59

12.Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

12.1.Решить дифференциальное уравнение (с начальным

условием)

dy

−2y

= et ,

t > 0,

dt

y(0) = 0.

Решение.

Переходим к изображениям:

1

1

(p) −2

(p) =

или

(p −2)

(p) =

,

py

y

y

p −1

p −1

откуда

(p) =

1

.

y

(p −1)(p −2)

Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:

1

=

A

+

B

.

(p −1)(p −2)

p −1

p −2

Полагая p = 1 , получим −A = 1 , т.е. A = −1 ; при p = 2 имеем B = 1 . Следовательно,

	1				1
			=		−		,
		y
				p −2		p −1

откуда

y = e2t −et .

www.mitht.ru/e-library

60

12.2. Решить задачу Коши

y 0(t) + ay(t) = ϕ(t), t > 0, y(0) = y0.

Решение. Переходя к изображениям, получим

py(p) + ay(p) −y0 = ϕ(p)

или

(p + 1)y(p) = ϕ(p) + y0,

откуда

y(p = y0 + ϕ(p) . p + 1 p + a

Переходя к оригиналам, пользуясь табл. 2 и теоремой о свертке,

имеем

t

Z

y(t) = y0e−at + ϕ(τ)e−a(t−τ)dτ.

0

12.3. Решить дифференциальное уравнение

y 00 −2y 0 −3y = e3t ,

если y(0) = 0 , y 0(0) = 0 .

Решение. Переходим к изображениям:

p2

(p) − py(0) −y 0(0) −2 (py

−y(0)) −3

=

1

y

y

p

−

3

или

1

1

p2

−2py

−3

=

(p) =

.

y

y

y

p −3

(p + 1)(p −3)2

www.mitht.ru/e-library

61

Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:

1

A

B

C

=

+

+

.

(p + 1)(p −3)2

(p −3)2

p −3

p + 1

полагая p

1 , получаем 1

=

16C , т.е. C

=

1

16 ; при p = 3 име-

= −

/

2

, полу-

ем 1 = 4A , т.е. A = 1/4 . Сравнивая коэффициенты при p

чим 0 = B +C , т.е. B = −C = −1/16 . Следовательно,

(p) =

1

−

1

+

1

,

y

4(p −3)2

16(p −c)

16(p + 1)

откуда, переходя к оригиналам, получим

1

1

1

y(t) =

te3t −

e3t +

e−t .

4

16

16

12.4. Решить интегральное уравнение

t

y(t) = Z y(τ)dτ + 1.

0

Решение.

Строим изображающее уравнение:

(p)

1

1

y

(p) =

+

·(p −1) = 1

=

.

y

y

y

p

p

p −1

Следовательно, оригинал имеет вид

y= et .

12.5.Решить интегральное уравнение

t

Z

y(τ) sin(t −τ)dτ = 1 −cost.

0

www.mitht.ru/e-library

62

Решение. Левая часть уравнения является сверткой функции y(t) и sint . Переходя к изображениям, получаем

	1			1			p	1
		(p)		=		−		=		.
	y
			p2 + 1		p		p2 + 1		p(p2 + 1)

Следовательно, y(p) = 1/p и y(t) = 1 .

12.6.Решить систему дифференциальных уравнений

dy

1

+ y1 −y2 = et

y1(0) = 1

dt

при t > 0 , если

dy2

+

3y

1

2y

2

=

2et

(y2(0) = 1

−

dt

Решение. Переходя к изображениям, имеем систему линей-

ных алгебраических уравнений

py

1(p) −1 +

1(p) −

2(p) =

1

(96)

y

y

p

−

1

2

(

p

)

1

+

3

p

)

2

(

p

) =

(97)

py

2

y

y

2

−

1(

−

p −1

или

(p + 1)

1(p) −

2(p) =

1

+ 1

(98)

y

y

p

1

−2

3

p

p

2

p

1

(99)

y

y

) + (

(

) =

+

1(

−

)

2

p −1

откуда

1(p)− =

1

;

2(p) =

1

y1(t) = et ,

y2(t) = et .

y

y

p −1

p −1

www.mitht.ru/e-library

63

12.7. Решить систему дифференциальных уравнений

dx

= x + 2y

x(0) = 0

dt

если

dy

2x

y

1

(y(0) = 5

=

+

+

dt

Решение. Переходя к изображениям, имеем систему линей-

ных алгебраических уравнений

py(p)

5 = 2x(p) + y(p) + 1 ,

(101)

(p) =

(p) + 2

(p);

(100)

px

x

y

−

p

или

2x + (1

p)y =

1

5.

(103)

(p −1)

x

−2

y

=

0;

(102)

−

−

−

p

относительно x и y , получаем

Решив эту систему

5p2 −4p −1

=

10p + 2

,

(p) =

.

x

y

p(p + 1)(p −3)

p(p + 1)(p −3)

Для определения оригиналов x(t) и y(t) воспользуемся теоремой разложения ф. 15 табл. 1:

f 1(p) = 10p + 2; f 2(p) = p3 −2p2 −3p; f 20(p) = 3p2 −4p −3,

p1 = 0,

p2 = −1; p3 = 3;

f

1(p1)

=

f

1(0)

=

2

;

f

1(p2)

=

f

1(−1)

= 2;

f

20(p1)

f

20(0)

−

3

f

20(p2)

f

20(−1)

−

1(p3)

1

(3)

8

f

f

=

=

.

f

20(p3)

f

20

(3)

3

www.mitht.ru/e-library

64

Таким образом,		2		8
x = −				−2e−t +				e3t .
		3				3
Аналогично находим
y =	1		+ 2e−t +		8		e3t .
3				3

Решить дифференциальные уравнения:

12.8.y 0 −2y = 0 , y(0) = 1 .

12.9.y 0 + y = et , y(0) = 0 .

12.10.y 00 −9y = 0 , y(0) = y 0(0) = 0 .

12.11.y 00 + y 0 −2y = et , y(0) = −1 , y 0(0) = 0 .

12.12. y 000 − 6y 00 + 11y 0 − 6y = 0 , y(0) = 0 , y 0(0) = 1 , y 00(0) = 0 .

Ответы:

12.8.y(t) = e2t .

12.9.y(t) = sht .

12.10.y(t) = 0 .

12.11.y(t) = 5 et + 4e2t − 3 e3t .

2 2

12.12.y(t) = −5 et + 4e2t − 3 e3t .

2 2

Решить системы дифференциальных уравнений:

www.mitht.ru/e-library

65

dx

(y(0) = 2

dy

=

2x

12.13.

dt

если

x(0) = 2

dt

= 2y

dx

= 3x + 2y

(y(0) = 1

dy

4x

3y

=

12.14.

если

x(0) = 1

dt

−

dt

Ответы:

x(t) =

5

1

e2t

−

e−2t

12.13.

2

2

y t

5

e2t

1

e

−

2t

2

2

( ) =

−

6

5t

1

5t

x(t) =

e

−

e−

12.14.

5

5

5t

y t

3 e5t

2 e

( ) =

−

−

5

5

Решить интегральные уравнения:

t

12.15.Z y(τ)(t −τ)2dτ = 1t3 .

3

0

t

Z

12.16.y(τ) cos(t −τ)dτ = 1 −cost .

0

Ответы:

12.15.y(t) = 1 .

12.16.y(t) = t .

www.mitht.ru/e-library