2.7. Знаходження визначника зведенням до трикутного виду

Цей метод полягає у перетворенні визначника до такого вигляду, коли всі елементи, які знаходяться по один бік від однієї з діагоналей, дорівнюють нулю. У випадку, коли це головна діагональ, визначник дорівнює добутку елементів цієї діагоналі. Якщо це бічна діагональ і визначник має порядок n, то він дорівнює добутку елементів діагоналі, помноженому на число .

Приклад 2.14. Обчислимо визначник

,

звівши його до трикутного виду.

До другого рядка визначника додамо перший рядок, помножений на (–2), потім до третього рядка додамо перший, і до четвертого рядка додамо перший, помножений на (–3). Від цих перетворень значення визначника не зміниться. Отже, будемо мати:

.

До третього рядка отриманого визначника додамо його другий рядок, помножений на 3, а до четвертого – другий, помножений на (–3). За результатом цих перетворень, які не змінять значення визначника, отримаємо

.

Тепер до четвертого рядка, помноженого на 2, додамо третій рядок. Після такого перетворення визначник помножиться на 2, а, значить, будемо мати:

.

Приклад 2.15. Обчислимо визначник

.

Від останнього стовпця визначника віднімемо всі попередні стовпці

.

Приклад 2.16. Обчислимо визначник n-го порядку

.

Перший рядок визначника додамо до всіх інших. У результаті цього перетворення ми отримаємо

Приклад 2.17. Обчислимо визначник

порядку n.

До першого стовпця визначника додамо суму всіх інших стовпців, а потім число (n – 1) винесемо із першого стовпця за знак визначника

= .

Перший рядок перетвореного визначника віднімемо від усіх інших рядків

.

Задача 2.25. Обчислити подані визначники зведенням до трикутного виду:

а) ;б) ;в) ;

г) ;д) ;е) ;

подані нижче визначники мають порядок n:

є) ;ж) ;

з) ;і) .

Задача 2.26. Обчислити визначник матриці , елементи якої задані умовами.

Задача 2.27. Обчислити визначник матриці , елементи якої задані умовами.

3. Алгебра матриць

3.1. Додавання матриць і множення матриці на число

Розглянемо деякі природні операції над матрицями.

Сумою A + B двох матриць і однакових розмірів k  n називається матриця того ж розміру, елементи якої визначаються за правилом

( 1  i  k, 1  j  n).

Інакше кажучи, щоб отримати суму двох матриць однакових розмірів, потрібно додати їх елементи, що стоять на тих самих місцях. Операція утворення суми матриць називається їх додаванням.

44