Дороговцев & Co - задачник

		X		d¹
¹ << ¸ i lim	d n		¹k =			(mod ¸) íà X:
n!1 d¸ k=1				d¸

Ä6. Нехай X деяка множина, F1 i F2 ¾-алгебри ¨¨ пiдмножин, F1 ½ F2; ¹ ¾-скiнченна мiра на F2 i функцiя f 2 L(X; ¹) ¹ F2-âèìiðíîþ. Довести,

ùî iñíó¹ F1-вимiрна функцiя g 2 L(X; ¹) òàêà, ùî

8A 2 F1 : R g d¹ = R f d¹:

AA

Ä7. Нехай F : R ! R неспадна, неперервна справа функцiя, ¸F вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на R; f 2 C([a; b]): Довести, що

R f d¸F = Rb f(x) dF (x) + f(a)(F (a) ¡ F (a¡));

[a;b] a

де iнтеграл в правiй частинi рiвностi слiд розумiти як iнтеграл Рiмана-
Ñòiëòü¹ñà.			(X; F; ¹)
Ä8.	Нехай				простiр	çi	скiнченною	ìiðîþ,
g :	X	!	R борельова		функцiя,	F (t)	= ¹(fx j g(x) · tg);
t 2 R;	¸F	вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на B(R): Користуючись

формуламиR çàìiíèR змiнних i замiни мiри в iнтегралi Лебега, довести, що: 1) X g d¹ = R x d¸F (x); якщо хоч один з iнтегралiв скiнченний

àáî g ¸ 0 (mod ¹);

2) ÿêùî F ма¹ щiльнiсть (тобто iсну¹ борельова функцiя f : R ! [0; +1) òàêà, ùî

F (x) = Rx f(t) d¸1(t); x 2 R;

¡1

¸1 мiра Лебега Ríà B(R)) iRg 2 L(X; ¸); òî

g d¸F = xf(x) d¸1(x):

XR

Á15

Ã1. Нехай ¹1; ¹2 i ¹ ìiðè íà F: Довести, що якщо ¹1?¹ i ¹2?¹; òî ¹1 + ¹2?¹: Чи справедливе обернене твердження?

71

Ã2. Нехай ¸ ¾-скiнченна мiра, º ¾-скiнченний заряд на F; º << ¸:

	Виразити в термiнах похiдно¨ Радона-Нiкодiма			dº
				d¸ необхiдну i достатню
	умову того, що:
	1)	º скiнченний заряд;	2) º ìiðà i ¸ << º.
	Ã3. Нехай ¹1; ¹2; ¸ ìiðè íà B(R); ¹ := ¹1 + ¹2: ×è âiðíî, ùî:
	1)	¹ << ¸ ) (¹1 << ¸ àáî ¹2 << ¸)?
	2)	(¸ << ¹1; ¸ << ¹2) ) ¸ << ¹?
	3)	¸ << ¹ ) (¸ << ¹1 àáî ¸ << ¹2)?

Ã4. Нехай ¹ ¾-скiнченна мiра на F: Довести, що iсну¹ скiнченна мiра ¸ íà F òàêà, ùî ¸ << ¹ i ¹ << ¸:

Ï1. Нехай ¸m мiра Лебега на B(Rm): Довести, що ¹ заряд на B(Rm); знайти вiдповiдний заряду ¹ розклад Гана простору Rm i розклад

Жордана заряду ¹; ÿêùî äëÿ A 2 B(Rm) :

1)

¹(A) =

[0;10R¼]\A sin x d¸1(x); m = 1;

2)

¹(A) =

[0;20R¼]\A cos x d¸1(x) ¡ ¸1(A); m = 1;

3)

¹(A) = 3 e¡jxj d¸1(x) ¡ 2¸1(A); m = 1;

A

(x2 ¡ 25) d¸1(x) ¡

(x ¡ 15) d¸1(x);

4)

¹(A) =

R

10]

A

[10;20]

A

m = 1;

[0;

R\

R

\

5)

¹(A) = (52x+1 ¡ 5x) d¸1(x) + 4¸1(A); m = 1;

7)

A

¡

¢

2

2

R

¹(A) =

R

1

x

2

d¸1(x) ¡ 6¸1(A); m = 1;

6)

A

2

¡

¹(A) = A\f(x;y) j Rx2+y2·9¼g cos(x

+ y ) d¸2(x; y);

m = 2;

8)

¹(A) =

x2+y2

A);

A\f(x;y) j 1R<x2+y2<9g e

d¸2(x; y) ¡ 5¸2(

m = 2;

9)

¹(A) = [(x + 1)2 + (y ¡ 2)2] d¸2(x; y) ¡ 4¸2(A); m = 2;

A

R

10)

¹(A) = R (x2 + 2y2 + 2xy + 6y) d¸2(x; y) + ¸2(A); m = 2;

A

72

Ï2. Нехай X = (0; 1]; B(X) ¾-алгебра борельових пiдмножин X i ¸1

ìiðà

Лебега

íà

B(R). Нехай,

äàëi, ¹ ìiðà íà B(X) i

F (x) = ¹((0; x]);

x 2 (0; 1]; F (0) = 0: Довести, що ¹ << ¸1; òà

d ¹

знайти

; ÿêùî äëÿ x 2 (0; 1] :

d¸1

1)

F (x) = arctg x;

x

2

2)

F (x) = arcsin

2x2 ¡ 1

;

6)

F (x) = R0x2t

¡t dt;

7)

2

2;

F (x) = 2 ¡ 1;

3)

F (x) = (2 + x)1+x

¡

4)

x

t2

8)

F (x) = 3x4 ¡ 1;

F (x) =

e

dt;

9)

+ p

x2 + 1);

R0

x

F (x) = ln(x

2

5)

F (x) =

;

10)

F (x) = 2sin x

¡ 1:

1 + x

Ï3. Нехай F : R ! R неспадна i неперервна справа функцiя, ¸F вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на B(R) i ¸1 мiра Лебега на B(R).

Зобразити мiру ¸F у виглядi ¸F

= ¸a + ¸s; äå ¸a << ¸1; ¸s?¸1; òà

обчислити

d¸a

; ÿêùî:

d¸1

1)

F (x) = jxj ¢ [x]; x 2 R;

2)

F (x) = [xjxj] + xjxj; x 2 R;

3)

x; x

2

R;

F (x) = [xx] + 3 x

4)

F (x) = [e ] + e x; x 2 R;

5)

F (x) = [2x] +

R

dt

; x 2 R;

¡1

1+t4

arctg x;

x < 0;

6)

F (x) = (2 + arctg x; x

¸

0;

8x2

7)

F (x) =

+ 1; 0

·

x < 1;

>

0;

4

<

F (x) =

>3x ; 1 · x < +1;

8)

81;

0

·

x < 1;

>

1;

< x < 0;

:

¡1

<

¡

>

:2x; 1 · x < +1;

73

9)	F (x) =	x;	¡1 < x < 1;
		(x + 1;	1	·		x < + ;
							1
10)	F (x) =	arctg x;		¡1 < x < 0;
		(2[x];		0	·		x < + :
							1

Ï4. Нехай F : R ! R неспадна i неперервна справа функцiя, ¸F

вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са. Обчислити iнтеграл

A

f d¸F ; ÿêùî:

1)

f(x) = x; F (x) =

x

R

e¡t2 dt; A = [ 1; 1];

¡1

¡

2)

2

R

f(x) = cos x; F (x) = 2x; A = [0; 10];

3)

f(x) = x; F (x) = ex + [x]; A = [0; 10];

4)

f(x) = x; F (x) = arctg x + [3x]; A = [0; 1];

0;

x < 0;

5)

f(x) = x2; F (x) = (1 ¡ e¡x;

x ¸ 0; A = [0; 1];

x

0;

x < 0;

6)

f(x) =

; F (x) = (x2;

A = [0; 1];

x+1

x

¸

0;

0;

x < 0;

A = [¡1; 1];

7)

f(x) = ch x; F (x) = (x3;

x

¸

0;

0;

x < 0;

8)

f(x) = x3; F (x) = (1 ¡ ex + [x];

x ¸ 0; A = [0; 10];

9)

f(x) = x3; F (x) =

x

dt

+ [xjxj]; A = [0; 3];

¡1

1+t4

R¡1;

x < ¡¼2 ;

10)

f(x) = x2; F (x) =

8sin x;

¼

·

x < ¼ ; A = [ ¼2 ; ¼2 ]:

>

¡

2

2

¡

¼

<

x ¸ 2 ;

>1;

:

74

ЗАНЯТТЯ 16 ПРОСТОРИ Lp(X; ¸); 1 · p < +1

Контрольнi запитання

1.	Дати означення просторiв Lp(X; ¸); 1 · p < +1:
2.	Яку послiдовнiсть називають збiжною в просторi
	Lp(X; ¸); p ¸ 1?

À16

У наступних задачах (X; F) вимiрний простiр, ¸ ìiðà íà ¾-алгебрi
F; ¸m мiра Лебега в Rm; m 2 N; i kfkp	=	µX jfjp d¸¶1=p	; ÿêùî
		R

f 2 Lp(X; ¸); 1 · p < +1:

Î1. Нехай ff; gg ½ L2([0; 1]; ¸1): Довести, що завжди fg 2 L2([0; 1]; ¸1)?

fg 2 L1([0; 1]; ¸1): ×è

Ñ1. Нехай p ¸ 1: Äëÿ ÿêèõ ® 2 R функцiя f(t) = t¡®; t > 0; належить

äî Lp([0; 1]; ¸1)? Lp([1; +1); ¸1)?

Î2. Нехай

f

fn :

n

¸

0

g ½

Lp(X; ¸); fn

n

f0 â Lp(X; ¸): Довести,

¡¡¡!

ùî fn

¸

f0.

!1

n

¡¡¡!

!1

fn

: n

0

Lp(X; ¸);

fn

f0

â Lp(X; ¸);

Î3. Нехай

f

¸

g

½

¡¡¡!

n

fn n

!1

g (mod ¸). Довести, що f0 = g (mod ¸) íà X:

¡¡¡!

!1

; x

p

n

n

p

1

f(x) = ( x + 1)¡

О4. Нехай

fn(x)

=

(

x

+ 1 +

1 )¡1

;

x

2

R;

n

¸

1;

j j

n

j j

1

2

R: Ïðè ÿêèõ p

¸

1 f

¡¡¡!

f â L (R; ¸ )?

!1

борельова множина,

¸1

(A) < +

; g(x) = f(x)ÂA(x); x

R:

Нехай A p

2

Ïðè ÿêèõ p

1

fnÂA

n

1

¸

g â Lp(R; ¸1)?

¡¡¡!

Ñ2. Нехай fn(x) = p

!1

x 2 R: Довести,

nÂ[0; n1 )(x); x 2 R; i f(x) = 0;

ùî fn

n

f â L1(R; ¸1); але ця послiдовнiсть не збiга¹ться в просторi

¡¡¡!

!1

L2(R; ¸1):

75

що добуток

Ñ3.	З'ясувати, чи					çáiãà¹òüñÿ	â Lp(R; ¸1) послiдовнiсть функцiй
fn : R ! R; n ¸ 1; ÿêùî:
	n	(0;		¡		x = [0; 1];
1)	f (x) =		xn			x2n; x 2 [0; 1];
						2
2)	f (x) =	1			nx; x 2 [0; n1 ];
	n	(0;¡				x = [0;	1 ];
		1				2	n
3)	fn(x) =					Â[n;+1)(x):
			x2 + 1

Ñ4. Нехай ±0(A) = ÂA(0); ¹(A) = ¸1(A) + ±0(A) äëÿ A 2 B(R) i
fn(x) =	pnÂ[0; n1 ](x); x 2 R; n ¸ 1: Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü
ïîñëiäîâíiñòü ffn : n ¸ 1g у просторах L1(R; ¸1) i L1(R; ¹):
Ä1. Нехай f 2 Lp(X; ¸): Довести, що
	kfkp = sup		½X fg d¸ j g 2 Lq(X; ¸); kgkq · 1¾;
де число q	òàêå, ùî		R
		1 + 1 = 1:
		p	q

Ä2. Нехай ¸(X) < +1: Довести, що L1(X; ¸) ½ Lp(X; ¸) ïðè âñiõ

p ¸ 1 i kfk1 = lim kfkp ïðè âñiõ f 2 L1(X; ¸):

p!1

Ä3. Довести, що в просторi Lp([0; 1]; ¸1) щiльнi такi множини функцiй:

1)множина всiх кусково-сталих функцiй;

2)C([0; 1]);

3)множина всiх многочленiв, якi розглядаються на [0; 1];

4)множина всiх многочленiв парного степеня, якi розглядаються на [0; 1]:

Ä4.	Навести	приклад					послiдовностi			функцiй
ffn	: n ¸ 1g ½ L1([0; 1]; ¸1); яка збiга¹ться у просторi L1									([0; 1]; ¸1);
àëå íå çáiãà¹òüñÿ â æîäíié òî÷öi âiäðiçêà [0; 1]:
Ä5. Нехай f 2 Lp(R; ¸1): Довести, що								!
	R
	f(x + t)		¡	f(x)		p d¸1	(x)	¡¡t !	0:
	j				j
	R							0
Ä6.	Нехай додатнi	числа p;			q i r		пов'язанi спiввiдношенням

p1 + 1q + 1r = 1; f 2 Lp(X; ¸); g 2 Lq(X; ¸) i h 2 Lr(X; ¸): Довести, fgh 2 L1(X; ¸) i

kfghk1 · kfkpkgkqkhkr:

76

Ä7. Нехай 1 · p · s · q; p < q: Довести, що

Lp(X; ¸) \ Lq(X; ¸) ½ Ls(X; ¸)

i для довiльно¨ функцi¨ f 2 Lp(X; ¸) \ Lq(X; ¸) викону¹ться нерiвнiсть

kfks · kfk®p kfk¯q ; äå

® = s¡1¡q¡1 ; ¯ = p¡1¡s¡1 :

p¡1¡q¡1 p¡1¡q¡1

Á16

Ã1. Нехай 1 · p < q < +1; A 2 B(R); ¸1(A) < +1: Довести, що

1)

Lq(A; ¸1) ½ Lp(A; ¸1);

2)

жодний з просторiв Lp(R; ¸1) i Lq(R; ¸1) не мiститься в iншому.

Ã2. Нехай fg; fn

: n ¸ 1g ½ Lp(X; ¸) i виконуються умови:

1)

8n ¸ 1 : jfnj · g (mod ¸);

2)

fn n

f (mod ¸):

¡¡¡!

!1

Lp(X; ¸) i fn n

f â Lp(X; ¸):

Довести, що f

2

¡¡¡!

!1

Ï1. Äëÿ ÿêèõ p ¸ 1 справедливо, що f 2 Lp([0; 1]; ¸1); ÿêùî:

1)

x1 ;

x

2

(0; 1) Q;

4)

f(x) =

ex ln x

; x

2

(0; 1);

x2(1 ¡ x)4

f(x) = (sin x;

x

(0; 1)n

Q;

2

\

ÂRnQ(x)

f(x) =

1

;

x 2 (0; 1)nQ;

5)

f(x) =

; x

(0; 1);

2)

1¡x

(cos x;

x

2

(0; 1)

\

Q;

px(1 ¡ x)

2

1

6)

f(x) =

sin x

; x 2 (0; 1)?

3)

f(x) = (1

x)2 ; x 2 (0; 1);

x4(1

¡

x)5

¡

Нехай A =

(x; y) j x2 + y2 · 1

: З'ясувати, для яких p ¸ 1 справе-

дливо, що

f 2

L (A; ¸

); ÿêùî:

ª

© p

2

7)

f(x; y) =

(x2

+ y2)¡1; x2 + y2 = 0;

(1;

6

x2 + y2 = 0;

8)

f(x; y) =

(

x

+

j

y

j

)¡1; x2 + y2

= 0;

j

j

6

(0;

x2 + y2 = 0;

77

	(0;	+ xy + y2)¡1	x2	+ y2	= 0;
9) f(x; y) =	(x2		; x2	+ y2	= 0;
					6

	(0j	;	¡	j	¡1;	x = y:
10) f(x; y) =	x			y		x = y;
						6

П2. З'ясувати, для яких значень ® 2 R; ¯ 2 R i p ¸ 1 справедливо, що f 2 Lp(R; ¸1); ÿêùî äëÿ x 2 R :

1)

f(x) =

jxj®

;

4)

f(x) =

j1 ¡ xj¯

ln(1 + x );

(1 + x2)¯

jxj®(1 + x4)

j j

ln(1 +

x

®)

5)

f(x) =

j arctg xj¯

;

2)

f(x) =

j j

;

2

®

(1 + x4)¯

(1 + x )

3)

®

¯

;

6)

f(x) =

j1 + xj® ¡ 1

:

f(x) = j1 ¡ xj

j1 + xj

(1 + x2) x ¯

тi значення ® 2 R;

¯ 2 R i

j

j

Визначити

p ¸

1;

äëÿ ÿêèõ

f2 Lp(R2; ¸2); ÿêùî äëÿ (x; y) 2 R2 :

7)f(x; y) = (1 + x2 + y2)¡®;

8)¤ f(x; y) = (1 + jxj® + jyj¯)¡1;

9) f(x; y) = ((1 + jxj®)(1 + jyj¯))¡1;

10) f(x; y) =

1

x2

¡

y2

j

¡®; x2

+ y2 = 1;

j ¡

6

(0;

¸ 1

x2 + y2 = 1:

Ï3.

З'ясувати,

äëÿ ÿêèõ

значень p

ïîñëiäîâíiñòü

функцiй

ffn : n ¸ 1g

½ Lp(R; ¸1)

çáiãà¹òüñÿ

â

Lp(R; ¸1);

ÿêùî

äëÿ x 2 R i n 2 N :

1)

fn(x) = p

fn(x) =

Â[0; n1 )(x);

6)

p1j

n ¡ n2xj

nÂ[0; n1 )(x);

2)

fn(x) = n2e¡nx2 ;

7)

fn(x) =

Â[n;+

1

)(x);

4

3)

fn(x) =

p

(x);

x +1

nÂh0;2

fn(x) =

1

Â[n;2n](x);

1

8)

p

+1

jxj

n2

4)

fn(x) = n2e¡nx2 ;

9)

fn(x) =

1

Â[n;n3+n](x);

jxj+1

x

fn(x) =

1

Â[¡n2;n2](x):

5)

fn(x) = n¡2e¡n Â[0;+1)(x); 10)

p

+1

jxj

78

ÂIÄÏÎÂIÄI

Заняття 1

Î2. Íi. Ñ5. Íi. Ñ6. a(A) = ¾a(A) = f?; A; XnA; Xg; k(A) = ¾k(A) =

= f?; Ag: Ä3. Кiльце скiнченних множин дiйсних чисел. Не iсну¹.

Ä4. Приклад: X = R; K = f?; f¡1; 2g; f1g; f¡1; 1; 2gg; f(x) = x2:

Ä6. Не обов'язково. Приклад: P1 = f?; f1gg; P2 = f?; f1; 2gg:

Ä7. jXj · 2 i X	= ? âiäïîâiäíî. Ã3.	Приклад:	K = f f4g g:
Ï1. Êiëåöü íåìà¹.	Пiвкiльцями ¹ класи в	пунктах	1; 2; 3; 7; 8; 10:

Ï2. 1) k(H) = ¾k(H) = f?; A; B; AnB; A \ B; BnA; A4B; A [ Bg; 2) a(H) = ¾a(H) = f?; A; B; AnB; A\B; BnA; A4B; A[B; X; XnA; XnB; Xn(AnB); Xn(A \ B); Xn(BnA); Xn(A4B); Xn(A [ B)g;

3)

H

4)

H

H

[ f[0; 2)g;

5)

m(

H

) =

H

[ f[0; 3]g;

m(H) =

H;

m( ) =

6) ¾a(H) = 2

; 7) кiльце утворюють всi скiнченнi множини натуральних

чисел

(включаючи

порожню);

8) m(H)

=

H [

f(¡e; e)g;

9) кiльце утворюють усi скiнченнi множини дiйсних чисел (включаючи порожню); 10) ¾-кiльце утворюють усi не бiльш нiж злiченнi множини

дiйсних чисел (включаючи порожню); 11) алгебру утворюють усi скiн-

ченнi множини дiйсних чисел (включаючи порожню) i ¨х доповнення до

множини дiйсних чисел.

f?; f1gg;

Ï3.

1)

P

=

fX?; f1g; f2g; f3g; f1; 2; 3gg;

2) K

=

3)

f?; Xg;

2 ;

f?; f1g;

f2; 3g; Xg;

f?; f2g; f1; 3g; Xg;

f?; f3g; f1; 2g; Xg;

4)

останнi

äâà

êiëüöÿ

попереднього пункту;

1

5) H íå ¹ ¾-алгеброю, бо N = n=1fng 2= H;

6) буде пiвкiльцем, але

не кiльцем, бо

1

2; 3

=

1; 2; 3

= H; 7) H íå ¹

¾

-кiльцем,

g

S

g 2

áî N =

1

f

g [ f

f

1

fng 2= H;

fng 2= H; 8) H íå ¹ ¾-кiльцем, бо N =

=1

1

=1

nS

fp

H; 10)

nS

9) H íå

¹ ¾-кiльцем,

áî

2

ng 2=

H íå

¹ ¾-кiльцем, бо

1

=1

nS

N = fng 2= H; 11) H не ¹ пiвкiльцем.

=1

nS

Заняття 2

Ï1.

1)

lim An

=

A [ B [ C;

A \ B \ C;

nlim

An =

n!1

!1

2)

lim An

=

[1; 5];

lim

An =

R; 3)

lim An

= [0; 1);

n

n!1

n

!1

79

!1

[0; +1);

nlim

An

=

4) lim An

=

(0; ¼2 ); nlim An

= R;

!1

n!1

!1

5) lim An

=

f0g;

nlim

An

=

R;

6)

lim An

=

(1; 4];

n

!1

!1

n

!1

[0; +1);

nlim

An

=

R;

7)

lim An

=

?;

nlim An

=

!1

n!1

!1

8) lim An

=

?;

An =

(¡1; 0);

9)

lim An

=

[3; 4];

nlim

n

!1

n

!1

!1

(e; +1);

[1; +1);

nlim

An

=

10) lim An

= ?;

nlim An

=

!1

n!1

!1

11) lim An

=

?; nlim

An =

R: Ï3.

1)

'(X) ¡ '(A \ B);

n!1

!1

2) '(A) + '(B) ¡ 2'(A \ B); 3) '(X) ¡ '(A) ¡ '(B) + '(A \ B); 4) '(X) ¡ '(A) ¡ '(B) + 2'(A \ B); 5) '(A) ¡ '(A \ B);

6) '(C) ¡ '(A \ B \ C); 7) '(X) ¡ '(C) + '(A \ C)+ +'(B \ C) ¡ 2'(A \ B \ C); 8) '(X) ¡ '(A) ¡ '(B)+ +'(A \ B) + '(B \ C) + '(C \ A) ¡ '(A \ B \ C); 9) '(X) ¡

¡'(A) ¡ '(B) ¡ '(C) + 2'(A \ B) + 2'(B \ C)+ +2'(C \ A) ¡ 4'(A \ B \ C); 10) '(X) ¡ '(A) ¡ '(B)¡ ¡'(C) + '(A \ B) + 2'(B \ C) + 2'(C \ A) ¡

¡2'(A \ B \ C); 11) '(X) ¡ '(C) ¡ '(A \ B) + 2'(A \ B \ C): Ï4. 1) '(A) ¡ '(A \ B) ¡ '(A \ C) + '(A \ B \ C); 2) '(A \ B) ¡ '(A \ B \ C); 3) '(A) + '(B) ¡ '(A \ B)¡ ¡'(B \ C) ¡ '(C \ A) + '(A \ B \ C); 4) '(A) + '(B)¡ ¡2'(A \ B) ¡ '(B \ C) ¡ '(C \ A) + 2'(A \ B \ C);

5) '(A) + '(B) + '(C) ¡ 2'(A \ B) ¡ 2'(B \ C)¡ ¡2'(C \ A) + 3'(A \ B \ C); 6) '(A \ B) + '(B \ C)+ +'(C \ A) ¡ 3'(A \ B \ C); 7) '(X) ¡ '(A \ B)¡ ¡'(B \ C) ¡ '(C \ A) + 2'(A \ B \ C); 8) '(X) ¡ '(A)¡ ¡'(B) ¡ '(C) + '(A \ B) + '(B \ C) + '(C \ A) ¡ '(A \ B \ C); 9) '(A \ B) + '(B \ C) + '(C \ A) ¡ 2'(A \ B \ C); 10) '(X) ¡ '(A \ B \ C):

Заняття 3

Ñ4. Íå ¹, áî ¹(X) 6= ¹ µx2X ¹(fxg)¶ = 0: Ä4. Нехай X = f1; 2g;

H

X

S

Òîäi

= 2 ; ¹(f1g) = ¹(f2g) = 1; E2n = f1g; E2n¡1 = f2g; n ¸ 1:

lim ¹(En) =

lim

¹(En) =

1; ¹( lim En) = 0; ¹(

lim

En) = 2:

n

!1

n!1

n

n!1

) = 2¡n; n

!1

qn : n

1

: Ã3. Âiðíî

Ä6. Нехай ¹( qn

¸

1; äå Q =

f

¸

g

f

g

лише 2) у випадку ¾-алгебри. Ï1. Вiдповiдь "так"в пунктах 5),7), "нi" в 80