Дороговцев & Co - задачник

4) fn(x) =

5) fn(x) =

6) fn(x) =

3) fn(x) = xnÂ[0;1](x); x 2 R;

n2 sin ¼x

1 + n2 sin ¼xÂ[0;1](x); x 2 R;

nj cos ¼xj

1 + nj cos ¼xjÂ[0;1](x); x 2 R;

xn

1 + xn Â(0;1](x); x 2 R;

7) fn(x) = (xn ¡ x2n)Â[0;1](x); x 2 R;

2nx

8) fn(x) = 1 + n2x2 Â[0;1](x); x 2 R; 9) fn(x) = en(x¡2)Â[0;2](x); x 2 R; 10) fn(x) = (xn ¡ xn2 )Â[0;1](x); x 2 R:

Ï5. Нехай fn : X ! R; gn : X ! R; n ¸ 0; öå F-âèìiðíi функцi¨, fn ¡¡¡!n!1 f0 (mod ¸) i gn ¡¡¡!n!1 g0 (mod ¸): Довести, що:

1) max(fn; gn) ¡¡¡! max(f0; g0) (mod ¸);

n!1

2) min(fn; gn) ¡¡¡! min(f0; g0) (mod ¸);

n!1

3) fn + gn ¡¡¡!n!1 f0 + g0 (mod ¸);

4) ch(fngn) ¡¡¡! ch(f0g0) (mod ¸);

n!1

5) gn sin fn ¡¡¡!n!1 g0 sin f0 (mod ¸); 6) fngn ¡¡¡!n!1 f0g0 (mod ¸);

7) ch gn arctg fn ¡¡¡!n!1 ch g0 arctg f0 (mod ¸);

8) efn2 ln(1 + jg2nj) ¡¡¡! ef02 ln(1 + jg0j) (mod ¸);

n!1

9) (1 + jfnj)g3n ¡¡¡! (1 + jf0j)g0 (mod ¸);

n!1

10) (1 + jfnj + jfn+1j)jgnj ¡¡¡! (1 + 2jf0j)jg0j (mod ¸):

n!1

Ï6. Для функцiй F з задачi Б7.П3 описати збiжнiсть майже скрiзь вiдносно мiри ¸F :

41

¸

2) fn + gn ¡¡¡!n!1 f + g;

¸

3) jfnj ¡¡¡! jfj:

n!1

¸

Ñ1. Нехай fn ¡¡¡!n!1 f: Довести, що

¸ 2

1) fn ¡¡¡!n!1 0 ) fn

¸

Î1. Нехай fn ¡¡¡!n!1 f

ЗАНЯТТЯ 10

ЗБIЖНIСТЬ ЗА МIРОЮ ПОСЛIДОВНОСТI ФУНКЦIЙ

Контрольнi запитання

1.Дати означення збiжностi за мiрою послiдовностi функцiй.

2.Як пов'язанi мiж собою збiжностi за мiрою i майже скрiзь?

À10

У наступних задачах ¸ мiра на вимiрному просторi (X; F); усi функцi¨, якi розглядаються, ¹ F-вимiрними i набувають тiльки скiнченних значень.

¸

i gn ¡¡¡!n!1 g: Довести, що:

¸

¡¡¡! 0;

n!1

¸

cos fn ¡¡¡!n!1 cos f:

Î2. Нехай ¸1 мiра Лебега на R i fn(x) = Â[n;n+1](x); x 2 R; n ¸ 1:

Довести, що

x

R : fn(x) n

0: Чи правильно, що fn n

¸1

0?

8 2

¡¡¡!

¡¡¡!

!1

!1

Ñ2.

Нехай

fn(x)

=

sinn x;

x 2 R;

n

¸

1: Довести,

ùî

fn

n

0 (mod ¸1): Чи правильно, що fn

¸1

0?

n

¡¡¡!

¡¡¡!

Î3.

!1

!1

Побудувати приклад послiдовностi функцiй, яка збiга¹ться за мiрою,

але в жоднiй точцi не збiга¹ться. Знайти пiдпослiдовнiсть цi¹¨

послiдовностi, яка збiга¹ться майже скрiзь.

Î4. Нехай ¸(X) < +

1

; f деяка функцiя i gn

n

¸

g: Довести, що:

¡¡¡!

1) ¸(

f

x

2

X :

j

f(x)

n )

n

0;

!1

j ¸ g

¡¡¡!

2) gnf

¸

!1

n

gf:

¡¡¡!

!1

42

Ñ3. Довести, що твердження iз задачi О4, взагалi кажучи, ¹ хибними у випадку нескiнченно¨ мiри.

Ñ4. Нехай fn

n

¸

f i

8

n

¸

1

:

j

fn

j ·

g (mod ¸): Довести, що

¡¡¡!

!1

jfj · g (mod ¸):

ffn : n ¸ 1g òàêà,

Ä1. Нехай

ïîñëiäîâíiñòü

F-вимiрних функцiй

ùî

8

n

¸

1

:

0

·

fn+1

·

fn

(mod ¸) i fn

n

¸

0: Довести, що

¡¡¡!

fn

n

0 (mod ¸):

!1

¡¡¡!

!1

¸(X)

< +1 i

ffn : n ¸ 1g ïîñëiäîâíiñòü

Ä2. Нехай

F-âèìiðíèõ

функцiй. Довести, що fn

¸

f

òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ç äîâiëüíî¨

n

¡¡¡!

!1

ffn : n ¸ 1g

пiдпослiдовностi

послiдовностi

можна

âèäiëèòè

пiдпослiдовнiсть, яка збiга¹ться до f майже скрiзь вiдносно мiри ¸:

Ä3.

Нехай

¸(X)

<

+

;

fn

¸

f;

gn

¸

g

i

¡¡¡!

¡¡¡!

1

n

n

!1

¸

!1

'

C(R2): Довести, що '(fn; gn)

'(f; g):

2

¡¡¡!

n

Ä4. Нехай X = N; F = 2X i

!1

P

Описати збiжнiсть за мiрою ¹:

2¡k; ¹(

) = 0:

8

A

½

X; A =

: ¹(A) =

?

6 ?

k2A

Ä5. Нехай ¸(X) < +

: Довести, що fn

n

f (mod ¸) òîäi i òiëüêè

1

¡¡¡!

òîäi, êîëè sup fk

¡

f

¸

0:

!1

n

k¸n

j

j ¡¡¡!

!1

Ä6. Нехай ffkj : k; j ¸ 1g ;

ffk : k ¸ 1g послiдовностi F-âèìiðíèõ

функцiй,

k

N :

fkj

¸

fk

i

fk

¸

f: Довести,

ùî

8

2

¡¡¡!

¡¡¡!

j

!1

k

!1

ç

сукупностi

ffkj

: k; j ¸ 1g

можна

âèäiëèòè

ïîñëiäîâíiñòü

©fk(n);j(n)

: n ¸ 1ª

, çáiæíó äî f çà ìiðîþ ¸:

43

j;k!1

Á10

Ã1. Нехай fAn : n ¸ 1g ½ F: Довести, що послiдовнiсть характеристи-

чних функцiй fÂAn : n ¸ 1g фундаментальна за мiрою ¸ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ¸(Aj4Ak) ¡¡¡¡! 0:

Ã2. Нехай F (x) = [x]; x 2 R; ¸F вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на R i ffn : n ¸ 0g послiдовнiсть борельових функцiй. Довести, що

¸F

fn ¡¡¡!n!1 f0 òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ïîñëiäîâíiñòü ffn : n ¸ 1g çáiãà¹òüñÿ

ðiâíîìiðíî äî f0 íà Z:

Ï1.

Довести,

ùî

ïîñëiäîâíiñòü

борельових

функцiй

ffn : n ¸ 1g збiга¹ться за мiрою Лебега ¸1

; та знайти ¨¨ границю, якщо

äëÿ x 2 R i n ¸ 1 :

1)

fn(x) = Â[p

n;p

(x);

n+1]

2)

fn(x) = 2 ¡ Â[ln n;ln(n+1))(x);

3) fn(x) = Â[Hn;Hn+1](x); äå Hn = 1 + 21 + ¢ ¢ ¢ + n1 ;

4)

fn(x) = Â(ln n;ln(n+10))(jxj);

5)

fn(x) = sinn x ¢ Â[2¼n;2¼n+¼)(x);

6)

fn(x) = cosn x ¢ Â[¡¼=2+2¼n;¼=2+2¼n](x);

7)

fn(x) = Â[n;n+ 1

](x) + nx ÂQ(x);

n

8)

fn(x) = cos x + jxjÂ[ pn; pn+5](x);

3

3

f (x) = Â

(x) +

x

(x);

9)

[arctg n;arctg(n+1))

Â

2

n

[n;n+1)

kP

n

1

Â[k;k+k¡2](x):

10)

fn(x) =

=n

Ï2. Нехай F :

R ! R неспадна i неперервна справа функцiя, ¸F

вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на R i ffn : n ¸ 0g ïîñëiäîâíiñòü

¸F

f0; якщо цi функцi¨

борельових функцiй. Описати збiжнiсть fn n

¡¡¡!

заданi в задачi Б7.П3.

!1

Ï3. Нехай ¸(X) < + ; fn

n

¸

f i gn

n

¸

g: Довести, що:

1

¡¡¡!

¡¡¡!

!1

!1

1)

(8n ¸ 1 : 2fn = gn (mod ¸)) ) 2f = g (mod ¸);

2)

8A 2 F 8" > 0 :

A : fn(x)

f(x)

< "

)

n

¸(A);

¸( x

¡

f 2

j

j

g

¡¡¡!

3)

(8n ¸ 1 : fn < 0 (mod ¸)) ) f · 0 (mod ¸);

!1

44

4)	(8n ¸ 1			: fn > g (mod ¸)) ) f ¸ g (mod ¸);
5)	(8n ¸ 1			: fn < gn (mod ¸)) ) f · g (mod ¸);
6)	ÿêùî fhn : n ¸ 1g							ïîñëiäîâíiñòü âèìiðíèõ	функцiй,
	8n ¸ 1				: fn · hn			· gn (mod ¸) i f =	g (mod ¸);
	òî hn n		¸			f;
	¡¡¡!
		!1
7)	(8n ¸ 1			: fn ¸ gn + 1 (mod ¸)) ) f ¸ g + 1 (mod ¸);
8)	ÿêùî fn			n			g (mod ¸); òî f = g (mod ¸);
			¡¡¡!
					!1
9)	Навести приклад, коли 8n ¸ 1 : fn < gn (mod ¸); àëå

f = g (mod ¸):

Ï4.

2

: Знайти одну з

функцiй

2

Нехай ¸2 мiра Лебега на R

2

g : R ! R;

äëÿ ÿêî¨ fn n

g (mod ¸2); ÿêùî äëÿ (x; y)

2

R i n

¸

1 :

¡¡¡!

!1

1)

fn(x; y) = cosn(x2 + y2);

2)

fn(x; y) = e¡n(x2+y2);

3)

fn(x; y) = e¡njx2¡y2¡1j;

4)

fn(x; y) = 2sinn(x4 + y4);

fn(x; y) =

n

;

5)

jxjn + jyjn

´

³y2

n

6)

n ln 1 + jxj+jyj

;

fn(x; y) = p

7)

fn(x; y) = 2x +

;

n

8)

fn(x; y) = esinn x + sinn y;

9)

fn(x; y) = sinn

1

; êîëè x2 + y2 6= 0; fn(0; 0) = 0;

x2+y2

10)

fn(x; y) = cosn

1

; êîëè jxj + jyj 6= 0;

fn(0; 0) = 0:

x + y

j j j

j

45

ЗАНЯТТЯ 11 ОЗНАЧЕННЯ IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Контрольнi запитання

1.Дати означення iнтеграла Лебега вiд невiд'¹мно¨ просто¨ функцi¨.

2.Дати означення iнтеграла Лебега у загальному випадку.

À11

У наступних задачах ¸ мiра на вимiрному просторi (X; F): Запис

f 2 L(A; ¸)

означа¹, що

функцiя

f iнтегровна по вимiрнiй множинi

A ½ X вiдносно мiри ¸.

Î1.

Користуючись означенням iнтегровно¨ просто¨ функцi¨, довести, що сума

невiд'¹мних iнтегровних простих функцiй ¹ iнтегровною простою функцi¹ю.

Ñ1. Нехай ¸1 i ¸2

мiри Лебега вiдповiдно на R i â R2

: Обчислити:

1) R ÂQ(x) d¸1(x);

R

Â

Q(x) d¸1(x);

2) [0;R20)

Rn

1

d¸1(x);

3)

[0;100]

[x+1][x+2]

4)

R

2

2

] d¸2(x; y); äå A = (x; y) j x2 + y2 · 5 :

(¡1)[x

+y

A

©

ª

R

sign sin ¼ ;

x

(0; 1];

Î2. Нехай p(x) = (0;

x

x 2 R (0; 1]: Обчислити iнтеграли:

2

n

1) R p¡ d¸1;

3) R jpj d¸1;

R p+ d¸1;

R p d¸1:

2) R

1

4) R

Ñ2. Нехай A = n=1(n; n+n¡®]: Ïðè ÿêèõ ® 2 R функцiя ÂA(x); x 2 R;

¹ iнтегровною на R вiдносно мiри Лебега ¸

1

íà ïðÿìié?

S

Î3. Нехай f(x) = Â (x); x 2 R; äå A = RnQ:

A R Користуючись означенням iнтеграла Лебега, обчислити [¡1;1] f d¸1:

Î4. Нехай функцiя f : X ! R iнтегровна на X вiдносно мiри ¸: Довести нерiвнiсть Чебишова

46

8" > 0 : ¸(fx 2 X j jf(x)j ¸ "g) · 1" jf(x)j d¸(x):

									X
Ñ3. Нехай функцiя F : R ! R òàêà, ùî									R
		F (x) =			0;	x < 1;
				82; 1			·	x < 2;
				>
				<	3;	x ¸ 2;
			Ñòiëòü¹ñà íà				R:		Довести, що довiльна функцiя
¸	F	вiдповiдна мiра Лебега-		>
				:

f : R ! R ¹ iнтегровною на R вiдносно мiри ¸F i

R f d¸F = 2f(1) + f(2):

R

Ñ4. Нехай f; g : X ! R F-вимiрнi функцi¨, g 2 L(X; ¸); i

jf(x)j · g(x) (mod ¸): Довести, що f 2 L(X; ¸):

Д1. Нехай ¸(X) < +1 i f : X ! R F-вимiрна функцiя. Довести, що f 2 L(X; ¸) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè çáiãà¹òüñÿ ðÿä

P1 k¸(fx j k · jf(x)j < k + 1g):

k=1

Ä2. Довести, що у випадку нескiнченно¨ мiри твердження з задачi Д1, взагалi кажучи, хибне.

Ä3. Нехай f 2 L(X; ¸) i ¸(X) < +1: Довести, що

R f(x) d¸(x) = lim P1 kh¸(fx j kh · f(x) < (k + 1)hg):

Xh!0+ k=¡1

Д4. При припущеннях iз задачi Д1 f 2 L(X; ¸) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè çáiãà¹òüñÿ ðÿä

P1 ¸(fx j jf(x)j ¸ kg):

k=1

Ä5. Для функцi¨ f 2 L(X; ¸) довести, що при k ! 1

k¸(fx j jf(x)j ¸ kg) ! 0:

Ä6.	Ïðè	припущеннях	iç	задачi	Ä1
f 2 L(X; ¸) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè çáiãà¹òüñÿ ðÿä
		kP	©		ª
		1 2k¸( x j jf(x)j ¸ 2k			):
		=0

довести, що

довести, що

47

Ä7. Нехай			¸(X)		<	+1;	f; g		F-вимiрнi функцi¨	i
8c 2 R		:	¸(fx j f(x) < cg) =				¸(fx j g(x) < cg): Довести,			ùî
f	2	L(X; ¸)		òîäi i	òiëüêè	òîäi,	êîëè g	2	L(X; ¸): При цьому
R	f(x) d¸(x) =			R g(x) d¸(x):

XX

Ä8. Нехай X = R; ¸ = ¸1 мiра Лебега, A ½ R обмежена вимiрна за Лебегом множина, f : A ! R рiвномiрно неперервна на A функцiя.

Довести, що f 2 L(A; ¸):

Á11

Ã1. Нехай f 2 L(X; ¸): Довести, що при n ! 1

¸(fx : jf(x)j ¸ ng) ! 0:

Ï1. Нехай fA; B; Cg ½ F; ¸(A [ B [ C) < +1 i вiдомi мiри множин
A; B; C; A \ B; A \ C; B \ C; A \ B \ C: Обчислити:
	R									R
1)	X jÂA	¡ ÂBj d¸;					6)			X jÂA ¡ 2ÂAÂBj d¸;
	R									R
2)	X jÂA	¡ 2ÂBj d¸;					7)			X jÂA + 2ÂB ¡ ÂCj d¸;
	R									R
3)	X j3ÂA ¡ ÂBj d¸;						8)			X j2ÂA + 3ÂB ¡ ÂCj d¸;
	R									R
4)	X j2ÂA ¡ 3ÂBj d¸;						9)			X jÂA ¡ 2ÂB + ÂCj d¸;
	R									R
5)	X jÂA	+ ÂB ¡ ÂCj d¸;					10)			X jÂA + ÂB ¡ 2ÂBÂCj d¸:
Ï2.	Нехай ¸1				R	ìiðà	Лебега			íà R: Обчислити iнтеграли
R	R	[x]				jfj d¸1	R
f+ d¸1;		f¡ d¸1	;				; f d¸1; ÿêùî:
A	A				A		A
1)	f(x) = (¡1)			; A = [¡3; 5];
2)	f(x) = (¡1)[x][x]; A = [¡4; 4);
3)	f(x) = [x]; A2= [¡4; 4];
4)
	f(x) = (¡1)[x ]; A = [0; p6];
5)	f(x) = [x] sign cos ¼x; A = [0; 6];
6)	f(x) = [xjxj]; A = [¡2; 2];
7)	f(x) = sign cos ¼x; A = [¡3; 3];
8)	f(x) = [arctg x]; A = [¡9; 9];
9)	f(x) = [x][2 sin x]; A = [0; ¼];
10)	f(x) = [arcsin x]; A = [¡1; 1]:
							48

Ï3. Обчислити iнтеграл RR p d¸1; ÿêùî:

1)

p = sin ÂA; A =

1

n; n + 2¡jnj

;

n=¡1

¢

2)

p = sin 2ÂA; A =

S

¡

n

[n; n + 3¡

) ;

n 2N

S

2

2

1

3)

p = ¡ÂA; A = n 2N ³n

; n

+

´;

n(n+1)

4)

S

n

; n + 2¡

n

p = sh ÂA + ÂA; A =

(n + 3¡

n 2N

5)

p = arctg ÂA; A =

S

1

;

n 2N

n!; n! + n!

¡

¢

6)

S

e

¢

;

p = ln(1 + ÂA); A =

n 2N

6n; 6n + n!

5S

£

1

5

7)

p = 10ÂA; A = n 2N hn ¡

; n

´;

n(n+1)

S

1

1

1

8)

p = ÂA(ÂA + 1); A = n 2N ³n

¡

; n

´

9n(n+1)

7

S7

1

9)

p = 3ÂA; A = n 2N ³n

; n

+

´;

(2n+1)(2n+3)

10)

S

¡

100

1

p(x) = ¡ÂA(jxj); x 2 R; A =

n

¡

n 2N

S

) ;

;

¢

; 100n :

Ï4. Нехай ¸2 мiра Лебега в R2: Обчислити iнтеграл p d¸2; ÿêùî:

R

1)

p = 2 sin ÂA; A =

n

Rn

) ;

(n; n + 2¡

) £ (n; n + 3¡

n 2N

2)

p = ÂA + 2 sin ÂA;

S

(n; n + 2¡n) £ (m; m + 2¡m) ;

A =

n 2N m 2N

3)

p = arctg 3ÂA; A =

S S

(n; n + 2¡n) £ m; m +

1

;

m

!

n 2N m 2N

¡

¢

S

S

n

1

4)

p = sh ÂA; A =

n; n + 3¡j j £ m; m +

;

n 2Z m 2N

m!

£

n¢

¡

¢

5)

S

S

n

p = ÂA(1 + ÂA); A =

n 2N

[n; n + 5¡ ) £ [0; 3 ) ;

6)

S

n

n

p = ÂA(2 + ÂA); A = S

(n; n + 7¡

) £ [0; 2 ] ;

n 2N

49

7)

p = sh ÂA; A = n 2N ³n2; n2 + (n1!)2 ´ £ (0; n!) ;

8)

p = ln(1 + ÂA);

S

¡

¢

¡

¢

S

S

n

A =

n2; n2

+

1

£ 3m2; 3m2

+ 2mm! ;

n 2N m 2N

n!

9)

p = ÂA; A =

S

S

[n; n + 2¡ ] £ [m; m + 1) ;

10)

n 2N m 2N

p = ÂA; A = n 2N

³n; n + p1n ´ £ ³n; n + p1n ´:

Ï5. Нехай F :

S

R ! R неспадна i неперервна справа функцiя, ¸F

вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на R i f

: R ! R: Довести, що

R

f 2 L(R; ¸F ) та обчислити

f d¸F ; ÿêùî:

>

·

R

<

0; ¡1 < x < 0;

1)

F (x) =

8[x]; 0

x < 100;

f(x) = 2x;

2)

:

100; 100 · x < +1;

F iç

>

f(x) = sin x;

>

·

<

0; ¡1 < x < 0;

3)

F (x) = 8[2x]; 0 x < 10;

f(x) = 3x;

:

20; 10 · x < +1;

F iç

задачi 3),

f(x) = F (x);

4)

>

5)

F iз задачi 1), f(x) = F (x);

6)

F iз задачi 1), f(x) = F 2(x);

>

0;

·

<

7)

F (x) =

8[x2];

0

x < 100;

f(x) = x2;

F iç

>

f(x) = x ;

:

2

10000; 100 · x < +1;

8)

задачi 7),

4

9)

F iз задачi 7), f(x) = ex ;

>

¡

·

<

¡100; ¡1 < x < ¡99;

10)

F (x) =

8[x];

99

x < 100; f(x) = x2:

:

>100; 100 · x < +1;

50