68

Справочные таблицы

Таблица 1.

Основные правила операционного исчисления.

∞

№

f (t)

(p) =

e−pt f (t)dt

Примечание

1

σ+i∞

R

Формула

0

1.

ept

(p)d p

(p)

f

f

m

m

R

обращения

2pi σ−i∞

Свойство

2.

å ci fi(t), Ci

= const

å ci f i(p)

линейности

i=1

i=1

3.

f 0(t)

p

(p) − f (0)

f

pn

(p) − pn−1 f (0)−

f (n)(t), n ≥ 2

f

Изображение

4.

−pn−2 f 0(0) −...−

производной

−f (n−1)(0)

t

Изображение

5.

f (t)dt

1 f (p)

R

p

интеграла

0

6.

t f (t)

−

0(p)

Дифферен-

f

цирование

7.

tn f (t), n ≥ 0

(−1)n

(n)(p)

f

изображения

f (t)

∞

Интегриро-

8.

f (q)dq

вание

t

p

изображения

R

9.

t f (τ)

dt

1 ∞

0

τ

p

p

f (q)dq

Интегриро-

R

R

вание

∞ f (τ

p

1

R

оригинала

10.

R

dt

f (q)dq

τ

p

0

t

www.mitht.ru/e-library

69

∞

№

f (t)

f

(p) =

e−pt f (t)dt

Примечание

R

0

ekt f (t)

Теорема

11.

f (p −k)

смещения

12.

f (t −t0),

e−pt0

(p)

Теорема за-

f

f (t) = 0 при t < 0

паздывания

1

p

Теорема

13.

f (kt), k > 0

k

f

подобия

k

t

Теорема

14.

f1(t) f2(t −t)dt

1(p)

2(p)

умножения

f

f

0

изображений

R

∞

f 1

(pk)

epkt

f 1(p)

=

f 1(p)

Теорема

15.

å

∞

k=1

f

2

0(pk)

f 2(p)

разложения

∏ ak(p − pk)

k=1

Таблица 2.

Изображения по Лапласу некоторых функций.

№

f (t)

f (p)

1.

1

1

, Re p > 0

p

tν

G(n + 1)

2.

, n > −1, Re p > 0

pν+1

3.

tn, n N

n!

, Re p > 0

pn+1

4.

eαt

1

, Re > Re a

p

5.

sin wt

w−a

p2 + w2 , Re p > Im w

www.mitht.ru/e-library

70

№

f (t)

f (p)

6.

cos wt

p

, Re p > Im w

p2 +λw2

7.

sh λt

, Re p > Re λ

p2

−

λ2

8.

ch λt

p

, Re p > Re λ

p2 −λ2

9.

tneαt

n!

, Re p > Re λ

(p −α)n+1

10.

t sin wt

2pw

( p2+ w2)

p2

w2

2

, Re p > Im w

11.

t cos wt

−

)

, Re p >

Im w

λt

(w +

12.

e

sin wt

p

λ 2

+ w2

, Re p > Re λ + Im w

p2

w2

2

(

−p ) λ

13.

eλt cos wt

−

, Re p > Re λ +

Im w

(p

−λ)2 + w2

2

2

√

p2

p

14.

e−α

t

π

exp

erfc

2

4α2

2α

15.

1

e−αt

1

√

πt

√

p + α

√

√

α

16.

αt

erf

p√

p + α

17.

erfc

α

1

exp −α√

2√

p

p

t

α

α2

18.

2√

exp −

, α > 0

exp −α√

p

4t

πt3

19.

1

exp

−

α2

1

exp −α√

√

πt

√

p

4t

p

www.mitht.ru/e-library

71

Примечания к таблице:

Γ(x + 1) =				∞
				R		e−t txdt , Re x > 1 — гамма-функция
erfc x = 2						∞ e−t2 dt	1		erf x
				0					−
2					xR 2
√		π			x		≡	−
erf x = √π 0						e−t dt
				R

www.mitht.ru/e-library