Дороговцев & Co - задачник

ЗАНЯТТЯ 12 ВЛАСТИВОСТI IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Контрольнi запитання

1.Сформулювати властивостi iнтеграла Лебега.

2.Як пов'язанi мiж собою iнтеграли Лебега i Рiмана?

3.Критерiй iнтегровностi за Рiманом.

äå ¸1

À12

мiра Лебега на R: Чи ¹ функцiя f iнтегровною за РiманомRíà [0; ¼]?

Î1. Нехай f(x) = ÂRnQ(x) sin x; x 2 R: Обчислити iнтеграл

f d¸1;

[0;¼]

Î2. Довесòи нерiвностi

1)

2=

p4

ex2+xÂ

RnQ

(x) d¸ (x)

·

2e2;

e · [¡R12;1]

2

1

4

R

3¼e

2) 3¼e · ex +y (x2 + y2)¡1ÂRnQ(x) d¸2(x; y) ·

4

;

Ñ1.

©

A

ª

· 4

äå A =

(x; y) j 1 · x2 + y2

; ¸2

мiра Лебега на R2:

Довести нерiвнiсть

[0R;1] e¡xÂRnQ(x) d¸1(x) · [0R;1] e¡x2 ÂRnQ(x) d¸1(x):

Ñ2. Обчислити iнтеграли:

1)

d¸1(x)

;

2)

d¸1(x)

:

[0;+

)

[x+1][x+2]

+

)

[x]!

R1

[0;

R1

Ñ3. Нехай f : R ! R довiльна функцiя. Довести, що функцiя f(x)ÂQ(x);
Ñ4. Нехай f			R		Rm);	¸ мiра Лебега			â Rm i
x 2 R; ¹ борельовою i				fÂQ d¸1		= 0:
			R
	2			C( m			m
K компактна множина в R ; m ¸ 1: Довести, що f 2 L(K; ¸m):
Î3. Нехай f(x) =		sin x		;	x ¸ 1: Äëÿ ÿêèõ ® 2 R невласний iнтеграл
		x®
fR12 L([1; +1); ¸1)?								2
+1
f(x) dx збiга¹ться абсолютно? умовно? Для яких ®									R âiðíî, ùî
						51

Î4. Нехай F (x) = [x]; x 2 R; ¸F вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на

R i f : R ! R деяка функцiя. Довести, що f 2 L(R; ¸ ) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè P jf(k)j < +1: При цьому F

k 2Z

8A ½ R : R f d¸F = P f(k):

Ak2A\Z

Ñ5. Нехай ¸F мiра Лебега-Стiлть¹са з задачi О4. Обчислити iнтеграли:
	R		R		1
1)	e¡jxj d¸F (x);	3)	ÂRnQ(x) d¸F (x);
	R		R
	R	4)				d¸F (x):
2)	ÂQ d¸F (x);		+ )	x(x+1)
	R		[1; R1
Ä1. Нехай f 2 L(X; ¸): Довести, що					¯A f d¸¯ < ":
	8" > 0 9± > 0 8A 2 F; ¸(A) < ± :
					¯R		¯
					¯		¯
Цю властивiсть називають абсолютною неперервнiстю¯							iнтеграла¯	Лебега.

Д2. Нехай функцiя ' : R ! R ма¹ майже скрiзь вiдносно мiри ¸1 íà [a; b] ïîõiäíó '0; обмежену на [a; b]: Довести, що '0 2 L([a; b]; ¸1):

Д3. Нехай A замкнена пiдмножина вiдрiзка [a; b] i ¸1(A) = 0: Довести, що функцiя ÂA iнтегровна за Рiманом на [a; b]:

Д4. Нехай множина A ½ [a; b] вимiрна за Лебегом. Довести, що для будьякого " > 0 iсну¹ проста функцiя

p(x) =	n	Â(ak;bk](x); x 2 R; ak; bk j k =				½ R;
					1; n
	=1		©	ª
òàêà, ùî	kP
		jÂA ¡ pj d¸1 < ":
		R
		R
Ä5. Нехай f 2 L([a; b]; ¸1): Довести, що:
1) 8" > 0 9g 2 C([a; b]) :			jf ¡ gj d¸1 < ";
		[	a;b]
			R
2) 8" > 0 9± > 0 8t 2 (0; ±) :
[0;1R¡±) jf(x + t) ¡ f(x)j d¸1(x) < "; äå [a; b] = [0; 1];
3) 8" > 0 9g 2 C([a; b]); g(a) = g(b) = 0 : [				R jf¡gj d¸1 < ":
				a;b]
			52

Ä6. Навести приклад iнтегровно¨ за Рiманом на вiдрiзку [a; b] функцi¨, множина точок розриву яко¨ щiльна в [a; b]:

Ä7.

¸(X)

Нехай		ffk : k ¸ 0g			ïîñëiäîâíiñòü F-вимiрних функцiй i
< +	1	: Довести, що fn		n	¸		f0 òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
			¡¡¡!
					!1
		lim			fn ¡ f0j				d¸ = 0:
		n!1 Z	1 +j			fn	¡	f0	j
		X			j

Á12

Ï1. Довести нерiвностi:

¼

Z¼

1)

e¡ sin xÂRnQ(x) d¸1(x) ¸

;

2e

[0; 2 )

1

· Z

1

1

2)

p

(1 ¡ ÂQ(x)) d¸1(x) · p

;

2

4

¡

x2

¡

x3

2

3)

[0;1]

(x) · 4;

5 · Z

xÂRnQ(x) d¸1

1

1

1

[4;5)

1

· Z

2

1

4)

x2e¡x

(1 ¡ ÂQ(x)) d¸1(x) ·

;

3e

3

[0R;1]

p

[0;1)

p

2

4

5)

1 + x d¸1

(x) ¸ [0R;1] 2

1 + x d¸1(x);

6)

[1R;2)

ln x d¸1(x) ¸ [1R;2)

(ln x)

ÂRnQ(x) d¸1(x);

4¼

· Z

Â

(x; y)

7)

R£(RnQ)

d¸2(x; y) · 4¼;

3

1 + 21 cos(x2 + y2)

ª

A

©

Z

( x + y )9ÂR Q(x)

äå A = (x; y) j x2 + y2 · 2 ;

p

8)

j j

j j

n

d¸2(x; y) · 2;

p

1 +

x + y

x +

y

1 ;

A

j j

j j

äå A =

f

(x; y) :

j ·

j j

j

g

53

9)

Z

sin4(x4 + y4)ÂRnQ(y) d¸2(x; y) · Z

sin2(x4 + y4) d¸2(x; y);

10)

Z

e¡(x2+y2) d¸2(x; y) ·

Z

e¡(x2+y2©)2 ÂRnQj(x) d¸2(x; y); ª

A

A

äå A = (x; y) x4 + y4 · 2¼ ;

A

A

äå A = (x; y) j x2 + y2 · 1 :

Ã1. Нехай

f

L(X; ¸);

An

: n

1

F i

¸(An) n

Довести,

2

f

¸

g ½

©

0: ª

¡¡¡!

ùî

f d¸

0:

!1

ARn

¡¡¡!!1

n

Ï2. Обчислити iнтеграли:

6)

Z

[2x]!

;

1)

Z

2¡[x] d¸1(x);

d¸1(x)

[0;+1)

[1;+1)

2)

Z

1

d¸1(x);

7)

Z

2¡([x]+[y]) d¸2(x; y);

[x]!

	[1;+1)
3)	Z	d¸1(x)		;
		[2x + 1][2x + 3]
	[0;+1)
4)	Z	e¡[x] d¸1(x);
	[¡2;+1)
5)	Z	d¸1(x)		;
		[3x + 1][3x + 4]

8)

9)

10)

[0;+1)£[0;+1)

Z

d¸2(x; y); [x]![y]!

[0;+1Z)£[0;+1)

d¸2(x; y); [x + y]!

[0;1]£[1;+1)

Z

d¸2(x; y):

[x ¡ y]!

[0;+1) [1;+1)£[0;1)

Ï3. Довести, що f		L([0; 1]; ¸				); та обчислити iнтеграл		[0R;1]	f d¸ ; ÿêùî:
	x2;2x Q;			Q;	1				1
1)	f(x) = (x4; x 2 R
	x10;	2 n		x		Q;
							Q;
2)	f(x) = ((1 + x2)¡1; x				2 R
	f(x) = (tg x;	cos x			2 n
3)			2 R Q;
	x;	cos x		Q;
			2			n
						54

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

f(x) =

f(x) =

f(x) =

f(x) =

f(x) =

f(x) =

f(x) =

x2;	sin x				Q;
(sin2 x;	sin x			2 R Q;
	sin x			2			n
x;					Q;
(cos2 x;	sin x			2 R Q;
				2				n
sin ¼x ;	x	Qnf0g;								0	;
(sin4 x;	x	2	(R Q)
		2			n				[ f g
x;	sin x			Q;
(ch2 x;	sin x		2 R Q;
			2			n
x10;	x	Q;
(sh2 x;	x 2 R Q;
ch x;	2			n		Q;
				x						Q;
((1 + x2)¡1; x					2 R
					2			n
((1 + x2)¡2 ; x R Q:
sh x;		1		x 2 Q;
					2				n

Ï4. Äëÿ ÿêèõ ® 2 R збiга¹ться невласний iнтеграл

+1

f(x) dx i äëÿ ÿêèõ

® 2 R викону¹ться f 2 L([1; +1); ¸1); ÿêùî äëÿ xR1

¸ 1 :

1) f(x) =

cos x

;

3)

f(x) =

sin x6

;

®

x

2

x®

2) f(x) =

sin x

;

4)

f(x) = sin x®?

x®

+1

×è çáiãà¹òüñÿ

невласний iнтеграл

R1

f(x) dx i ֏

f 2 L([1; +1); ¸1); ÿêùî äëÿ x 2 R :

5) f(x) =

1

(¡1)k

Â

[k;k+1)

(x);

k

k=1

X

6) f(x) =

1 sin k

Â[k;k+1)(x);

k=1

k

X

55

7)	f(x) =	1		(¡1)k  2					2 (x);
		X				[k ;(k+1) )
		k=1		k2
				cos k
		1
8)	f(x) =	X			Â[k2;(k+1)2)(x);
		k=1		k2
9)	f(x) =			(¡1)k  3					3 (x);
		1
		X				[k ;(k+1) )
		k=1		k3
		1
10)	f(x) =	X	cos kÂ[p				k;p		(x)?
								k+1)

k=1

Ï5. Нехай F (x) = [x]; x 2 R; i ¸F вiдповiдна мiра ЛебегаR -Ñòiëòü¹ñà íà R: Довести, що f 2 L(A; ¸F ); та обчислити iнтеграл f d¸F ; ÿêùî:

A

1)	f(x) = 2¡jxj; x 2 A = R;
2)	f(x) =	1			; x 2 A = [1; +1);
		(x)
3)	f(x) = x¡2; x 2 A = [1; +1);
4)	f(x) = sin ¼x; x 2 A = R;
5)	f(x) = ch x; x					2		A = R Z;
6)		x								n
	f(x) = e ; x 2 A = (0; 10) \ N;
7)	f(x) = x2¡x; x						2		A = N;
8)	f(x) = 3		x
				; x 2 A = (¡1; 0];
9)	f(x) =			1						; x 2 A = [0;
		(2x+1)(2x+3)
10)	f(x) =			1						; x 2 A = [0;
		(3x+1)(3x+4)

+1); +1):

56

ЗАНЯТТЯ 13 ГРАНИЧНИЙ ПЕРЕХIД ПIД ЗНАКОМ

IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Контрольнi запитання

1.Сформулювати теорему Лебега про iнтегрування монотонно¨ послiдовностi функцiй.

2.Сформулювати теореми Б.Левi i Фату.

3.Сформулювати теорему Лебега про мажоровну збiжнiсть.

À13

Ó

наступних

задачах

(X; F) вимiрний простiр i ¸ ìiðà íà

¾-алгебрi F:

n ¸ 0g ïîñëiäîâíiñòü F-вимiрних функцiй,

Î1. Нехай ffn : X ! R :

¸ скiнченна мiра i fn

n

f0 (mod ¸): Довести, що

¡¡¡!

R

!1

!1

R

sin fn d¸

n

sin f0 d¸:

X

¡¡¡!

X

Ñ1. При виконаннi припущень iз задачi О1 довести, що

R

e¡fn2 d¸

!1

R

¡¡¡!

X

n

X

Ñ2. Знайти границi:

1)

lim

x40

sinn x d¸1(x);

40

n

1+x

!1[0;R

4

100]

n!1[0;+1) exp n¡ ³x + n ´o d¸1(x);

2)

lim

R

x

äå ¸1 мiра Лебега на R:

Î2. Нехай функцiя g : X ! R вимiрна i для кожного n 2 N

gn(x) =	8n;	ÿêùî gj (x) j		n;
	>		¸
	g(x);	ÿêùî g(x)		< n;
	<	ÿêùî
	:		g(x) · ¡n:
	>¡n;

57

an d¸:

2	Довести, що g	2	L(X; ¸)		òîäi	i òiëüêè òîäi, êîëè
	R
sup		При цьому
n NX jgnj d¸ < +1:		!1 R		R
		nlim	gn d¸ =		g d¸:
		X		X		n 2 N; ¹ F-вимiрними i
Î3. Нехай A 2 F; функцi¨ an : A				! R;
P R				P
1	janj d¸ < +1: Довести, що ряд			1	an збiга¹ться абсолютно май-
n=1 A				n=1

же скрiзь вiдносно мiри ¸ íà A; його сума ¹ iнтегровною на множинi A

функцi¹ю i викону¹ться рiвнiсть

R P1 an d¸ = P1 R

A n=1 n=1 A

Î4. Нехай F (x) = [x]; x 2 R; i ¸F вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на

R;

послiдовнiсть функцiй fn

:

R

!

R;

n ¸

0; òàêà, ùî

8

k

2

Z : fn(k)

n

f0(k) i

8

n

2

N k

2

Z :

j

fn(k)

ak; причому

¡¡¡!

8

j ·

!1

k 2Z

ak < +1: Довести, що

P

fn d¸F

f0(k):

n

R

¡¡¡!

Z

!1 k

2

Ñ3.

Знайти:

R

P

cos2n ¼x d¸F (x);

1)

lim

n

100¼]

!1[0; R

cos

2n

¼x d¸1

(x);

2)

nlim

!1[0;

100¼]

R

äå ¸F мiра з задачi О4, а ¸1 мiра Лебега на R:

Ñ4. Нехай fn(x) = nÂ(0; n1 )(x); x 2 R: Довести, що

0 =

nlim fn d¸1 < nlim

R

fn d¸1 = 1:

R

!1

R

!1 R

Д1. Побудувати послiдовнiсть ffn : n ¸ 1g ½ L([0; 1]; ¸1) обмежених функцiй, яка збiга¹ться поточково до неiнтегровно¨ вiдносно мiри ¸1 íà [0; 1] функцi¨.

58

59

lim R jfn ¡ f0j = 0:

n!1X

Ä2. Побудувати послiдовнiсть функцiй fn 2 L([0; 1]; ¸1); n ¸ 1; ÿêà

çáiãà¹òüñÿ

майже

ñêðiçü

вiдносно

ìiðè

¸1

äî

функцi¨

f 2 L([0; 1]; ¸1) i òàêó, ùî

[0R;1] fn d¸1 6![0R;1] f d¸1; n ! 1:

Ä3. Побудувати

ïîñëiäîâíiñòü

функцiй

ffn : n ¸ 1g

½

L([0; 1]; ¸1)

òàêó, ùî:

n

f (mod ¸1); äå f

L([0; 1]; ¸1);

1) fn

2

¡¡¡!

2)

!1

f d¸1;

fn d¸1

n

¡¡¡!

[0;1]

!1

[0;1]

ùîá

3)

не iсну¹ тако¨ функцi¨

R

R

g 2 L([0; 1]; ¸1);

8n ¸ 1 : jfnj · g (mod ¸1) íà [0; 1]:

Ä4.

Довести, що твердження теореми Лебега про мажоровну збiжнiсть

залишиться iстинним, якщо збiжнiсть майже скрiзь замiнити на збiжнiсть

çà ìiðîþ.

8n

¸ 0

:

fn :

! R

Ä5. Нехай

X

F-âèìiðíà

функцiя,

¸ скiнченна мiра i fn

n

¸

f0: Довести, що для довiльно¨ неперервно¨

¡¡¡!

!1

i обмежено¨ на R функцi¨ g справедлива рiвнiсть

nlim

g(fn(x)) d¸(x) =

g(f0(x)) d¸(x):

X

X

!1 R

R

Ä6. Нехай

8n ¸ 1 : fn 2 L(X; ¸); fn ¸ 0

íà

X

i sup

f

n d¸ < +1:

n 1

X

fn 2 L(X; ¸)?

¸

R

Чи можна стверджувати, що nlim

!1

Ä7. Нехай ffn : n ¸ 1g ½ L(X; ¸); g 2 L(X; ¸) i

8n ¸ 1 8x 2 X : jfn(x)j · g(x):

Довести, що функцiя

f(x)

=

lim

f (x);

x

2

X; iнтегровна на X i

fn d¸ ·

n¸1

n

nlim

f d¸:

!1X

X

Ä8. Нехай

n

R

0

:

fn

L(X; ¸); fn

0; fn

n

f0 (mod ¸)

i

R

2

¸

8 ¸

¡¡¡!

fn d¸

n

f0 d¸: Довести, що

!1

X

¡¡¡!

X

R

!1

R

Ä9. Нехай S1; S2 ¾-алгебри вимiрних за Лебегом множин в R i R2 âiäïî-

âiäíî, A 2 S1; f : A ! [0; +1); B := f(x; y) j 0 · y · f(x); x 2 Ag :

Довести, що B 2 S òîäi i ëèøå òîäi, êîëè f вимiрна за Лебегом

2 R

функцiя, i при цьому ¸2(B) = f(x) d¸1(x); äå ¸1; ¸2 мiри Лебега

A

â R òà â R2 âiäïîâiäíî.

Ä10. Нехай ¸1; ¸2 мiри на вимiрному просторi

Довести, що L(X; ¸)	R	=	L(X; ¸1) \
R			R
8f 2 L(X; ¸) : f d¸ = f d¸1			+ f d¸2	:
X	X		X

(X; S); ¸ := ¸1 + ¸2:

L(X; ¸2); причому

Á13

Ã1. Нехай для будь-яких n 2 N [ f0g i k = 1; 2 функцiя fnk : X ! R

¹ F-âèìiðíîþ, ¸ скiнченна мiра, fnk		n		f0k (mod ¸); k = 1; 2; i
		¡¡¡!
			!1
g : R2 ! R неперервна та обмежена функцiя. Довести рiвнiсть
!1 R		R
nlim	g(fn1(x); fn2(x)) d¸(x) =	X	g(f01(x); f02		(x)) d¸(x):
X
Ã2. Нехай ffn : n ¸ 1g ½ L(X; ¸); 8n 2 N 8x 2 X					: fn(x) ¸ 0 i
1	fn(x); x 2 X: Довести, що f 2 L(X; ¸) òîäi i òiëüêè òîäi,
f(x) =
=1				1
1 nP	R
P R				P R

êîëè n=1X fn d¸ < +1: При цьому X f d¸ = n=1X fn d¸:

Ã3. Нехай для функцiй ffn : n ¸ 0g ½ R([a; b]) виконуються умови:

1)	x	[a; b] : fn(x) n		f0(x);
	8 2		¡¡¡!
			!1
2)	9C > 0 8n ¸ 1 8x 2 [a; b] : jfn(x)j · C:
iнтеграли Рiмана).			R	R
			b	b
Довести, що lim			fn(x) dx =	f0(x) dx (iнтеграли слiд розумiти як
		n!1 a		a

60