Дороговцев & Co - задачник

1) A = (RnQ) \ [0; 1];

2) A = [©a; b]; a < b; ª 3) A = x 2 R j x2 2 Q ;

À5

позначено мiру Лебега на прямiй.

ЗАНЯТТЯ 5

МIРА ЛЕБЕГА НА ПРЯМIЙ

Контрольнi запитання

1.Дати означення мiри Лебега на R.

2.Як визнача¹ться ¾-алгебра борельових множин на R?

У наступних задачах через ¸1

Î1. Нехай P = f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g ; k(P) кiльце, породжене пiвкiльцем P; =; F i B(R) класи вiдповiдно всiх вiдкритих, замкнених i борельових пiдмножин прямо¨ R (B(R) = ¾a(=)): Довести, що B(R) = ¾a(F) = ¾a(k(P)) = ¾a(P): Чому кожна борельова

множина ¹ вимiрною за Лебегом?

Ñ1. Довести, що множина A ½ R ¹ борельовою, та знайти ¸1(A); ÿêùî:

4) A = [a; +1);

5) A = (¡1; b):

Î2. Нехай множина A ½ R вимiрна за Лебегом. Довести, що

¸1(A) = inff¸1(G) j A ½ G; G ¡ вiдкрита множина в Rg:

Нехай

A

âèìiðíà

çà

Лебегом пiдмножина вiдрiзка [a; b];

a < b: Довести, що

¸1(A) = supf¸1(F )j F ½ A; F ¡ замкнена в R множинаg:

Î3. Нехай A обмежена множина в R; ¸1¤

зовнiшня мiра, породжена

ìiðîþ ¸1; i

¸1¤(A) = sup f¸1(F ) j F ½ A; F ¡ замкнена множинаg :

Довести, що:

1) ¸¤

(A) = inf

f

¸1(G)

j

G

¾

A; G

¡

вiдкрита множина

g

;

1

2) множина

A

âèìiðíà

за Лебегом

òîäi i òiëüêè òîäi,

êîëè ¸¤1(A) = ¸1¤(A).

Î4. Довести, що множина A ½ R ¹ вимiрною за Лебегом тодi i лише тодi,

êîëè A = B [ C; äå B 2 B(R) i ¸1(C) = 0:

21

Î5. Канторова множина D буду¹ться таким чином: з вiдрiзка [0; 1] вилуча-

¹ться iнтервал

31 ; 32

; потiм з двох вiдрiзкiв, що залишилися, вилучаються

iнтервали

довжиною

1

2 з центрами в серединах цих вiдрiзкiв; далi з чо-

3

¡

¢

1

3

тирьох вiдрiзкiв, якi

залишились, вилучаються iнтервали довжиною

3

¡

¢

ïiñëÿ

з центрами в серединах цих вiдрiзкiв i т. д. Множину, що залишилася ¡

¢

вилучення всiх цих iнтервалiв, називають канторовою множиною. Довести, що канторова множина D :

1)¹ борельовою множиною i ¸1(D) = 0;

2)ма¹ потужнiсть континууму;

3)¹ вимiрною за Жорданом. (Вказiвка: використати компактнiсть D):

Ä1. Нехай A вимiрна за Лебегом пiдмножина [a; b];

a < b; i ¸1(A) = p > 0: Довести, що для будь-якого q 2 [0; p] iсну¹ вимiрна за Лебегом пiдмножина Aq множини A òàêà, ùî ¸1(Aq) = q:

Ä2. Нехай A ½ [a; b]; a < b; A замкнена в R множина i ¸1(A) = b¡a: Довести, що A = [a; b]:

Ä3.		Нехай	A		âèìiðíà	çà	Лебегом	множина	â	R;
¸1	(A) > 0 i ® 2 (0; 1): Довести iснування такого iнтервалу (a; b); ùî
¸1	(A \ (a; b)) ¸ ®¸1((a; b)):								R
Ä4.		Нехай	A		âèìiðíà	çà	Лебегом	множина в		i
¸1	(A) > 0: Довести iснування такого " > 0; ùî

(¡"; ") ½ fx ¡ y j x 2 A; y 2 Ag :

Ä5. Довести, що якщо множини A; B ½ R ¹ вимiрними за Лебегом, то множина A £ B ½ R також вимiрна за Лебегом i

¸2(A £ B) = ¸1(A) ¢ ¸1(B):

Ä6. Нехай c потужнiсть континууму. Довести, що:

1) ¾-алгебра вимiрних за Лебегом множин ма¹ потужнiсть 2c; 2) кiльце вимiрних за Жорданом множин ма¹ потужнiсть 2c;

3)¤ множина B(R) ма¹ потужнiсть континууму c: (Доведення

цього факту спира¹ться на трансфiнiтну iндукцiю, про яку див. И.П.Натансон "Теория функций вещественной переменной", Москва, 1974.)

22

Ä7. Побудувати невимiрну за Лебегом множину на колi, на якому введена лiнiйна мiра Лебега. (Вказiвка: Нехай C коло одинично¨ довжини,

® 2 RnQ: До одного класу зараху¹мо тi точки кола C; якi переходять одна в одну при поворотi на кут n®¼; n 2 Z: З кожного такого класу вiзьмемо по однiй точцi. Одержана множина невимiрна за Лебегом).

Á5

Ã1. Нехай A вимiрна за Лебегом множина на прямiй, причому A ма¹ принаймнi одну внутрiшню точку. Довести, що ¸1(A) > 0:

Ã2. Нехай ¹1 i ¹2 скiнченнi мiри на B(R): Довести, що ¹1 = ¹2 íà B(R) òîäi i ëèøå òîäi, êîëè

8(a; b] ½ R : ¹1((a; b]) = ¹2((a; b]):

Ï1. Довести, що множина A борельова, та обчислити ¸1(A); ÿêùî:

nS

¡

¢

1)

A = 1

n ¡

1

; n +

1

;

2n

2n

=1

S1

1

1

1

2)

A = n=1

¡n ¡

en

; n +

2n

¢;

nS

(¡10; arctg n) nQ;

3)

A =

=1

S

1

1

1

4)

A = n=1

³

(n+1)2

;

n2

´;

nS

£

¢

5)

A = 1

3n; 3n

+

1

nQ;

3n

=1

S

1

1

1

6)

A = n=1

³

ln(n+2)

;

ln(n+1)

´;

1

7)

A = S (ln n; ln(n + 1)) nZ;

8) A =

9) A =

10) A =

n=1	£					¤
nS
1	n2 ¡	¼			; n2	+			¼		;
=1		3n+5							3n+5
S		1
1
n=1 hnn; nn +					ln(n+1)			i \ Q;
nS	¡					¢
1	n3 ¡		1	; n3 +			1			\ (RnQ):
=1			5n				5n

23

Ï2.

Побудувати

ïîñëiäîâíiñòü

fAn : n ¸ 1g борельових

множин

íà ïðÿìié òàêó, ùî:

1

1)

¸1(An) = 1; n ¸ 1;

An = R;

=1

2)

nS

; n ¸ 1; ¸1

1

¸1(An) = +1; An ¾ An+1

µn=1 An¶ = 0;

T

1

3)

¸1(An) = +1; An ¾ An+1

; n ¸ 1; ¸1

µn=1 An¶ = 1;

4)

¸1(An) = +1; n ¸ 1;

1

An = N;

T

=1

nT

5)

1

1

6)

¤

¸1(An) = n

; n ¸ 1; n=1 An = P; P множина простих чисел;

¤

¸1(An) = + ; An

A

= ; n = m; m; n

1:

1

\

?

6

¸

7)

¸1(An) = n; n ¸ 1;

1

An = R;

=1

8)

nS

1

= 2;

¸1(An) = 1; n ¸ 1; ¸1 µn=1 An¶

S

9)

¸1(An) = n1 ; n ¸ 1;

1 An = R;

=1

10)

¤ An

Am

nS

1; An

Am

A =

;

\

6

?

¸

\

\

l

?

n =6 m; n =6 l; m =6 l; l; m; n ¸ 1:

Ï3. Довести, що множина A ¹ борельовою i визначити ¨¨ мiру Лебега:

1) [¡5; +1)nN; 2) [2; 5)n[3; 6]; 3) [2; 5) [ [3; 6]; 4) [¡8; +1) \ Z; 5) Qn[5; 10];

6)	[0; 10]n(QnN);
7)	fx 2		[¡2¼; 2¼] j cos 2x > 0g ;
8)	fx 2		R j arctg x > 1g ;
10)	©x > 0 sin x1			< 0 : ª
9)	©	x 2 [0; 3] j x4		2 RnQ ;
			j	ª

24

Î2. Нехай

ЗАНЯТТЯ 6 m МIРА ЛЕБЕГА В ПРОСТОРI R

Контрольнi запитання 1. Дати означення мiри Лебега в Rm; m ¸ 2:

2. Як визнача¹ться ¾-алгебра борельових множин в Rm; m ¸ 2?

À6

В наступних задачах через ¸m позначено мiру Лебега в Rm:

Î1. Довести, що множина A ½ R2 ¹ борельовою i ¸2(A) = 0; ÿêùî:

1) A = fag; a 2 R;

2) A не бiльш нiж злiченна множина;

3) A = fag £ (b; c]; äå fa; b; cg ½ R; b < c; 4) A = fag £ R; äå a 2 R:

Довести також, що будь-яка пiдмножина B прямо¨ A iç 4) ¹ âèìiðíîþ çà

Лебегом i ¸2(B) = 0: Навести приклад обмежено¨ борельово¨ множини, яка не ¹ вимiрною за Жорданом.

Ñ1. Довести, що множина A ½ R2 ¹ борельовою, та обчислити ¸2(A); ÿêùî:

1)	A = [a; b] £ [c; d]; a < b; c < d;
2)	A = (a; b) £ [c; d]; a < b; c < d;
3)	A = (a; b] £ (c; +1); a < b;
4)	A = Q £ Q:

¸G мiра Жордана на кiльцi KG пiдмножин Rm; вимiрних за Жорданом. Довести, що довiльна множина A 2 KG ¹ âèìiðíîþ çà Ëåáå- ãîì i ¸G(A) = ¸m(A): Довести також, що мiра Жордана ¹ ¾-адитивною

íà KG: Навести приклад множини, вимiрно¨ за Лебегом, але не вимiрно¨ за Жорданом.

Î3. Нехай f 2 C([a; b]); f(x) ¸ 0; x 2 [a; b];

A = f(x; y) j 0 · y · f(x); x 2 [a; b]g

i B = f(x; f(x)) j x 2 [a; b]g. Довести, що A; B борельовi множини i

¸2(A) = Rb f(x)dx; ¸2(B) = 0:

a

25

борельова множина,©та знайтиj

¸j2(A):

ª

Ñ2. Нехай A

=

(x; y) :

y · x2; 0 · x · 1 : Довести,

ùî A

Ñ3.

1

An

=

n(x; y) j 0 · y ·

¡n

; x 2 [n; n + 1]o;

n ¸ 1;

Нехай

(x n)n

Î4.

S

a 2 R ; T : R m! R

A =

An: Довести, що множина A ¹ борельовою, та знайти ¸2(A):

n=1

m

m

m невироджене лiнiйне перетворення,

Нехай

¸G це мiра Жордана в R : Довести, що:

1) для довiльно¨ множини E ½ Rm; вимiрно¨ за Жорданом,

¸G(T E + a) = j det T j¸G(E);

2) для довiльно¨ множини E ½ Rm

¸¤ (T E + a) =

mj

det T

j

¸¤ (E);

m

m

3) для довiльно¨ множини E ½ R

; вимiрно¨ за Лебегом,

¸m(T E + a) = j det T j¸m(E):

Звiдси зробити висновок, що мiра Лебега iнварiантна вiдносно паралельних переносiв i поворотiв.

Ä1. Нехай

	Q		m êëàñ âiäïîâiäíî âñiõ
	m
P = ½?; i=1(ai; bi] j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; :::; m¾;
K(P) кiльце, породжене пiвкiльцем P; =; F i B(R ) m					m
вiдкритих,	замкнених i борельових множин простору			R (B(R ) = ¾a(=)):
		m
Довести, що B(R			) = ¾a(F) = ¾a(k(P)) = ¾a(P):

Д2. В метричному просторi (X; ½) борельовими множинами називають множини ¾-алгебри B(X), породжено¨ класом усiх вiдкритих множин

цього простору.

Нехай (X; ½) метричний простiр, Y 2 B(X): Довести, що

1) B(Y ) = B(X) \ Y ;

2) B(X) = fA [ B j A 2 B(Y ); B 2 B(XnY )g :

Á6

П1. Побудувати послiдовнiсть fAn : n ¸ 1g борельових множин на площинi таку, що:

26

27

борельова, та знайти

Ï3. Довести, що множина

¸2(A); ÿêùî:

A ½ R2

1) A = f(x; y) : jyj · j sin xj; jxj · ¼g ;

2) A = f(x; y) : jyj · j cos xj; 0 · x · ¼g ;

3) A = f(x; y) j 0 · xy · 1; 1 · x · 2g ; 4) A = ©(x; y) j xpy · 1; x ¸ 1; y ¸ 0ª;

© ª

5) A = (x; y) j 0 · yex · 1; x ¸ 12 ;

1) A = Q £ R;

2) A = fx j sin x 2 Qg £ R; 3) A = (RnQ) £ (RnQ);

4) A = fx j cos x 2 Qg £ R; 5) A = fx j ex 2 RnQg £ [0; 1];

6) A = ([1; 2] £ [3; 7])n((RnQ) £ Q); 7) A = ((RnQ) £ R) \ ([0; 2] £ [1; 3]);

8) A = ((0; 3] £ [1; 2))n(Q £ Q);

9) A = ©x 2 R j x2 2 RnQª £ (RnQ);

10) A = ©x 2 R j x2 2 Qª £ R:

Ï2. Довести, що множина

борельова, та знайти

A ½ R2

8)¤ ¸2(An) = +1; i ïðè i = 1; 2 òà n =6 m :

fxi j (x1; x2) 2 Ang \ fxi j (x1; x2) 2 Amg = ?:

¸2(A); ÿêùî:

= 0;

1)	¸2(An) = 1; n ¸ 1;					1 An = R2;
						=1
2)					nS			1
	¸2(An) = +1; An ¾ An+1; n ¸ 1; ¸2 µn=1 An¶
3)	¸2(An) = +1; n ¸ 1;						1 An = Z £ Z;	T
							=1
							nT
4)	¸2(An) =	1	; n ¸ 1;				1 An = R £ f0g;
		2n
							=1
						nT
5)	¸2(An) =	1	; n ¸ 1;				1 An = Z £ Z;
		2n
							=1
						nT
6)	¸2(An) = n; n ¸ 1;					1 An = R2;
						=1
						nS
7)	¸2(An) = n1 ; n ¸ 1;					1 An = R2;
						=1
						nS

6)

A = (x; y)

0 x2y

2; x 2 ;

7)

A = ©(x; y)j

0

· y

·

1

;

¸x

ª

1

;

p

2

2

n

j · ·

1¡x 1

j j ·

o

1

8)

A = (x; y) : y

;

x p3 ;

x

2

n

j j ·

p3 · ·

o

1+1

9)

A = (x; y) : y

jy·

p

; sh 1

x · sh 2 ;

1+x2

10)

A = n(x; y)

j

0 j

1

¡

x ; x

·[0; 4]

g

:

o

f

·

· j

j

2

Ï4. Нехай

A =

1

An: Довести,

ùî

A

борельова множина, та

n=1

знайти ¸2(A); ÿêùî:S

1)

An = (x; y) j 0 · y ·

1

; x 2 [n; n + 1] ;

x2

2)

An =

©(x; y) j 0 · y · x1 ; x 2 [n; n + 1]

ª;

3)

An =

©(x; y)

0

x

1]

;

y

e¡

; x

f

j

·

·

2

g

4)

An = (x; y) j 0 · y · e¡jxj; x 2 [¡n; n] ;

5)

©

x2

2

ln n]

;

An =

(x; y)

0

y

e¡

; x

[ n ;

j

·

·

ª

o

6)

n

1

2 ¡

An =

(x; y) :

y

· min

1;

; x 2 [¡n; n]

;

x2

7)

An =

©

(x; y)

j

0j j

y

1¡

; x

¢

[n; n + 1] ;ª

2

8)

n

·1

· 1+x

2

1

o

An = (x; y)

y

; x

[1; 2]

;

1

f

j qx2+

1

·

· qx2+

2

g

n2

(n+1)2

9)

An = (x; y) j

1

· y ·

1

; x 2 [1; +1) ;

x2+n+1

x2+n

n

1

1

1

o

10)

An = n(x; y) j 0 · y · p

; x 2 h

; n io:

n+1

x

28

ЗАНЯТТЯ 7

МIРА ЛЕБЕГА-СТIЛТЬ™СА НА ПРЯМIЙ

Контрольне запитання Дати означення мiри Лебега-Стiлть¹са на прямiй.

				À7
Î1.	:	Нехай X =	R; P	= f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g ;
F		R ! R	неспадна	i неперервна справа функцiя, а функцiя
¸F :		P ! [0; +1) òàêà, ùî

¸F ((a; b]) = F (b) ¡ F (a); ¸F (?) = 0:

Продовжити мiру ¸F íà êiëüöå K(P); породжене пiвкiльцем P: Довести, що будь-яка борельова множина на прямiй ¹ ¸¤F -âèìiðíîþ, äå ¸¤F

зовнiшня мiра, породжена мiрою ¸F :

Символом ¸F позначатимемо продовження мiри				¸	F íà ¾-алгебру всiх
¸F¤ -вимiрних множин.
Ñ1.	Нехай	виконуються	припущення iз задачi О2. Довести,			ùî
8x0	2 R	: ¸F (fx0g)	= F (x0) ¡ F (x0¡): Вивести звiдси,			ùî

¸F (fx0g) = 0 тодi i тiльки тодi, коли функцiя F неперервна в точцi x0:
Ñ2. Нехай виконуються припущення задачi О1. Довести, що:
1)	¸F ((a; b)) = F (b¡) ¡ F (a); 4)	¸F (R) = F (+1) ¡ F (¡1);
2)	¸F ([a; b)) = F (b¡) ¡ F (a¡); 5)	¸F ([a; +1)) = F (+1) ¡ F (a¡);
3)	¸F ([a; b]) = F (b) ¡ F (a¡); 6)	¸F ((¡1; a]) = F (a) ¡ F (¡1);

äå F (§1) = lim F (x):

x!§1

Ñ3. Нехай F (x) = [x]; x 2 R; äå [x] цiла частина числа x. Перевiрити, що функцiя F неспадна i неперервна справа на R: Знайти:

1)	¸F (fxg); x 2 R;	3)	¸F ((0; 1));	5)	¸F (N);
2)	¸F ([0; 20] \ Q);	4)	¸F ([0; 1]);	6)	¸F (Q):

Î2. За умов задачi С3 довести, що ¾-алгебра ¸¤F -âèìiðíèõ множин збiга- ¹òüñÿ ç 2R i 8A ½ R : ¸F (A) = jA \ Zj; äå jA \ Zj число елементiв

множини A \ Z:

Ä1.	Çà	óìîâ	задачi	Î1	довести,	ùî	множина
fx 2 R j ¸F (fxg) > 0g не бiльше, нiж злiченна.

Ä2. Нехай F (x) = x + [x]; x 2 R: Довести, що для довiльно¨ вимiрно¨ за Лебегом множини A ½ R справджу¹ться рiвнiсть ¸F (A) = ¸1(A)+jA\Zj:

29

Ä3.

Нехай ¹ скiнченна мiра

íà

¾-алгебрi

S

пiдмножин

X;

функцiя

f : X

!

R òàêà, ùî

B

2

B(R) :

f¡1(B)

2

S

8

1

(такi функцi¨ називають борельовими). Покладемо º(B) = ¹(f¡

(B));

B 2 B(R); F (t) := ¹(fx j f(x) · tg); t 2 R: Довести, що:

1)

º ìiðà íà B(R):

R;

2)

функцiя

F неспадна i неперервна справа

íà

F (¡1) = 0; F (+1) = ¹(X);

3)

¸F = º íà B(R);

4)ÿêùî E 2 S; f = ÂE; òî

º(B) = ÂB(1)¹(E) + ÂB(0)¹(XnE); B 2 B(R);

5)для кожно¨ неспадно¨ i неперервно¨ справа функцi¨ F : R ! R òàêî¨, ùî F (¡1) = 0; F (+1) = 1; iснують множина X; ¾-алгебра S пiдмножин X; скiнченна мiра ¹ íà S i борельова функцiя f : X ! R òàêi, ùî F (t) = ¹(fx j f(x) · tg); t 2 R:

Á7

Ã1. Нехай F : R ! R: Нехай функцiя множин ¸F : P1 ! [0; +1); äå P1 = f?; (a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g, визначена таким чином: ¸F ((a; b]) := F (b) ¡ F (a); ¸F (?) := 0: Довести, що якщо ¸F ¹ ìiðîþ íà P1; то функцiя F неспадна та неперервна справа на R: Нехай вiдомо, що P = f?; [a; b) j ¡ 1 < a < b < +1g i функцiя множин

¸F : P ! [0; +1); визначена наступним чином: ¸F ([a; b)) = F (b)¡F (a); ¸F (?) = 0; ¹ ìiðîþ íà P: Що можна сказати про функцiю F ?

Ã2. Нехай F; G неспаднi неперервнi справа функцi¨ на R; ¸F i ¸G

вiдповiднi мiри Лебега-Стiлть¹са на B(R): Чи правильно, що:

1)¸F ((a; b]) = ¸G((a; b]); ÿêùî F (x) = G(x); x 2 (a; b];

2)¸F ([a; b]) = ¸G([a; b]); ÿêùî F (x) = G(x); x 2 [a; b]?

Ï1. Нехай F (x) = [x]; x 2 R: Визначити ¸F (A); ÿêùî:

1)	A = Q \ [¡n; n]; n 2 N;								4)	A = (¡n; n)nQ; n 2 N;
2)	A = Q \ (¡n; n); n 2 N;								5)	A = fx >2	0 j ln x < 2g ;
3)	A = [¡n; n); n 2 N;								6)	A = [n; n ); n 2 Nnf1g;
8)	A = f©x 2 R j cos ¼x > 0g \ [0ª; 10];
7)	A = x 2 R j x2					+ 4x ¡ 5 < 0 ;
10)	A =	©x	2	Rj		x		(RªQ)		[ 20; 20]:
9)	A =	x	2	R	sin ¼x < 21				\ [0; 8];
		n		j	p	j j 2		n	o \ ¡
									30