Дороговцев & Co - задачник
.pdfКИˆВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ЗАВДАННЯ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З
ТЕОРIˆ МIРИ ТА IНТЕГРАЛА
для студентiв спецiальностей "математика" i "статистика"
механiко математичного факультету
Видавничо полiграфiчний центр "Ки¨вський унiверситет"
2003
Завдання до практичних занять з теорi¨ мiри та iнтеграла для студентiв спецiальностей "математика" i "статистика" механiко математичного факультету / Укладачi А. Я. Дороговцев, С. Д. Iвасишен, О. Ю. Константинов, О. Г. Кукуш, О. О. Курченко, О. Н. Нестеренко, Т. О. Петрова, А. В. Чайковський. К.: ВПЦ "Ки¨вський унiверситет", 2003. 89 с.
Укладачi: Дороговцев Анатолiй Якович, доктор фiз.-мат. наук, професор; Iвасишен Степан Дмитрович, доктор фiз.-мат. наук, професор; Константинов Олексiй Юрiйович, кандидат фiз.-мат. наук, доцент; Кукуш Олександр Георгiйович, доктор фiз.-мат. наук, професор
(вiдповiдальний за випуск);
Курченко Олександр Олексiйович, кандидат фiз.-мат. наук, доцент; Нестеренко Олексiй Никифорович;
Петрова Тамара Олександрiвна, кандидат фiз.-мат. наук; Чайковський Андрiй Володимирович, кандидат фiз.-мат. наук.
Рецензенти:
В. В. Булдигiн, доктор фiз.-мат. наук, професор,
Ю. В. Богданський, доктор фiз.-мат. наук, професор.
Затверджено Вченою Радою механiко математичного факультету 21 жовтня 2002 року, протокол •2
2
ÇÌIÑÒ
ПЕРЕДМОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 1. КЛАСИ МНОЖИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 2. КЛАСИ МНОЖИН. АДИТИВНI ФУНКЦIˆ МНОЖИН . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 3. МIРА ТА ˆˆ ВЛАСТИВОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 4. ЗОВНIШНЯ МIРА. ¸¤-ÂÈÌIÐÍI МНОЖИНИ. ПРОДОВЖЕННЯ МIРИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 5. МIРА ЛЕБЕГА НА ПРЯМIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 6. МIРА ЛЕБЕГА В ПРОСТОРI Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 7. МIРА ЛЕБЕГА-СТIЛТЬ™СА НА ПРЯМIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 8. ВИМIРНI ФУНКЦIˆ ТА ˆХ ВЛАСТИВОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 9. ЕКВIВАЛЕНТНI ФУНКЦIˆ. ЗБIЖНIСТЬ МАЙЖЕ СКРIЗЬ . . ЗАНЯТТЯ 10. ЗБIЖНIСТЬ ЗА МIРОЮ ПОСЛIДОВНОСТI ФУНКЦIЙ. . . . . .
ЗАНЯТТЯ 11. ОЗНАЧЕННЯ IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 12. ВЛАСТИВОСТI IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 13. ГРАНИЧНИЙ ПЕРЕХIД ПIД ЗНАКОМ IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
ЗАНЯТТЯ 14. ГРАНИЧНИЙ ПЕРЕХIД ПIД ЗНАКОМ IНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА (ПРОДОВЖЕННЯ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 15. ЗАРЯДИ. АБСОЛЮТНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ
I СИНГУЛЯРНIСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ЗАНЯТТЯ 16. ПРОСТОРИ Lp(X; ¸); 1 · p < +1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÂIÄÏÎÂIÄI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ПРОГРАМА КУРСУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
8
12
16
21
25
29
32
36
42
46
51
57
64
69
75
79
88
3
|
|
|
ПЕРЕДМОВА |
|
|
|
|
Öåé |
çáiðíèê |
завдань |
äëÿ |
практичних |
занять |
ç |
курсу |
"Теорiя мiри та iнтеграла" ¹ другим виданням методичного посiбника, роз- |
|||||||
робленого викладачами кафедри математичного аналiзу Ки¨вського |
|||||||
нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка i виданого в 1991 роцi. |
|||||||
Посiбник виявився корисним для студентiв i викладачiв i використову¹- |
|||||||
ться в рядi унiверситетiв Укра¨ни. У новому виданнi виправленi поодинокi |
|||||||
помилки та дещо змiненi позначення, а також умiщенi деякi новi задачi. |
|||||||
Кожне заняття передбача¹ такi елементи: |
|
|
|
||||
1) пiдготовку |
студентами вiдповiдей на контрольнi питання по темi |
||||||
|
заняття (цi вiдповiдi повиннi мiстити основний теоретичний мате- |
||||||
рiал, необхiдний для виконання запропонованих завдань);
2) розв'язування бiля дошки пiд керiвництвом викладача 3-5 основних задач, якi в текстi вiдмiченi лiтерою О (у коментарях до розв'язування викладач зверта¹ увагу на типовi способи i методи розв'язування задач);
3) самостiйне розв'язування студентами 3-5 задач, трохи простiших, нiж у пунктi 2), i вiдмiчених лiтерою С (у разi необхiдностi викладач нада¹ студентам вiдповiдну допомогу);
4) виконання студентами домашнього завдання, яке склада¹ться, як правило, зi спiльно¨ для всiх студентiв частини (вiдповiднi задачi вiдмiченi лiтерою Г) та iндивiдуально¨ (задачi з лiтерою П).
До складу завдань для кожного заняття включенi також додатковi задачi, якi вiдмiченi лiтерою Д. Вони мiстять здебiльшого дуже важливий матерiал i можуть пропонуватись студентам, якi успiшно впоралися з основною частиною завдань.
ЛIТЕРАТУРА
1.Дороговцев А.Я. Элементы теории меры и интеграла. К., 1989.
2.Рудин У. Основы математического анализа. М., 1982.
3.Колмооров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981.
4.Халмош П. Теория меры. М., 1953.
5.Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.М., 1973.
6.Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действительного переменного. М., 1980.
4
ЗАНЯТТЯ 1 КЛАСИ МНОЖИН
Контрольнi запитання
1. Означення пiвкiльця, кiльця, алгебри, ¾-êiëüöÿ, ¾-алгебри та
монотонного класу множин.
2. Означення кiльця, алгебри, ¾-êiëüöÿ, ¾-алгебри та монотонного класу, породжених заданим класом множин.
À1
Î1. Довести, що для кожного пiвкiльця P; ? 2 P:
Î2. Довести, що клас множин
P1 = f?; [a; b) j ¡ 1 < a < b < +1g
¹ пiвкiльцем. Чи ¹ пiвкiльцем клас множин
H = f?; (a; b) j ¡ 1 < a < b < +1g?
Ñ1. Довести, що клас множин
P2 = f?; [a1; b1) £ [a2; b2) j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; 2g
¹ пiвкiльцем. Î3. Довести, що:
1) кiльце ¹ замкненим вiдносно операцiй \ i 4;
2) об'¹днання та перетин скiнченно¨ сукупностi елементiв кiльця належать до кiльця.
Î4. Довести, що перетин злiченно¨ кiлькостi елементiв ¾-кiльця належить до ¾-êiëüöÿ.
Î5. Нехай H = fB ½ R j принаймнi одна з множин B ÷è B ¹ не бiльш нiж злiченною}. Довести, що H ¾-алгебра.
Ñ2. Нехай X довiльна непорожня множина. Довести, що класи ¨¨ пiдмножин: 1) f;; Xg i 2) 2X ¹ ¾-алгебрами.
Ñ3. Довести, що сукупнiсть усiх обмежених пiдмножин прямо¨ R утворю¹ кiльце, але не ¹ анi ¾-кiльцем, анi ¾-алгеброю.
Ñ4. Довести, що кожне кiльце, яке склада¹ться зi скiнченно¨ кiлькостi множин, ¹ ¾-кiльцем.
Довести, щî класи множин |
2)f?; (0; n1 ) j n ¸ 1g |
Ñ5.1)ff0g; [0; n1 ] j n ¸ 1g; |
|
¹ монотонними класами. Чи буде монотонним клас f[0; n1 ) j n ¸ 1g? |
|
Ñ6. Нехай A ½ X. Визначити |
мiнiмальне кiльце, алгебру, ¾-êiëüöå i |
¾-алгебру, якi мiстять множину A.
5
Ä1. Довести, що клас множин ¹ кiльцем, якщо вiн замкнений вiдносно операцiй: 1)[ i 4; 2)\ i 4:
Ä2. Довести, що перетин довiльно¨ сукупностi ¾-алгебр ¹ ¾-алгеброю, а об'¹днання довiльно¨ кiлькостi ¾-алгебр не ¹, взагалi кажучи, ¾-алгеброю.
Ä3. Навести приклад кiльця, яке замкнене вiдносно операцi¨ злiченного перетину, але не ¹ ¾-кiльцем. Чи iсну¹ алгебра, яка замкнена вiдносно
операцi¨ злiченного перетину, але не ¹ ¾-алгеброю?
Ä4. Нехай K кiльце пiдмножин X, f : X ! Y; f(K) = ff(B) j B 2 Kg : Довести, що f(K) не ¹, взагалi кажучи, кiльцем пiдмножин Y .
Ä5. Характеристичною функцi¹ю множини A називають функцiю
(
1; ÿêùî x 2 A;
0; ÿêùî x 2 XnA:
, e
Нехай H деякий клас пiдмножин X H сукупнiсть характеристи- чних функцiй множин iз H. Довести, що H ¹ кiльцем тодi i лише тодi,
êîëè e
H алгебра¨чне кiльце вiдносно множення та додавання за модулем 2.
Ä6. Довести, що перетин двох пiвкiлець не обов'язково ¹ пiвкiльцем. Чи ¹ пiвкiльцем об'¹днання двох пiвкiлець?
Ä7. За яко¨ умови на простiр X кожна пiвалгебра його пiдмножин буде кiльцем? Кожне кiльце пiвалгеброю?
Á1
Ã1. Нехай f : X ! Y i H ¾-кiльце пiдмножин Y . Довести, що клас множин f¡1(H) = ©f¡1(A) j A 2 Hª ¹ ¾-кiльцем пiдмножин X.
Ã2. Нехай S ¾-алгебра пiдмножин X i B ½ X: Довести, що клас множин S \ B = fA \ B j A 2 Sg ¹ ¾-кiльцем.
Ã3. Довести, що клас множин, замкнений вiдносно операцiй [ i \; íå ¹,
взагалi кажучи, кiльцем.
Ï1. З'ясувати, чи ¹ пiвкiльцем або кiльцем клас множин H, ÿêùî:
1) |
H = f?; [a; b) j a 2 Q; b 2 Q; a < bg ; |
2) |
H = f?; (a; b] j a 2 Z; b 2 Z; a < bg ; |
3) |
H = f?; [a; b) j a 2 RnQ; b 2 RnQ; a < bg; |
4) |
H = f?; (a; b] j a 2 Q; b 2 N; a < bg ; |
5) |
H = f?; [a; b] j ¡ 1 < a < b < +1g ; |
6) |
H = f?; (a; b] j a 2 R; b 2 Q; a < bg ; |
7) |
H = f?; [a1; b1) £ [a2; b2) j ai 2 Q; bi 2 Q; ai < bi; i = 1; 2g; |
|
6 |
8) |
H = f?; [a1; b1) £ [a2; b2) j ai; bi 2 RnQ; ai < bi; i = 1; 2g; |
9) |
H = f?; (a1; b1] £ [a2; b2] j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; 2g; |
10) |
H = f?; [a1; b1) £ (a2; b2] j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; 2g; |
11) |
H = f?; (a1; b1) £ (a2; b2) j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; 2g: |
Ï2. Нехай H ½ 2X i k(H); a(H); ¾k(H); ¾a(H) òà m(H) вiдповiдно кiльце, алгебра, ¾-êiëüöå, ¾-алгебра та монотонний клас, породженi
класом H. Знайти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
k(H) i ¾k(H); ÿêùî H = fA; Bg; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
a(H) i ¾a(H); ÿêùî H = fA; Bg; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
m(H); ÿêùî H = fA; Bg; |
|
1 |
] |
|
n |
|
1 |
; |
||||
4) |
m(H); ÿêùî X = R; H = [0; 2 |
¡ |
n |
j |
¸ |
||||||||
6) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
¾a(H); ÿêùî X = N; H =©ff1g; f2g; :::;j |
f¸ng;ª:::g; |
||||||||||||
5) |
m(H); ÿêùî X = R; H = ©[0; 3 + n ) |
|
n |
1ª |
; |
||||||||
7) |
H |
ÿêùî |
X = N; |
H |
|
|
|
|
|
|
n |
; ::: ; |
|
|
k( ); |
|
|
= ff1g; f2g; :::;1fng |
|
g |
|||||||
8) |
k( ); |
|
X = R; |
|
= ff¡xg j |
¡ |
2 g¢ ¢ |
jn ¸ 1g; |
|||||
m(H); ÿêùî X = R; H = f ¡e; 1 + n |
|
||||||||||||
9) |
H |
ÿêùî |
|
H |
|
x |
|
R ; |
|
|
|||
10) |
¾k(H); ÿêùî X = R; H = ffxg j x 2 Rg ; |
|
|
||||||||||
11) |
a(H); ÿêùî X = R; H = ffxg j x 2 Rg : |
|
X = f1; 2; 3g; |
||||||||||
Ï3. |
1) Навести приклад пiвкiльця |
P пiдмножин |
|||||||||||
яке не ¹ кiльцем.
2) Навести приклад кiльця K пiдмножин X = f1; 2; 3g; яке не ¹ алгеброю.
3) Описати всi алгебри, якi можна одержати з елементiв класу
2X ; äå X = f1; 2; 3g:
4)Навести приклад, який би свiдчив, що об'¹днання двох кiлець не ¹, взагалi кажучи, кiльцем.
5)Нехай H = fB ½ R j принаймнi одна з множин B ÷è B скiнченна}. Довести, що H ¹ алгеброю, але не ¹ ¾-алгеброю.
6)Нехай H = fA ½ N : jAj · 2g ; äå jAj число елементiв множини A: ×è ¹ A пiвкiльцем? кiльцем?
7)Нехай H = fB ½ R j B \ Q ¡ скiнченна множинаg : Довести, що H êiëüöå, àëå íå ¾-кiльце i не алгебра.
8)Нехай H = fB ½ Q j B \ N ¡ скiнченна множинаg : Довести, що H ¹ кiльцем, але не ¹ анi ¾-кiльцем, анi алгеброю.
9)Нехай H = fB ½ R j B \ (RnQ) ¡ скiнченнамножинаg: Довести, що H ¹ кiльцем, але не ¹ анi алгеброю, анi ¾-кiльцем.
10)Нехай H = fB ½ Z j B ¡ скiнченна множинаg : Довести, що H ¹ кiльцем, але не ¹ анi алгеброþ, àíi ¾-кiльцем.
11)Нехай H = fB ½ NjB ¡ скiнченна множинаg: ×è ¹ H пiвкiльцем? кiльцем?
7
ЗАНЯТТЯ 2
КЛАСИ МНОЖИН. АДИТИВНI ФУНКЦIˆ МНОЖИН
Контрольнi запитання
1. Означення функцi¨ множин. (Функцi¹ю множин на непорожньому класi H називають вiдображення ' : H ! (¡1; +1], яке набува¹
хоча б одне дiйсне значення).
2. Дати означення основних класiв функцiй множин.
3. Навести властивостi адитивних функцiй множин.
À2
Î1. Довести, що декартiв добуток двох пiвкiлець ¹ пiвкiльцем. Вивести звiдси, що клас множин iз задачi А1.С1 ¹ пiвкiльцем, а також при кожному m ¸ 1
клас множин Pm = f?; Qm [ai; bi) j ¡ 1 < ai < bi < +1; i = 1; :::; mg
¹ пiвкiльцем.
i=1
O2. Верхньою (нижньою) границею послiдовностi множин fAn : n ¸ 1g
називають множину lim An ( lim An), яка склада¹ться з усiх тих
n!1 n!1
елементiв, котрi належать до нескiнченно¨ кiлькостi множин An (äî âñiõ множин, починаючи з деякого номера n). Довести, що:
!1 |
T kS |
|
!1 |
S T |
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
nlim |
An = |
|
|
Ak; |
lim An = |
|
|
Ak; |
|
|
|
|
n=1 |
=n |
|
n |
n=1 k=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim An |
|
|
|
An: |
|
||
|
|
|
|
|
½ nlim |
|
||||||
|
|
|
|
|
n!1 |
!1 |
|
|
||||
Ñ1. |
Нехай |
S ¾-алгебра |
пiдмножин |
|
||||||||
|
: n |
|
1 |
|
S: Довести, що |
|
|
|
|
; lim A |
|
|
fAn |
¸ |
g ½ |
|
lim |
A |
|
||||||
|
|
½n!1 |
n |
n!1 |
n |
|||||||
¾множини X i
½ S:
Î3. Нехай H клас пiдмножин |
X; i |
B ½ X. Довести, |
ùî |
¾k(H \ B) = ¾k(H) \ B. |
|
|
|
У наступних задачах K |
êiëüöå |
пiдмножин множини |
X; |
' : K ! [0; +1] адитивна функцiя множин.
Î4. Нехай fA; B; Cg ½ K i '(A [ B [ C) < +1. Довести, що:
1) '(A [ B) = '(A) + '(B) ¡ '(A \ B);
2) '(A [ B [ C) = '(A) + '(B) + '(C) ¡ '(A \ B)¡
¡'(A \ C) ¡ '(B \ C) + '(A \ B \ C):
8
Î5. Нехай fAn : n ¸ 1g ½ K; Ai \ Aj = ?; i 6= j; A 2 K: Довести
такi твердження: |
1 |
iP |
|
|
|
S1 |
|
||
|
n |
|
n |
|
1) |
ÿêùî i=1 Ai ½ A; n 2 N; òî |
=1 '(Ai) · '(A); |
||
С2. Нехай S |
iiP |
|
Довести, що |
|
2) |
ÿêùî i=1 Ai ½ A; òî |
=1 '(Ai) · '(A): |
|
|
|
fA; B; Cg ½ K '(A [ B) < +1: |
|
||
1) |
'(A4B) · '(A4C) + '(C4B); |
|
||
2) |
j'(A) ¡ '(B)j · '(A4B): |
|
|
|
Ñ3. Довести, що клас тих множин з K, на яких функцiя
скiнченних значень, ¹ кiльцем.
Д1. Нехай H клас множин, ¾a(H) i m(H) âiäïîâiäíî ¾-алгебра i монотонний клас, породженi класом H. Довести, що m(H) ½ ¾a(H):
Д2. Нехай H клас множин. Позначимо через H0 клас усiх верхнiх i нижнiх границь послiдовностей множин з H: Довести, що:
1)ÿêùî H ïiâêiëüöå, òî H = H0 òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè H ¾-êiëüöå;
2)P01 мiстить усi iнтервали i вiдрiзки на прямiй;
3)P01 мiстить усi вiдкритi i замкненi (вiдносно евклiдово¨ метрики) множини на прямiй.
Ä3. Нехай |
fAi j i = 1; :::; ng |
½ K; '(X) = 1: Довести, що |
|
'(A1 \ ::: \ An) ¸ '(A1) + ::: + '(An) ¡ (n ¡ 1): |
|||
Ä4. Нехай |
fAi j i = 1; :::; ng |
½ K; '(A1 [ ::: [ An) < +1; |
|
Sk(n) = |
|
'(Ai1 \ ::: \ Aik ); k = 1; :::; n: Довести, що |
|
1 i <:::<i |
n |
|
|
· 1 |
P k· |
n |
n |
|
|
' µk=1 Ak¶ |
= k=1(¡1)k+1Sk(n): |
|
|
S |
P |
Ä5. Нехай fA; Bg ½ K i '(A [ B) < +1: Довести, що
j'(A [ B)'(A \ B) ¡ '(A)'(B)j · 14 '2(A [ B):
Á2
Г1. Довести, що декартiв добуток кiлець не ¹, взагалi кажучи, кiльцем. Г2. Нехай P = f?; [a; b) j ¡ 1 < a < b < +1g : Довести, що
кiльце, породжене пiвкiльцем P; не ¹ анi алгеброю, анi ¾-кiльцем. 9
Ï1. |
Знайти верхню та нижню границi послiдовностi множин |
||||||||||||||||
fAn |
: n ¸ 1g ; ÿêùî: |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
> |
|
n = 3k |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
An = |
|
A; |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8B; n = 3k |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
< |
|
n = 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¡ |
¡ |
k; |
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
: n ln 1 + n ; 5 ; n = 2k |
1; |
|
|
|
|
|
|||||||||
An = (( n; n]; |
|
|
|
|
|
n = 2k;¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
([0; 1 + ln n); n = 2k; |
|||||
|
n |
([0; n]; n = 2k; |
|
|
n |
||||||||||||
3) |
A = |
[0; 1); n 6= 2k; |
|
7) A = |
[n; n2]; |
|
|
|
n 6= 2k; |
||||||||
4) |
A = |
(0; arctg n); n 6= 2k; 8) |
A = |
[ 3n; 0); |
|
|
n 6= 2k; |
||||||||||
|
n |
(( n2; ln n); n = 2k; |
n |
((¡n; |
pn); n = 2k; |
||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
¢ |
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¡ |
1 |
n |
|||
5) |
A = |
[¡n; 0]; n 6= 2k; |
|
9) A = |
1 + n |
|
|
|
; 4 ; n 6= 2k; |
||||||||
|
n |
([0; n]; |
n = 2k; |
|
|
n |
([3; n + 3]; |
|
n = 2k; |
||||||||
|
n |
(( |
ln n; 4]; n = 2k; |
|
n |
((ln n; + |
|
|
); n = 2k; |
||||||||
6) |
A = |
(1; ch n); |
n 6= 2k; |
10) |
A = |
[1; 2n); |
1 |
|
n 6= 2k; |
||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11) |
An = |
|
|
n; 0); |
|
1 + 1 ; |
n = 3k |
2; |
|
|
|
|
|
||||
8[¡ |
1 1 ; |
|
n = 3k ¡ 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
< |
¡ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
¡ ¡ n |
¡ |
|
|
n |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
||
äå |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
[0; n]; |
|
|
|
|
|
n = 3k; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k 2 N:
П2. Нехай K кiльце пiдмножин X; ' адитивна невiд'¹мна функцiя множин на K; fA; B; Cg ½ K i '(A [ B [ C) < +1: Довести, що:
1) '(AnB) = '(A) ¡ '(A \ B);
2) '(A4B) = '(A) + '(B) ¡ 2'(A \ B);
3) '(A \ B) · '(A) · '(A [ B) · '(A) + '(B);
4) max('(A); '(B)) · '(A [ B) · 2 max('(A); '(B)); 5) '(A) · '(A [ B [ C) · '(A) + '(B) + '(C);
6) max('(A); '(B); '(C)) · '(A [ B [ C) ·
· 3 max('(A); '(B); '(C));
7) '((A [ B) \ C) = '(A \ C) + '(B \ C) ¡ '(A \ B \ C);
10