінором до M є мінор

M' = .

Ясно, що коли M' – мінор, доповняльний до мінора M, то M, у свою чергу, є доповняльним мінором до мінора M'. Таким чином, можна говорити про пару взаємно доповняльних мінорів визначника.

Нехай мінор M визначника d розміщений у рядках із номерами i₁, i₂, …, i_k та стовпцях із номерами j₁, j₂, …, j_k. Алгебраїчним доповненням мінора M називається добуток

·M',

де M' – мінор, доповняльний до M.

Пояснимо це поняття на прикладі. Нехай

.

Розглянемо мінор M визначника d, який знаходиться на перетині другого та третього рядків і першого та третього стовпців

.

Знайдемо алгебраїчне доповнення мінора M

·M' = = = =.

Теорема Лапласа. Нехай у визначнику d порядку n довільно вибрані k рядків (або k стовпців), 1  k n – 1. Тоді сума добутків усіх мінорів k-го порядку, розміщених у вибраних рядках (або стовпцях) на їх алгебраїчні доповнення, дорівнює визначнику d.

Доведення дивись, напр., в [3].

Приклад 2.11. Скористувавшись теоремою Лапласа, обчислимо визначник

.

Нам буде зручно вибрати другий та третій стовпці, оскільки із розміщених у них шости мінорів лише три ненульові.

+ + += 45.

Приклад 2.12. Знайдемо визначник

.

Виділимо четвертий, п’ятий, шостий і сьомий рядки. Серед мінорів, які знаходяться в цих рядках лише один ненульовий – це мінор .

Отже,

.

2.6. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця

Нехай a_ij – елемент визначника d. Тоді

M = | a_ij | = a_ij

є мінор першого порядку визначника d, який розташований в i-му рядку та j-му стовпці. Через M_ij позначимо доповняльний мінор до мінора M. Мінор M_ij називають мінором елемента a_ij. Отже, мінор елемента a_ij отримується після викреслювання із визначника i-го рядка та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням елемента a_ij, яке позначається A_ij, називається добуток

(–1)^{i + j}M_ij.

Наприклад, якщо

,

то

, ,.

Виберемо у визначнику d n-го порядку i-й рядок. Тоді із теореми Лапласа виходить, що визначник d дорівнює сумі добутків усіх елементів i-го рядка на їх алгебраїчні доповнення, тобто:

.

Отриману формулу називають розкладом визначника за елементами i-го рядка.

Якщо у визначнику вибрати j-й стовпець, то будемо мати розклад визначника за елементами j-го стовпця:

.

Приклад 2.13. Обчислимо визначник

.

Розкладемо спочатку d за першим рядком, а потім отриманий визначник третього порядку розкладемо за другим стовпцем

.

Задача 2.21. Користуючись теоремою Лапласа, обчислити визначники:

а) ;б) ;в) ;

г) ;д) ;е) ;

є) ;ж) ;

з) ;і) .

Задача 2.22. Довести, що подані визначники дорівнюють нулю, не розгортаючи їх:

а) ; б) .

Задача 2.23. Обчислити визначник n-го порядку:

.

Задача 2.24. Довести, що

.