Дороговцев & Co - задачник

8) '((A4B) \ C) = '(A \ C) + '(B \ C) ¡ 2'(A \ B \ C); 9) '((A \ B) [ C) = '(A \ B) + '(C) ¡ '(A \ B \ C);

10) '((A \ B)4C) = '(A \ B) + '(C) ¡ 2'(A \ B \ C);

11) '((A [ B)4C) = '(A) + '(B) + '(C) ¡ '(A \ B)¡

¡2['(A \ C) + '(B \ C) ¡ '(A \ B \ C)]:

Ï3. Нехай A алгебра пiдмножин X, ' : A ! [0; +1) адитивна функцiя множин, fA; B; Cg ½ A та вiдомi значення '(X); '(A); '(B);

'(C); '(A \ B); '(A \ C); '(B \ C) i '(A \ B \ C): Визначити:

1)

'(

A

[

B

);

7)

'((A4B) [

C

);

2)

'(

4

);

A

B

8)

' (A

B)

;

C

3)

'(

A

\

B

);

³

[

\

´

4)

'(A B);

9)

'((A4B)4

C

);

4

10)

'((A [ B)4

);

5)

'(A \

B

);

C

6)

'((

[

) \ C);

11)

'((A \ B)4

):

A

B

C

Ï4. Нехай виконуються припущення iз задачi П3. Знайти '(D); ÿêùî D

сукупнiсть усiх тих елементiв, якi:

1)належать тiльки до множини A;

2)належать тiльки до множин A i B;

3)належать принаймнi до однi¹¨ з множин A; B i не належать до C;

4)належать тiльки до однi¹¨ з множин A; B i не належать до C;

5)належать тiльки до однi¹¨ з множин A; B; C;

6)належать тiльки до двох з множин A; B; C;

7)належать до не бiльш нiж однi¹¨ з множин A; B; C;

8)не належать до жодно¨ з множин A; B; C;

9)належать принаймнi до двох iз множин A; B; C;

10)належать не бiльше, нiж до двох iз множин A; B; C:

11

ЗАНЯТТЯ 3

МIРА ТА ˆˆ ВЛАСТИВОСТI

Контрольнi запитання

1.Дати означення мiри.

2.Навести властивостi мiр.

À3

Î1. Нехай K êiëüöå i ¹ : K ! [0; +1] адитивна функцiя множин. Довести, що ¹ ìiðà íà K òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ¹ ¾-пiвадитивна функцiя на K:

Ñ1. Нехай ¹ ¾-адитивна функцiя множин на пiвкiльцi P: Довести, що ¹(?) = 0 i ¹ адитивна.

Ñ2. Нехай ¹1; ¹2 ìiðè íà êiëüöi K. Довести, що

8f®1; ®2g ½ [0; +1) : ®1¹1 + ®2¹2 ìiðà íà K:

Î2. Нехай K êiëüöå i ¹ : K ! [0; +1] адитивна функцiя множин.

Довести, що функцiя ¹ ¹ ìiðîþ íà K òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âîíà

неперервна знизу, тобто

1

8 fAn : n ¸ 1g ½ K; An ½ An+1; n ¸ 1;

An 2 K :

=1

1

nS

¹

A

=

lim ¹(A ):

µn=1

n¶

n!1

n

Ñ3. Нехай x0 2 X i

S

1;

ÿêùî x0 2 A;

8

A

½

X : ¹(A) =

(0;

ÿêùî x0

= A:

Довести, що ¹ ìiðà íà ¾-алгебрi 2X :

2

Î3. Нехай X = fxn : n ¸ 1g ; fpn : n ¸ 1g ½ [0; +1) i

¹(?) = 0; 8A ½ X; A 6= ? : ¹(A) =

n

xn

A

pn:

Довести, що ¹ ìiðà íà ¾-алгебрi 2X :

f

j

P2

g

Ñ4. Нехай X злiченна множина i

0;

;

ÿêùî A скiнченна;

8A ½ X : ¹(A) = (+

ÿêùî A нескiнченна.

1

12

Довести, що ¹ адитивна функцiя на 2X ; яка ¹ неперервною зверху, тобто

8 fAn : n ¸ 1g ½ K; An+1 ½ An; n ¸ 1; ¹(A1) < +1 :

1

A

n¶

=

lim ¹(A ):

¹ µn=1

n!1

n

×è ¹ ¹ ìiðîþ íà 2X ?

T

1

Î4. Нехай ¹ ìiðà íà ¾-алгебрi S; fAn : n ¸ 1g ½ S i

¹(Ak) < +1:

=1

Довести, що ¹

An

= 0:

kP

lim

³

n!1

алгебра

пiдмножин множини

Ä1. Нехай

¾

-

´

X

,

SY

¾

-алгебра

SX

пiдмножин

множини

Y;

T

:

X

!

Y , причому

T ¡1(SY )

½

SX ,

¹ ìiðà íà SX . Покладемо

B

1

2

SY

: º(B) = ¹(T ¡

(B)): Довести, що

8

º ìiðà íà SY . Ìiðó º називають образом мiри ¹ при вiдображеннi T . Ä2. Нехай f¹n : n ¸ 1g ïîñëiäîâíiñòü ìið íà êiëüöi K. Довести, що

для довiльно¨ послiдовностi f®n : n ¸ 1g ½ (0; +1) функцiя множин
Ä3.	P	¹	¾		H; E 2 H; ¹(E) < +1; H0
	1
º = ®n¹n ¹ ìiðîþ íà K.
	n=1
	Нехай		ìiðà íà	-êiëüöi

довiльний клас множин, якi попарно не перетинаються, H0 ½ H. Довести, що сукупнiсть fB 2 H0 j ¹(B \ E) 6= 0g не бiльш, нiж злiченна.

Ä4. Нехай ¹ ìiðà íà ¾ - êiëüöi H. Довести, що

8 fEn : n ¸ 1g ½

H

: ¹

lim E

n¶

lim ¹(E

),

µn!1

· n!1

n

à ÿêùî 9n0

2 N : ¹

1

Ei

! < +1; òî

Ãi=n0

S

¹(E ).

¹

lim

E

lim

³n!1

n´

¸ n!1

n

Навести приклад, коли виконуються тiльки строгi нерiвностi.

Ä5. Нехай P = f?; (a; b] j 0 · a < b < +1g i

(

¹((a; b]) = 0; a > 0; ¹(?) = 0: 1; a = 0;

Довести, що ¹ ¹ адитивною, але не ¾-адитивною функцi¹ю на пiвкiльцi P.

13

Ä6. Нехай X = Q. Íà ¾-алгебрi 2X задати мiру ¹ так, щоб мiра кожного рацiонального числа була додатною, а ¹(X) = 1:

Ä7. Нехай H ½ 2X : Назвемо функцiю множин ¹ : H ! [0; +1] "суперадитивною", якщо для довiльно¨ множини T i

довiльного набору fA® 2 H : ® 2 T g таких, що A®1					\ A®2 = ?;
®1	6= ®2	; òà ®2T	A® 2 H; викону¹ться рiвнiсть ¹	µ®2T A®¶	= ®2T ¹(A®);
		S		S	P

де сума в правiй частинi рiвна +1; якщо вона мiстить незлiченну кiлькiсть доданкiв, вiдмiнних вiд 0. Довести, що:

1)кожна суперадитивна функцiя ¹ мiрою на H;

2)ÿêùî X злiченна множина, то кожна мiра на H ¹ суперадитивною;

3)ÿêùî X незлiченна множина, то iсну¹ несуперадитивна мiра на H:

Á3

Ã1. Нехай f : R ! [0; +1] i

¹(?) = 0; 8A ½ R; A 6= ? : ¹(A) =	f(k):
	A N
	k2P\

Довести, що ¹ ìiðà íà 2X :

Г2. Нехай K кiльце, ¹ : K ! [0; +1) адитивна функцiя. Довести, що функцiя ¹ ¹ мiрою на K тодi i тiльки тодi, коли вона неперервна зверху на ?, тобто

8 fAn : n ¸ 1g ½ K; An ¾ An+1; n ¸ 1; T1 An = ? :

n=1

lim ¹(An) = 0:

n!1

Ã3. Нехай ¹ ìiðà íà ïiâêiëüöi H: Чи правильнi наступнi твердження:

1)ÿêùî ¹ ¾-скiнченна мiра на H; òî ¹ скiнченна мiра на H;

2)ÿêùî ¹ скiнченна мiра на H; òî ¹ ¾-скiнченна мiра на H;

ÿêùî H êiëüöå? ÿêùî H ¾-алгебра?

Ï1. Нехай ¹ ìiðà íà ¾-алгебрi S. Довести, що клас:

1) H = fA 2 S j ¹(A) = 0g ¹ кiльцем;

2) H = fA 2 S j ¹(A \ B) < +1g ; äå B 2 S; ¹ кiльцем; 14

=

©A

¹(A) < +

¹(A)

ª

¹ алгеброю.

3)

H =

A 2 S j ¹(A) = 0 àáî ¹(

A

) = 0

¹ ¾-алгеброю;

½

X;

Нехай

ÂA©

характеристична функцiя X

ª

A

4)

H

S

àáî

< +

2

j

1

1

множини

fx1; x2g ½ X i x1 6= x2: ×è áóäå ¹ ìiðîþ íà 2

; ÿêùî:

5)

8E ½ X : ¹(E) = ÂE(x1) + ÂE(x2);

6)

8E ½ X : ¹(E) = ÂE(x1)ÂE(x2);

7)

8E ½ X : ¹(E) = 2ÂE(x1) + 3ÂE(x2);

8)

8E ½ X; E 6= ? : ¹(E) = 1 ¡ ÂE(x1); ¹(?) = 0;

9)

8E ½ X; E 6= ? : ¹(E) = 2 ¡ ÂE(x1) ¡ ÂE(x2);

¹(?) = 0;

10)

8E ½ X : ¹(E) = (ÂE(x1) + ÂE(x2))2 ;

11)

8E ½ X : ¹(E) = jÂE(x1) ¡ ÂE(x2)j?

Ï2.

Нехай

¹

ìiðà íà

¾-алгебрi

S;

fAn : n ¸ 1g

½

S;

Ai \ Aj = ?; i 6= j; i; j ¸ 1: Обчислити ¹

µn=1 An¶

; ÿêùî:

S

1

1) ¹(An) = 1 ;

2n(2n+2) 2) ¹(An) = n(n1+1) ;

3) ¹(An) = 21n + 51n ;

4) ¹(An) = (21n)! ;

5) ¹(An) = 1 ;

(2n+1)!

6) ¹(An) = 1 ;

(2n¡1)!

7)	¹(An) =	1	;
		(3n¡2)(3n+1)
8)	¹(An) =	1	;
		(2n¡1)(2n+1)

9) ¹(An) = 2nn! ; 10) ¹(An) = n1! ;

11)¹(An) =

= jpn + 2 ¡ 2pn + 1 + pnj;

12)¹(An) = e¡n:

Ï3. Нехай ¹ ìiðà íà ¾-алгебрi

lim

A

ÿêùî:

¹ ³n!1

n´ = 0;

p

2

;

1)

¹(An) =

¡

p2 ¡ 1

¢

¹(An) =

¡

n

2)

n

p

2

;

3)

¹(An) = sin3

n1 ;

n;

¡¢3

5)¹(An) = 1 ¡ cos n1 2 ;4) ¹(An) = tg2 1

1
6) ¹(An) = sh	np		;
		n

S; fAn : n ¸ 1g ½ S: Довести, що

8)	¹(An) = ln³ 2 1 + n1							´;
				1				3
7)	¹(An) =	arctg p					n	;
10)				R1
				n
9)	¹(An) =	1		¡ dxx ;				¢
		n2
				1
	¹(An) = ch n ¡ 1;
11)	¹(An) =	1	arctg n;
		2
		n
12)	¹(An) = sin				1	:
					2
				n

15

ЗАНЯТТЯ 4

ÇÎÂÍIØÍß ÌIÐÀ. ¸¤-ВИМIРНI МНОЖИНИ. ПРОДОВЖЕННЯ МIРИ

Контрольнi запитання

1.Дати означення зовнiшньо¨ мiри.

2.Як буду¹ться зовнiшня мiра за заданою мiрою на кiльцi?

3.Дати означення ¸¤-вимiрно¨ множини.

4.У чому поляга¹ процес продовження мiри за Каратеодорi?

À4

Î1. Нехай		¸¤	; ¸¤ çîâíiøíi ìiðè íà 2X i	f	®1	; ®2	g	½	[0; +	1	):
		1	2
Довести, що		функцiя º¤ = ®1¸1¤ + ®2¸2¤ ¹ зовнiшньою мiрою на 2X :
Ñ1. Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X : Довести, що:
1)	¸¤ ¹ монотонною функцi¹ю на 2X ; тобто
		8fA; Bg ½ 2X ; A ½ B : ¸¤(A) · ¸¤(B);
2)	8fA; B; Cg ½ 2X : ¸¤(A4B) · ¸¤(A4C) + ¸¤(C4B):

Ñ2. Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X i

H = fA ½ X j ¸¤(A) = 0g :

Довести, що H ¹ ¾-кiльцем.

Î2. Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X . Довести, що множина A

½

X ¹

¸¤-âèìiðíîþ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

8B ½ X : ¸¤(B) ¸ ¸¤(B \ A) + ¸¤(B \

):

A

Î3. Нехай

P = f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g ; F : R ! R;

F (x) =

81;

1

·

x < 2 ;

>

0;

<

F

!

>

1

F

?

:

2;

x ¸ 2;

функцiя ¸

: P

[0; + )

òàêà, ùî ¸ (

) =

0;

¸F ((a; b]) = F (b) ¡ F (a):

1)	Продовжити мiру ¸F íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P:
2)	Довести, що:
	a) кожна борельова множина ¹ ¸F¤ -âèìiðíîþ;
	16

b) ¸F¤ (f1g) = ¸F¤ (f2g) = 1; ¸F¤ (f1; 2g) = 2;

c) ¸¤ (R 1; 2 ) = 0;

F

nf

g

d)

8

A

½

R

: ¸¤ (A)

=

j

A

\ f

1; 2

gj

(число елементiв

F

множини A \ f1; 2g);

R ¹ ¸¤ -âèìiðíîþ.

e) будь-яка множина A

½

F

Î4. Нехай

P =

f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g ;

функцiя

¸ : P ! [0; +1) òàêà, ùî

¸((a; b])

=

b ¡ a; ¸(?)

= 0:

Продовжити мiру ¸ íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P.

Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2R; породжена мiрою ¸: Öþ çîâíiøíþ

мiру називають зовнiшньою мiрою Лебега. Довести, що:
1)	8a 2 R : ¸¤(fag) = 0;
2)	Äëÿ áóäü-ÿêî¨	не бiльш нiж злiченно¨ множини
	A ½ R âiðíî, ùî	¸¤(A) = 0:

Ä1. Нехай X	= f1; 2; 3; 4g;	P =	f?; f1g; f2g; f3; 4gg i функцiя
¹ : P ! [0; +1) òàêà, ùî		¹(?)	= 0; ¹(f1g) = ¹(f2g) = 1;
¹(f3; 4g) = 2:

1)Довести, що ¹ ìiðà íà ïiâêiëüöi P:

2)Продовжити мiру ¹ íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P:

3)Побудувати зовнiшню мiру ¹¤; породжену мiрою ¹.

4)Визначити ¾-алгебру ¹¤-âèìiðíèõ множин та продовження мiри ¹ íà öþ ¾-алгебру.

Ä2. Нехай	¸¤				çîâíiøíÿ ìiðà	íà 2X ; äëÿ ÿêî¨
¸¤(X) < + ;	f	E; F	g ½		2X i принаймнi одна з множин E ÷è F ¹
¸¤-âèìiðíîþ.1
Довести, що
¸¤(E) + ¸¤(F ) = ¸¤(E [ F ) + ¸¤(E \ F ):
Ä3. Нехай ¹ скiнченна мiра на алгебрi A;						¹¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X ;
яка породжена мiрою ¹;				¾a(A) ¾-алгебра, породжена алгеброю A:

Довести, що:

8A ½ X : ¹¤(A) = min f¹(B) j A ½ B; B 2 ¾a(A)g ;

äå ¹ звуження ¹¤ íà ¾a(A):

Ä4. Нехай виконуються припущення iз задачi Д3. Довести, що множина A ½ X ¹ ¹¤-âèìiðíîþ òîäi i ëèøå òîäi, êîëè A = B [ C; äå B 2 ¾a(A)

i ¹¤(C) = 0:

17

Ä5. Нехай виконуються припущення iз задачi Д3 i для множини A ½ X умова

8" > 0 9fC; Bg ½ ¾a(A) : C ½ A ½ B; ¹(BnC) < ":

Довести, що множина A ¹ ¹¤-âèìiðíîþ.

Ä6. Нехай K êiëüöå, ¾k(K) ¾-кiльце, породжене цим кiльцем, ¹1; ¹2¾-скiнченнi мiри на ¾k(K) i 8A 2 K : ¹1(A) · ¹2(A): Довести, що

8A 2 ¾k(K) : ¹1(A) · ¹2(A):

Ä7. Нехай X = [0; 1] £ [0; 1]; H клас горизонтальних i вертикальних прямокутникiв всерединi X, у яких довжина або ширина дорiвню¹ 1. Для довiльного Π 2 H через ¹(Π) позначимо площу прямокутника Π: Вказати два рiзнi продовження мiри ¹ íà ¾-алгебру ¾a(H); породжену класом H:

Ä8.	Нехай виконуються	припущення	iç	задачi	Ä3	i
¹¤(A) = ¹(X) ¡ ¹¤(XnA)		внутрiшня	ìiðà	множини A	½	X:
Довести, що:
1)	¹¤(A) · ¹¤(A);
2)	¹¤(A) = max f¹(C) j C ½ A; C 2 ¾a(A)g ;
3)	множина A ¹ ¹¤-âèìiðíîþ òîäi i ëèøå òîäi, êîëè ¹¤(A) =
	¹¤(A):

Ä9. Нехай виконуються припущення iз задачi Д3. Довести, що множина A ½ X ¹ ¹¤-âèìiðíîþ òîäi i ëèøå òîäi, êîëè

8" > 0 9B 2 A : ¹¤(A4B) < ":

Ä10. Нехай S ¾-алгебра i ¸ ìiðà íà S: Покладемо

S0 := fA [ B j A 2 S; B ½ C 2 S; ¸(C) = 0g ;

¸0(A [ B) := ¸(A): Довести, що S0 ¾-алгебра i ¸0 повна мiра на S0:

Ä11. Довести, що твердження iз задач Д3, Д4 та Д5 правильнi i для ¾-скiнченних мiр.

Ä12. Нехай ¹ ìiðà íà êiëüöi K; ¹ продовження за Каратеодорi мiри ¹ íà ¾-алгебру S; ¹¤; ¹¤ зовнiшнi мiри, породженi мiрами ¹ i ¹ вiдповiдно. Довести, що ¹¤ = ¹¤:

Á4

Ã1. Нехай ¹ ¾-скiнченна мiра на кiльцi K: Довести, що зовнiшня мiра ¹¤; породжена мiрою ¹; ¹ ¾-скiнченною.

Ã2. Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X i E ¸¤-вимiрна множина. Довести,

ùî ¸¤(X) = ¸¤(E) + ¸¤(E):

18

Ã3. Нехай X = (0; 1] £ (0; 1];

P = f?; (a; b] £ (0; 1] j 0 · a < b · 1g ;

функцiя ¹ : P ! [0; +1) òàêà, ùî

¹((a; b] £ (0; 1]) = b ¡ a; ¹(?) = 0:

Продовжити мiру ¹ íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P: Нехай, далi,

¹¤ зовнiшня мiра, породжена мiрою ¹: Довести, що множина (0; 1]

1

£f2 g

íå ¹ ¹¤-вимiрною. (Вказiвка: скористатися результатом задачi О2.)

Ï1.

Нехай

P =

f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g

i функцiя

¸F : P ! [0; +1) òàêà, ùî ¸F ((a; b]) = F (b) ¡ F (a) i ¸F (?) = 0; äå

F : R ! R неспадна i неперервна справа функцiя. Продовжити мiру ¸F

íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P; довести, що довiльна множина

A

½

R ¹ ¸¤ -вимiрною, та знайти

¸¤

(A) для будь-якого A

½

R; ÿêùî:

F

F

8

¡

¡ ·

1

·

1) F (x) =

>

10; ¡1 < x < ¡3;

<

¡8; ¡1 < x < ¼;

(¡5;

3 x < + ; 8) F (x) =

7;

¼ x < 10;

>

(0;

2

x < +

;

9; 10 · x < +1;

2) F (x) = ¡10; ¡1 < x < ¡2;

3) F (x) = 0; ¡1 < x < 1;

9) F (x) =

8[x]; 0 x < 10;

(11;

¡ ·

1

:

0; ¡1 < x < 0;

>

·

1

<

·

1

x < +

;

4) F (x) =

¡7; ¡1 < x < ¼;

>10; 10 · x < +1;

(8;

¼

x < +1;

:0; ¡1 < x < 0;

0;

·< x <

1;

10) F (x) =

8[x2];

0

x < p

;

5

5) F (x) = 83;

1 x < 1;

<5;

p5 x < + ;

<5;

¡1

¡

>

·

1

x < +

;

>

>

¡ ·

·

1

:¡

¡1

11) F (x) =

8[ex];

0

·

x < 2;

6) F (x) = 80;

1 x < 3;

>

10;

< x < 0;

> 2;

·

1

:

¡1

< x < 1;

<

¡

<3; 3 · x < +1;

·

1

>

>

·

:

10;

2

x < +

;

7) F (x) =

12;

5

·

x < 7;

12) F (x) =

8[ln x];

1

x < e3

;

8

< x < 5;

>

0;

3·

< x < 1;

>11;

¡1

¡1

:

<

>

e · x < +1:

<15; 7 · x < +1;

>5;

>

:

:

19

Ï2. Нехай fx1; x2g ½ X; x1 =6 x2: Чи ¹ зовнiшньою мiрою на 2X функцiя множин ¸¤; якщо для довiльно¨ множини E ½ X :

1) ¸¤(E) = (1 + ÂE(x1))(1 + ÂE(x2)); 2) ¸¤(E) = ÂE(x1) ¡ ÂE(x2);

3) ¸¤(E) = (1 + ÂE(x1))ÂE(x2):

У наступних задачах перевiрити, чи ¹ функцiя множин ¸¤ зовнiшньою ìiðîþ íà 2X : У випадку зовнiшньо¨ мiри знайти клас усiх ¸¤-вимiрних множин.

4) X = fx1; x2g; ¸¤(fx1g) = ¸¤(fx2g) = 7; ¸¤(X) = 1; ¸¤(?) = 0;

5) ¸¤(?) = 0; 8E ½ X; E =6 ? : ¸¤(E) = 1; 6) ¸¤(?) = 0; 8E ½ X; E =6 ? : ¸¤(E) = +1;

7) X = f1; 2g; ¸¤(f1g) = ¸¤(f2g) = 1; ¸¤(X) = 5; ¸¤(?) = 0;

8) X = f1; 2g; ¸¤(f1g) = ¸¤(f2g) = ¸¤(X) = 1; ¸¤(?) = 0;

9) X = f1; 2; 3g; ¸¤(f1g) = ¸¤(f2g) = ¸¤(f1; 2g) = 1; ¸¤(f3g) = 2; ¸¤(f1; 3g) = ¸¤(f2; 3g) = ¸¤(X) = 3; ¸¤(?) = 0;

10) X = f1; 2; 3g; ¸¤(f1g) = ¸¤(f3g) = ¸¤(f1; 3g) = 2; ¸¤(f2g) = 5; ¸¤(f1; 2g) = ¸¤(f2; 3g) = ¸¤(X) = 7; ¸¤(?) = 0:

Ï3. Нехай ¸¤ çîâíiøíÿ ìiðà íà 2X : Чи ¹ зовнiшньою мiрою на 2X

функцiя множин º¤; ÿêùî:				6)	p3
1)	p
	º¤ =	¸¤	;		º¤ =		¸¤	;
2)	º¤ = ln(1 + ¸¤);				º¤ = p5			;
				7)		¸¤
3)	º¤ = min(1; ¸¤);			8)	º¤ = (¸¤)3;
4)	º¤ = (¸¤)2;			9)	º¤ = e¸¤;
5)	º¤ = j sin ¸¤j;			10)	º¤ = j cos ¸¤j:

20